高三数学总复习专题10 解析几何(答案及解析)

高三数学总复习专题10 解析几何
方法点拨
1．圆锥曲线中的最值 （1）椭圆中的最值
12,F F 为椭圆()22
2210+=>>x y a b a b
的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为短轴的
一个端点，O 为坐标原点，则有： ①[],∈OP b a ； ②[]1,∈-+PF a c a c ；
③22
12,⎡⎤⋅∈⎣⎦PF PF b a ；
④1212∠≤∠F PF F BF ． （2）双曲线中的最值
12,F F 为双曲线()22
2210,0-=>>x y a b a b
的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O 为坐
标原点，则有：
①≥OP a ；②1≥-PF c a ． （3）抛物线中的最值
点P 为抛物线()220=>y px p 上的任一点，F 为焦点，则有： ①2
≥p
PF ；
②(),A m n 为一定点，则+PA PF 有最小值． 2．定点、定值问题
（1）由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：()00-=-y y k x x ，则直线必过定点()00,x y ；若得到了直线方程的斜截式：=+y kx m ，则直线必过定点()0,m ． （2）解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值． 3．圆锥曲线中范围、最值的求解策略
（1）数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出临界位置后数形结合求解． （2）构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．
（3）构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域． 4．定点问题的l 过定点问题的解法：设动直线方程(斜率存在)为=+y kx t 由题设条件将t 用k 表示为=t mk ，得()=+y k x m ，故动直线过定点(),0-m ．
（2）动曲线C 过定点问题的解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
（3）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意． 5．求解定值问题的两大途径
（1）首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证明定值：即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关．
（2）先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值． 6．解决探索创新问题的策略
存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
（1）当条件和结论不唯一时，要分类讨论．
（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． （3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．
经典试题汇编
一、选择题．
1．（陕西省渭南市临渭区2021届高三一模）若直线:3=-l y kx 与直线2360+-=x y 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）
A ．ππ
,43⎡⎫
⎪⎢⎣
⎭
B ．ππ
,32⎡⎫
⎪⎢⎣
⎭
C ．ππ
,42
⎛⎫
⎪⎝
⎭ D ．ππ
,32
⎛⎫
⎪⎝
⎭
2．（安徽省淮北市2020-2021学年高三一模）过圆2216+=x y 上的动点作圆
22:4+=C x y 的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C 内不在任何切点
弦上的点形成的区域的面积为（ ） A ．π
B ．
32
π
C ．2π
D ．3π
3．（山西省大同市天镇县实验中学2021-2022学年高三一模）圆222440+-+-=x y x y 与直线2140()---=∈R tx y t t 的位置关系为（ ） A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．以上都有可能
4．（吉林省长春市2022届高三一模）已知圆22:(2)(3)2-+-=C x y ，直线l 过点(3,4)A 且与圆C 相切，若直线l 与两坐标轴交点分别为,M N ，则MN =（ ）
A ．
B ．6
C ．
D ．8
5．（河南省联考2021-2022学年高三一模）若点()2,1--P 为圆229+=x y 的弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为（ ）
A ．250++=x y
B ．250+-=x y
C ．250-+=x y
D ．250--=x y
6．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）若A ，B 是O ：224+=x y 上两个动点，
且2⋅=-OA OB ，A ，B 到直线l 40+-=y 的距离分别为1d ，2d ，则12+d d 的最大值是（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
7．（湖南省长沙市雅礼中学2021届高三一模）过双曲线22
14
-=y x 的左焦点1F 作一
条直线l 交双曲线左支于P ，Q 两点，若4=PQ ，2F 是双曲线的右焦点，则2△PF Q 的周长是（ ） A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
8．（四川省成都市2020-2021学年高三一模）已知抛物线24=x y 的焦点为F ，过F
的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，70,2⎛⎫
