上海市青浦区2019-2020学年中考一诊数学试题含解析

上海市青浦区2019-2020学年中考一诊数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC 的大小为( )
A ．45︒
B ．50︒
C ．60︒
D ．75︒
2．已知e r 是一个单位向量，a r 、b r
是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）
A ．a e a v v v =
B ．e b b =v v v
C ．1a e a
=v v v
D ．11a b a b
=v v v v
3．如图，在ABC V 中，30B ∠=︒，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ．如果8CE =，则ED 的长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
4．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A ．∠ABC ＝∠ADC ，∠BAD ＝∠BCD
B ．AB ＝BC
C ．AB ＝C
D ，AD ＝BC
D ．∠DAB+∠BCD ＝180°
5．如图，若a ∥b ，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A ．40°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
6．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）和正比例函数y ＝﹣13x 的图象如图所示，则方程ax 2+（b+ 1
3
）x+c ＝0（a≠0）的两根之和（ ）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定
7．如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
8．在国家“一带一路”倡议下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧专列．行程最长，途经城市和国家最多的一趟专列全程长13000 km，将13000用科学记数法表示应为( )
A．0.13×105B．1.3×104C．1.3×105D．13×103
9．如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，那么∠AOB的度数是（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
10．在同一平面直角坐标系中，函数y=x+k与
k
y
x
=（k为常数，k≠0）的图象大致是（）
A．B．
C．D．
11．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤，这些粮食可供9万人吃一年．“32400000”这个数据用科学记数法表示为（）
A．5
32410
⨯B．6
32.410
⨯C．7
3.2410
⨯D．8
0.3210
⨯.
12．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是()
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．分解因式:34
a a
-= ．
14．边长为6的正六边形外接圆半径是_____．
15．计算：a3÷（﹣a）2=_____．
16．举重比赛的总成绩是选手的挺举与抓举两项成绩之和，若其中一项三次挑战失败，则该项成绩为0，甲、乙是同一重量级别的举重选手，他们近三年六次重要比赛的成绩如下（单位：公斤）：
如果你是教练，要选派一名选手参加国际比赛，那么你会选择_____（填“甲” 或“乙”），理由是
___________．
17．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向60°，距离灯塔为4海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB长_____海里．
18．已知双曲线
k1
y
x
+
=经过点（－1，2），那么k的值等于_______.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）直线y1＝kx+b与反比例函数
28 (0)
y x
x
=>的图象分别交于点A（m，4）和点B（n，2），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）根据图象写出不等式kx+b﹣8
x
≤0的解集；
（3）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．
20．（6分）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞1．（1）当y1﹣y2=4时，求m的值；
（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．
21．（6分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”
22．（8分）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率m
n
0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近；（精确到0.1）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）＝；试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？
23．（8分）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中红球有1个，
若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为2
3
．
（1）请直接写出袋子中白球的个数．
（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）
24．（10分）如图，△ABC中，AB=AC=4，D、E分别为AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC
交BC的延长线于F；
（1）求证：DE=CF；
（2）若∠B=60°，求EF的长．
25．（10分）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AD＝CD＝2，点E在边AD上（不与点A、D重合），∠CEB＝45°，EB与对角线AC相交于点F，设DE＝x．
（1）用含x的代数式表示线段CF的长；
（2）如果把△CAE的周长记作C△CAE，△BAF的周长记作C△BAF，设
CAE
BAF
C
C
∆
∆
＝y，求y关于x的函数关
系式，并写出它的定义域；
（3）当∠ABE的正切值是3
5
时，求AB的长．
26．（12分）某校在一次大课间活动中，采用了四钟活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，
D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
(1)这次调查中，一共调查了多少名学生？
(2)求出扇形统计图中“B：跳绳”所对扇形的圆心角的度数，并补全条形图；
(3)若该校有2000名学生，请估计选择“A：跑步”的学生约有多少人？
27．（12分）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之
间的函数关系式；当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质和圆周角定理可得出答案.
