2021年新高考数学总复习讲义：积分

2021年新高考数学总复习讲义：积分
知识讲解
一、函数定积分
1.定义：设函数()y f x =定义在区间[,]a b 上．用分点0121n n a x x x x x b -=<<<
<<=，把
区间[,]a b 分为n 个小区间，其长度依次为10121i i i x x x i n +∆=-=-，
，，，，．记λ为这些小区间长度的最大值，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0．在每个小区间内任取一点i ξ，作和式1
0()n n i i i I f x ξ-==∆∑．
当0λ→时，如果和式的极限存在，我们把和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作()b a f x dx ⎰，即1
()lim ()n b
i i a i f x dx f x λξ-→==∆∑⎰．其中()f x 叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限．()f x dx 叫做被积式．此时称函数()f x 在区间[,]a b 上可积．
2.曲边梯形：曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形，通常称为曲边梯形．
根据定积分的定义，曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应的函数()y f x =在区间[]a b ，
上的定积分，即()b
a S f x dx =⎰． 求曲边梯形面积的四个步骤：
第一步：分割．在区间[]a b ，中插入1n -各分点，将它们等分成n 个小区间[]1i i x x -， ()12i n =，
，，，区间[]1i i x x -，的长度1i i i x x x -∆=-，
第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值． 第三步：求和．
y=f (x )
O y
x
b
a
第四步：取极限．
4.求积分与求导数互为逆运算．
()()()b
a
F x dx F b F a '=-⎰
，即()F x '从a 到b 的积分等于()F x 在两端点的取值之差．
5.微积分基本定理
内容：如果()()F x f x '=，且()f x 在[,]a b 上可积，则()()()b
a f x dx F
b F a =-⎰，其中()F x 叫做()f x 的一个原函数．由于[()]()F x
c f x '+=，()F x c +也是()f x 的原函数，其中c 为常数．一般地，原函数在[,]a b 上的改变量()()F b F a -简记作()b a
F x ，因此，微积分基本定理
可以写成形式：()()
()()b
b a
a f x dx F x F
b F a ==-⎰．
6.定积分的性质
1）()()b b
a a cf x dx c f x dx =⎰
⎰
2）()()b
a a
b
f x dx f x dx =-⎰⎰
3）(()())()()b b b
a
a
a
f x
g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰
4）()()()b c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰
5）若()f x 为奇函数，则()0a
a
f x dx -=⎰
6）若()f x 为偶函数，则0
()2()a a
a
f x dx f x dx -=⎰⎰
经典例题
一．选择题（共12小题）
1．（2018•上饶一模）如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为（）
A．2
3
B．
1
2
C．1
3
D．
3
5
2．（2018•河南一模）汽车以v=（3t+2）m/s作变速运动时，在第1s至2s之间的1s内经过的路程是（）
A．5m B．11 2
m
C．6m D．13 2
m
3．（2018春•海珠区期末）∫0
−2
√4−x2dx的值是（）A．4πB．2π
C．πD．π2
4．（2017•南开区二模）由曲线y=x2，y=√x围成的封闭图形的面积为（）
A．1
6
B．1
C．2
3
D．
1
3
5．（2017•武邑县校级模拟）∫ππ
2
sinxdx的值为（）
A．π
2
B．π
C．1
2
D．1
6．（2017•雅安模拟）∫π
cosxdx=（）A．1B．﹣2 C．0D．π．
7．（2017•深圳一模）定积分∫1
−1
x2dx=（）
A．0B．2 3
C．1D．2
8．（2017春•上饶县校级期末）∫2
−1
|x|dx等于（）A．﹣1B．1
C．3
2
D．
5
2
9．（2017春•察右前旗校级期末）已知t＞0，若∫t
(2x−2)dx=8，则t=（）
A．1B．4
C．﹣2或4D．﹣2
10．（2017春•呼图壁县校级期末）∫1
2xdx等于（）A．1B．e
C．e﹣1D．e+1 11．（2016秋•麦积区校级期末）下列积分值为2的是（）
A．∫5
0（2x﹣4）dx B．∫π
cosxdx
C．∫3
11
x dx D．∫
π
sinxdx
12．（2016秋•南昌期末）∫π
(cosx+1)dx等于（）A．1B．0
C．πD．π+1
二．填空题（共4小题）
13．（2015秋•浙江校级月考）∫0−1√4−x2dx=．
14．（2018春•杏花岭区校级期中）∫0
−1(1−2x)(1−3x 2)dx = ．
15．（2010春•盐城校级期末）定积分∫21(x +1)dx = ．
16．（2010•潍坊模拟）已知∫2
0(3x 2+t)dx =10，则常数t= ．
三．解答题（共2小题）
17．求∫xe x 2
dx ．
18．已知F （x ）=1
x+1
，f （x ）=F′（x ），求∫1
f （x ）dx ．。