⎪⎝
-⎭
P ．若⊥PB AB ，则=AF （ ）
A ．32
B ．2
C ．52
D ．3
9．（湖南省湘潭市2021-2022学年高三上学期一模）已知抛物2:2C y px =（0>p ）的焦点为F ，点T 在C 上，且5
2
=FT ，若点M 的坐标为()0,1，且⊥MF MT ，则C 的方程为（ ） A ．22=y x 或28=y x B ．2=y x 或28=y x C ．22=y x 或24=y x
D ．2=y x 或24=y x
10．（河南省联考2021-2022学年高三一模）点F 为抛物线22=y px ()0>p 的焦点，l 为其准线，过F 的一条直线与抛物线交于A ，B 两点，与l 交于点C ．已知点B 在线段CF 上，若BF ，AF ，BC 按照某种排序可以组成一个等差数列，则AF
BF
的值为（ ） A ．3
2
或3
B ．2或4
C ．32
或4
D ．2或3
11．（贵州省遵义市2021届高三一模）双曲线22
1927
-=x y 上一点P 到右焦点2F 距离为
6，1F 为左焦点，则12∠F PF 的角平分线与x 轴交点坐标为（ ）
A ．()1,0-
B ．()0,0
C ．()1,0
D ．()2,0
12．（吉林省长春市2022届高三一模）已知P 是抛物线24=y x 上的一动点，F 是抛物线的焦点，点(3,1)A ，则||||+PA PF 的最小值为（ ）
A ．
3
B ．
C ．4
D ．13．（多选）（湖南省湘潭市2021-2022学年高三一模）已知双曲线2222:1-=x y C a b
（0>a ，
0>b ）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（ ）
A ．若
=a b ，则C
B ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与
C 的渐近线相切
C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12△PF F 的内切圆圆心的横坐标=x a
D ．若M 为直线2
=a x c
（=c 0的一点，则当M 的纵坐标为
时，2MAF 外接圆的面积最小 14．（江西省赣州市2021届高三3月一模）已知M 、N 是双曲线
()22
22:10,0-=>>x y C a b a b
上关于原点对称的两点，P 是C 上异于M 、N 的动点，设直线PM 、PN 的斜率分别为1k 、2k ．若直线12
=y x 与曲线C 没有公共点，当双曲线C 的离心率取得最大值时，且123≤≤k ，则2k 的取值范围是（ ） A ．11,128⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
B ．1
1,812⎡⎤--
⎢⎥⎣⎦ C ．11
,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．11,2
3⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
15．（四川省成都市2021-2022学年高三一模）已知双曲线()22
2210,0-=>>x y a b a b
的
一条渐近线方程为=y ，则该双曲线的离心率为（ ）
A B C ．2
D ．3
16．（四川省成都市2020-2021学年高三一模）已知平行于x 轴的一条直线与双曲
线()222210,0-=>>x y a b a b 相交于P ，Q 两点，4=PQ a ，π
3
∠=PQO （O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A B C D
17．（甘肃省嘉谷关市第一中学2020-2021学年高三一模）已知双曲线
22
22
1(0,0)-=>>y x a b a b
与抛物线2
=x 共焦点F ，过点F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，若三角形OMF 的面积为2，则双曲线的离心率为（ ）
A
B ．16
C D ．4或43
18．（四川省乐山市高中2022届一模）已知双曲线()22
2210,0-=>>x y a b a b
，过原点的
直线与双曲线交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F ，若
ABF 的面积为22a ，则双曲线的离心率为（ ）
A
B C D ．
2
19．（四川省达州市2021-2022学年高三一模）双曲线()22
2210,0-=>>x y a b a b
的左顶点
为A ，右焦点(),0F c ，若直线=x c 与该双曲线交于B 、C 两点，ABC 为等腰直角三角形，则该双曲线离心率为（ ）
A ．
2
B
C
D ．3
20．（陕西省汉中市2022届高三一模）已知F 是椭圆22
22:1(0)+=>>x y C a b a b 的右焦点，
点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆2
22
39⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭c b x y 相切于点Q ，且2=PQ QF ，则椭圆C 的离心率等于（ ）
A B ．23
C ．
2
D ．12
21．（广西柳州市2022届高三一模）已知1F ，
2F 分别为双曲线C ：22
221-=x y a b
()0,0>>a b 的左，右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线C 的右支在第一象限交于A 点，直线2AF 与双曲线C 的右支交于B 点，点2F 恰好为线段AB 的三等分点(靠近点A )，则双曲线
C 的离心率等于（ ）
A B C ．
3
D ．
12
+ 二、填空题．
22．（贵州省遵义市2021届高三一模）直线1=-+y kx k 与圆224+=x y 交于,A B 两点，则AB 最小值为________．
23．（湖南省长沙市雅礼中学2021届高三一模）若抛物线22=y px 上一点()02,P y 到
其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为___________．