【详解】
根据平行四边形的性质可知∠B=∠AOC，
根据圆内接四边形的对角互补可知∠B+∠D=180°，
根据圆周角定理可知∠D=1
2
∠AOC，
因此∠B+∠D=∠AOC+1
2
∠AOC=180°，
解得∠AOC=120°，
因此∠ADC=60°．
故选C
【点睛】
该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
2．B
【解析】
【分析】
长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．
【详解】
A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；
B. 符合向量的长度及方向，正确；
C. 得出的是a的方向不是单位向量，故错误；
D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B. 【点睛】
本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量. 3．C 【解析】 【分析】
先利用垂直平分线的性质证明BE=CE=8，再在Rt △BED 中利用30°角的性质即可求解ED ． 【详解】
解：因为DE 垂直平分BC ， 所以8BE CE ==， 在Rt BDE V 中，30B ∠=︒， 则11
8422
ED BE =
=⨯=； 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质、30°直角三角形的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 4．D 【解析】 【分析】
首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则四边形ABCD 为菱形．所以根据菱形的性质进行判断． 【详解】 解:
Q 四边形ABCD 是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，
//AB CD ∴，//AD BC ，
∴四边形ABCD 是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；
过点D 分别作BC ，CD 边上的高为AE ，AF ．则 AE AF =（两纸条相同，纸条宽度相同）
；
Q 平行四边形ABCD 中，ABC ACD S S ∆∆=，即⨯=⨯BC AE CD AF ，
BC CD ∴=，即AB BC =．故B 正确；
∴平行四边形ABCD 为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
ABC ADC ∠=∠∴，BAD BCD ∠=∠（菱形的对角相等），故A 正确； AB CD =，AD BC =（平行四边形的对边相等）
，故C 正确； 如果四边形ABCD 是矩形时，该等式成立．故D 不一定正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质．注意：“邻边相等的平行四边形是菱形”，而非“邻边相等的四边形是菱形”． 5．C 【解析】 如图：
∵∠1=60°， ∴∠3=∠1=60°， 又∵a ∥b ， ∴∠2+∠3=180°， ∴∠2=120°， 故选C.
点睛：本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，熟记性质是解题的关键.平行线的性质定理：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两条平行线之间的距离处处相等. 6．C 【解析】 【分析】
设2
0(0)ax bx c a ++=≠的两根为x 1，x 2，由二次函数的图象可知12x x 0+＜，a ＞0；设方程
210(0)3ax b x c a ⎛
⎫+++=≠ ⎪⎝
⎭的两根为m ，n ，再根据根与系数的关系即可得出结论．
【详解】
解：设2
0(0)ax bx c a ++=≠的两根为x 1，x 2，
∵由二次函数的图象可知12x x 0+＜，a ＞0， 0b
a
∴-
<． 设方程2
10(0)3ax b x c a ⎛⎫+++=≠ ⎪⎝
⎭的两根为m ，n ，则1
133b b m n a a a
+
+=-=-- 01
030
0a a
b a
m m >∴-
<-<∴+<Q Q .
故选C ． 【点睛】
本题考查的是抛物线与x 轴的交点，熟知抛物线与x 轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键． 7．B 【解析】 【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 【详解】
解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 不正确； B 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B 正确； C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C 不正确； D 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D 不正确. 故选B. 【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，以及对轴对称图形和中心对称图形的认识. 8．B 【解析】
试题分析：科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．将13000用科学记数法表示为：1.3×1． 故选B ．
考点：科学记数法—表示较大的数 9．B 【解析】
【分析】
首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数．【详解】
连接AB，
根据题意得：OB=OA=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°.
故答案选：B.
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握等边三角形的判定与性质.
10．B
【解析】
【分析】
【详解】
选项A中，由一次函数y=x+k的图象知k<0，由反比例函数y=的图象知k>0，矛盾，所以选项A错误；选项B中，由一次函数y=x+k的图象知k>0，由反比例函数y=的图象知k>0，正确，所以选项B正确；由一次函数y=x+k的图象知，函数图象从左到右上升，所以选项C、D错误．
故选B.
11．C
【解析】
【分析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【详解】
32400000=3.24×107元．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题
的关键．
12．B
【解析】
【分析】
由几何体的三视图知识可知，主视图、左视图是分别从物体正面、左面看所得到的图形，细心观察即可求解.
【详解】
A 、正方体的左视图与主视图都是正方形，故A 选项不合题意；
B 、长方体的左视图与主视图都是矩形，但是矩形的长宽不一样，故B 选项与题意相符；
C 、球的左视图与主视图都是圆，故C 选项不合题意；
D 、圆锥左视图与主视图都是等腰三角形，故D 选项不合题意；
故选B ．
【点睛】
本题主要考查了几何题的三视图，解题关键是能正确画出几何体的三视图.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．a （a+2）（a-2）
【解析】
【详解】
()2344=a a+a-a a
a a -=-（2）（2）
14．6
【解析】
【分析】
根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解．
【详解】
解：正6边形的中心角为360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，
∴边长为6的正六边形外接圆半径是6,故答案为：6.
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，得出正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形是解题的关键．
15．a
【解析】
【分析】
利用整式的除法运算即可得出答案.
【详解】
原式，
.
【点睛】
本题考查的知识点是整式的除法，解题关键是先将变成，再进行运算.
