定积分的方法总结

定积分的方法总结
定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1、求
sin b a
xdx ⎰
，
（b a <） 解:因为函数sin x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的
方法作积分和．取h =
n
a
b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ⋅=+<<+<+<b nh a h a h a a 2 取k ξ是小区间的右端点，即k a kh ξ=+，于是，
1
1
sin lim sin()lim sin()n n
b
a
h h k k xdx a kh h h a kh →→===+=+∑∑⎰
，
其中，
1
1
1
sin()2sin()sin()22sin()2n
n
k k h a kh a kh h ==+=+∑∑=112121
[cos()cos()]222sin()2
n
k k k a h a h h =-++-+∑ 113352121[cos()cos()cos()cos()cos()cos()]
2222222sin()2k k a h a h a h a h a h a h h -+=+-+++-++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-+=)()21cos()21cos()
2sin(21b nh a h b h a h =＋］＋－＋［
将此结果代入上式之中，有
.cos cos )2
cos()2cos()2/sin(2/lim
sin 0b a h
b h a h h xdx h b
a
-=-=→⎰
］＋＋［
从上面的例题可见，按照定积分的定义计算定积分要进行复杂的计算，
在解题时不常用，但它也不失为一种计算定积分的方法．
评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．
变式：
求3321
lim )n n n
→∞+．
分析：将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．
解：将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n
∆=，然后把2111
n n n =⋅的一个因
子1
n
乘入和式中各项．于是
将所求极限
转化为求定积分．即 3321lim
)n n n
→∞+=31lim
)n n n n →∞+=3
4
=⎰．
二、微积分基本定理法 例2、计算
dx x ⎰
-π
sin 1．
解：
dx x ⎰
-π
sin 1⎰
-=π
2cos 2sin dx x x =⎰⎰-+-πππ
2
20)2cos 2(sin )2sin 2(cos dx x
x dx x x
=20
2
2(sin cos )
2(cos sin )
2222
x x
x x
π
π
π
+--=)12(4-．
练习：计算：(1)
xdx e ln 1
⎰
．(2)
xdx x 3cos 0
⎰
π
解: (1)1
1
ln (ln )e e
xdx x x x dx =⋅-⎰⎰
()(01)1e e =---=．
(2)
x xd xdx x 3sin 313cos 00
⎰⎰
=ππ
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰xdx x x 3sin 3sin 3100ππ
11(sin 3cos3)33x x x π
=+92-=．
评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数． 一般地：
vdu uv udv b
a
b
a b
a
⎰⎰
-=)(
三、几何意义法
例3、求定积
分2
2dx -⎰的值.
分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．
解
：2
2
22
12dx dx --=⎰⎰,
而
2
2
dx -⎰
表示圆x 2＋y 2＝4在第一、
二象限的上半圆的面积． 因为2S π=半圆
，又在x 轴上方．所
以2
2dx -⎰＝π．
评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．
四、性质法
例4、求下列定积分：
⑴
44
tan xdx π
π-⎰；⑵22sin 1
x x
dx x π
π
-
+⎰．
分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．
解：由被积函数tan x 及22sin 1
x x
x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．
所以⑴ 44
tan xdx ππ-
⎰＝0；⑵2
2sin 1x x
dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，
()a
a
f x dx -⎰
＝20
()a
f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，
()a
a
f x dx -⎰
＝0
练习：计算：(1)
6
sin x xdx π
π
-
⎰．(0)
(2)1
21
(x dx -⎰(8)．
五、定积分换元法
定理：假设(1) 函数)(x f 在区间],[b a 上连续；(2) 函数)(t x ϕ=在区间],[βα上有连续且不变号的导数；(3) 当t 在],[βα变化时，)(t x ϕ=的值在],[b a 上变化，且b a ==)(,)(βϕαϕ，则有：
[]dt t t f dx x f b
a
⎰⎰
'=β
α
ϕϕ)()()(． (1)
本定理证明从略．在应用时必须注意变换)(t x ϕ=应满足定理的条件，在
改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分． 例5、求
⎰
+30
1dx x
x
解：
令t =，则2
1(0)x t t =->，2dx tdt =，当0x =时，1t =；当3x =时，
2t =。

所以
⎰
+30
1dx x
x =221
12t tdt t -⎰
=2
31
1
2(t t)3-=83。

练习： 计算:(1)
⎰
-a
dx x a 0
2
2
)0(>a ．(2)⎰20
5sin cos π
xdx x ．
解:(1)令t a x sin =，则tdt a dx cos =．当0=x 时，0=t ；当a x =时，2
π
=
t ．故
⎰
-a
dx x a 0
2
2
dt t a t a ⎰⋅=20cos cos π
dt t a
)2cos 1(2
20
2
+=
⎰
π
20
2
2sin 212
π
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=
t t a
42
a π=. 显然，这个定积分的值就是圆2
2
2
a y x =+在第一象限那部分的面积．
(2)解法一 令x t cos =，则xdx dt sin -=． 当0=x 时，1=t ；当2
π
=
x 时，0=t ，于是
6
1
61sin cos 01650120
5=-=-=⎰⎰
t dt t xdx x π．
解法二:也可以不明显地写出新变量t ，这样定积分的上、下限也不要改变．即
x d x xdx x cos cos sin cos 20
5
20
5
⎰
⎰
-=π
π
61610cos 61206
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=-=π
x ．
作业：
1.求下列定积分: (1)
2
20
sin 2x dx π
⎰
;(2);(3)211
(sin 2)21x dx x +-⎰
;(4)2-⎰
2.求下列定积分 (1)
xdx x sin cos 2π
3⎰
， (2)
dx x ⎰
-20
22，
(3)
51
⎰。

答案:(1)
14 (2) 4π (3) 283
3.利用奇偶性计算下列定积分。

（1）
4
sin x
xdx π
π-
⎰，（2）
4
22
4cos d π
πθθ-⎰
，
（3）325
425sin 21
x x
dx x x -++⎰。

答案: 2 （1）0，（2）
3
2
π，（3）0，。