16．乙乙的比赛成绩比较稳定．
【解析】
【分析】
观察表格中的数据可知：甲的比赛成绩波动幅度较大，故甲的比赛成绩不稳定；乙的比赛成绩波动幅度较小，故乙的比赛成绩比较稳定，据此可得结论．
【详解】
观察表格中的数据可得，甲的比赛成绩波动幅度较大，故甲的比赛成绩不稳定；乙的比赛成绩波动幅度较小，故乙的比赛成绩比较稳定；
所以要选派一名选手参加国际比赛，应该选择乙，理由是乙的比赛成绩比较稳定．
故答案为乙，乙的比赛成绩比较稳定．
【点睛】
本题主要考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
17．1
【解析】
分析：首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=60°，AP=4海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=60°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP•cos∠A=1海里．
详解：如图，由题意可知∠NPA=60°，AP=4海里，∠ABP=90°．
∵AB∥NP，
∴∠A=∠NPA=60°．
在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=60°，AP=4海里，
∴AB=AP•cos∠A=4×cos60°=4×1
2
=1海里．
故答案为1．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，正确理解方向角的定义是解题的关键．
【解析】
【详解】
分析：根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将点（－1,2）代入k 1y x +=，得：k 121+=-，解得：k ＝－1．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19． (1) y ＝﹣x+6；(2) 0＜x ＜2或x ＞4;(3) 点P 的坐标为（2，0）或（﹣3，0）.
【解析】
【分析】
（1）将点A B ，坐标代入双曲线中即可求出m n ，，最后将点A B ，坐标代入直线解析式中即可得出结论；
（2）根据点A B ，坐标和图象即可得出结论；
（3）先求出点C D ，坐标，进而求出CD AD ，，设出点P 坐标，最后分两种情况利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵点A m 4（，）和点B n 2（，）在反比例函数28(0)y x x
=>的图象上， 884,2n
m ∴==， 解得m 2n 4＝，＝，
即A 24B 42（，），（，）
把A 24B 42（，），（，）两点代入y1kx b +＝中得2442k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得：k 1b 6
=-⎧⎨=⎩， 所以直线AB 的解析式为：y x 6+＝﹣；
（2）由图象可得，当x 0＞时，80kx b x
+-≤的解集为0x 2＜＜或x 4＞． （3）由（1）得直线AB 的解析式为y x 6+＝﹣，
当x 0＝时，y ＝6，
C 06∴（，）
， OC 6∴＝，
当y 0＝时，x 6＝，
∴D 点坐标为60（，）
222262(2,4)(62)442CD OC OD A AD ∴=+=∴=-+=Q . 设P 点坐标为a 0（，），由题可以，点P 在点D 左侧，则PD 6a ＝﹣
由CDO ADP ∠∠＝可得
①当COD APD V V ∽时，AD PD CD OD
=， 426a 662
-∴=，解得a 2＝， 故点P 坐标为20（，）
②当COD PAD V V ∽时，AD CD OD PD
=， 426266a
∴=-，解得a 3＝﹣， 即点P 的坐标为30（﹣，）
因此，点P 的坐标为20（，）或30（﹣，）时，COD V 与ADP V 相似．
【点睛】
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，用方程的思想和分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
20．（1）m=1；（2）点P 坐标为（﹣2m ，1）或（6m ，1）．
【解析】
【分析】
（1）先根据反比例函数的图象经过点A （﹣4，﹣3），利用待定系数法求出反比例函数的解
析式为y=，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y 1==，y 2==，然后根据y 1﹣y 2=4列出方程﹣=4，解方程即可求出m 的值；
（2）设BD 与x 轴交于点E ．根据三角形PBD 的面积是8列出方程••PE=8，求出PE=4m ，再由E （2m ，1），点P 在x 轴上，即可求出点P 的坐标．
【详解】
解：（1）设反比例函数的解析式为y=，
∵反比例函数的图象经过点A （﹣4，﹣3），
∴k=﹣4×（﹣3）=12，
∴反比例函数的解析式为y=，
∵反比例函数的图象经过点B（2m，y1），C（6m，y2），
∴y1==，y2==，
∵y1﹣y2=4，
∴﹣=4，
∴m=1，
经检验，m=1是原方程的解,
故m的值是1；
（2）设BD与x轴交于点E,
∵点B（2m，），C（6m，），过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，
∴D（2m，），BD=﹣=，
∵三角形PBD的面积是8，
∴BD•PE=8，
∴••PE=8，
∴PE=4m，
∵E（2m，1），点P在x轴上，
∴点P坐标为（﹣2m，1）或（6m，1）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，正确求出双曲线的解析式是解题的关键．
21．x=60
【分析】
设有x 个客人，根据题意列出方程，解出方程即可得到答案.
【详解】
解：设有x 个客人，则 65234
x x x ++= 解得：x=60；
∴有60个客人.
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 22．（1）0.6；（2）0.6；（3）白球有24只，黑球有16只.
【解析】
试题分析：通过题意和表格，可知摸到白球的概率都接近与0.6，因此摸到白球的概率估计值为0.6. 23．（1）袋子中白球有2个；（2）．
【解析】
试题分析：（1）设袋子中白球有x 个，根据概率公式列方程解方程即可求得答案；（2）根据题意画出树状图，求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 试题解析：（1）设袋子中白球有x 个，
根据题意得：
=，
解得：x=2，
经检验，x=2是原分式方程的解，
∴袋子中白球有2个；
（2）画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况，
∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为：．
考点：列表法与树状图法；概率公式．
24．()1证明见解析；()2EF 23=
【解析】
()1根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明；
()2只要求出CD 即可解决问题.
【详解】
()1证明：D Q 、E 分别是AB 、AC 的中点
DE //CF ∴，
又EF//DC Q
∴四边形CDEF 为平行四边形
DE CF ∴=．
()2AB AC 4==Q ，B 60o ∠=
BC AB AC 4∴===，
又D Q 为AB 中点
CD AB ∴⊥，
∴在Rt BCD V 中，
1BD AB 22
==，
CD ∴==
Q 四边形CDEF 是平行四边形，
EF CD ∴==
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．（1）CF=
)244x +；（2）y=2
x +（0＜x ＜2）；（3）AB=2.5. 【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求得∠DAC=∠ACD=45°，进而根据两角对应相等的两三角形相似，可得△CEF ∽△CAE ，然后根据相似三角形的性质和勾股定理可求解；
（2）根据相似三角形的判定与性质，由三角形的周长比可求解；
（3）由（2）中的相似三角形的对应边成比例，可求出AB 的关系，然后可由∠ABE 的正切值求解. 试题解析：（1）∵AD=CD ．
∴∠DAC=∠ACD=45°，
∵∠CEB=45°，
∴∠DAC=∠CEB，∵∠ECA=∠ECA，∴△CEF∽△CAE，
∴CE CF CA CE
=，
在Rt△CDE中，根据勾股定理得，
，
∵
CA=
=，
∴
CF=
24)
4
x+
；
（2）∵∠CFE=∠BFA，∠CEB=∠CAB，
∴∠ECA=180°﹣∠CEB﹣∠CFE=180°﹣∠CAB﹣∠BFA，∵∠ABF=180°﹣∠CAB﹣∠AFB，
∴∠ECA=∠ABF，
∵∠CAE=∠ABF=45°，
∴△CEA∽△BFA，
∴2
CAE
BFA
C AE
y
C AF x
====
+
V
V
（0＜x＜2），
（3）由（2）知，△CEA∽△BFA，
∴
AE AF
AC AB
=，
24)
x
AB
+
=，
∴AB=x+2，
∵∠ABE的正切值是
3
5
，
∴tan∠ABE=
23
25
AE x
AB x
-
==
+
，
∴x=
1
2
，
∴AB=x+2=
5
2
．
26．(1)一共调查了300名学生；(2) 36°，补图见解析；(3)估计选择“A：跑步”的学生约有800人.
【分析】
（1）由跑步的学生数除以占的百分比求出调查学生总数即可；
（2）求出跳绳学生占的百分比，乘以360°求出占的圆心角度数，补全条形统计图即可；
（3）利用跑步占的百分比，乘以2000即可得到结果．
【详解】
(1)根据题意得：120÷40%=300（名），
则一共调查了300名学生；
(2)根据题意得：跳绳学生数为300﹣（120+60+90）=30（名），
则扇形统计图中“B ：跳绳”所对扇形的圆心角的度数为360°×30300
=36°， ；
(3)根据题意得：2000×40%=800（人），
则估计选择“A ：跑步”的学生约有800人．
【点睛】
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键． 27．（1）y=﹣20x+1600；
（2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元；
（3）超市每天至少销售粽子440盒．
【解析】
试题分析：（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式；
（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P 与x 的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x 的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式即可求解．
试题解析：（1）由题意得，y =70020(45)x --=201600x -+；
（2）P=(40)(201600)x x --+=220240064000x x -+-=2
20(60)8000x --+，∵x≥45，a=﹣20＜0，∴当x=60时，P 最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是
（3）由题意，得220(60)8000x --+=6000，解得150x =，270x =，∵抛物线P=220(60)8000
x --+的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润，又∵x≤58，∴50≤x≤58，∵在201600y x =-+中，20k =-＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x=58时，y 最小值=﹣20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒．
考点：二次函数的应用．。