24．（四川省成都市第七中学2021-2022学年高三一模）已知12,F F 为双曲线
22:1169
-=x y C 的两个焦点，,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12=PQ F F ，则四边形12PF QF 的面积为________．
25．（四川省达州市2021-2022学年高三一模）设直线()y kx k =∈R 交椭圆22
1
164
+=x y 于A ，B 两点，将x 轴下方半平面沿着x 轴翻折与x 轴上方半平面成直二面角，则AB 的取值范围是___________．
26．（四川省成都市2021-2022学年高三一模）已知斜率为13
-且不经过坐标原点O
的直线与椭圆22
+197
x y =相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则直线OM 的斜率
为________． 三、解答题．
27．（四川省成都市第七中学2021-2022学年高三一模）已知两圆221:(2)54C x y -+=，
222:(2)6C x y ++=，动圆M 在圆1C 内部且和圆1C 内切，和圆2C 外切．
（1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；
（2）过点()3,0A 的直线与曲线C 交于,P Q 两点，P 关于x 轴的对称点为R ，求ARQ 面积的最大值．
28．（四川省成都市2020-2021学年高三一模）已知椭圆()2222:10+=>>x y C a b a b
的离
心率为
2，且直线1+=x y
a b
与圆222+=x y 相切． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ﹐B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆C 相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上．记AOM ，△BOP
的面积分别为1S ，2S ，求
1
2
S S 的取值范围． 29．（陕西省汉中市2022届高三一模）已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b 的离心率为1
2
，
左､右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，点P 在椭圆C 上，且满足2122,3
π
=∠=PF F PF ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知过点(1,0)且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在定点Q ，使得∠=∠MQO NQO ，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．
30．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）已知椭圆()22
22:10+=>>x y C a b a b
的离
心率为
2
，椭圆C 的下顶点和上顶点分别为1B ，2B ，且122=B B ，过点()0,2P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．
（1）求椭圆C 的标准方程； （2）当1=k 时，求OMN 的面积；
（3）求证：直线1B M 与直线2B N 的交点T 的纵坐标为定值．
31．（江西省赣州市2021届高三3月一模）设离心率为1
2
的椭圆2222:1(0)
+=>>x y E a b a b 的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在E 上，且满足1260∠=︒F PF ，
12△PF F
（1）求a ，b 的值；
（2）设直线:2(0)=+>l y kx k 与E 交于M ，N 两点，点A 在x
轴上，且满足
0⋅+⋅=AM MN AN MN ，求点A 横坐标的取值范围．
32．（广西柳州市2022届高三一模）已知椭圆C ：22
221+=x y a b
()0>>a b 的左右焦点分
别为
1F ，2F ，过2F 且与x 轴垂直的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，AOB 的面积为﹐点
P 为椭圆C 的下顶点，2=PF ． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）椭圆C 上有两点M ，N (异于椭圆顶点且MN 与x 轴不垂直)．当OMN 的面积最大时，
直线OM 与ON 的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 33．（湖南省湘潭市2021-2022学年高三一模）已知圆锥曲线E 上的点M 的坐标(),x y
=．
（1）说明E 是什么图形，并写出其标准方程；
（2）若斜率为1的直线l 与E 交于y 轴右侧不同的两点A ，B ，点P 为()2,1． ①求直线l 在y 轴上的截距的取值范围； ②求证：∠APB 的平分线总垂直于x 轴．
34．（四川省乐山市高中2022届一模）如图，从椭圆22
221(0)+=>>x y a b a b
上一点P 向x
轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ．又点A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B 是椭圆与y
轴正半轴的交点，且=OP AB k ，13=F A ． （1）求椭圆的方程；
（2）直线l 交椭圆于M ､Q 两点，判断是否存在直线l ，使点2F 恰为MQB △的重心？若存在，
求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
35．（安徽省淮北市2020-2021学年高三一模）已知椭圆22
22:1(0)+=>>x y C a b a b
的离
心率为1
2
，左顶点为A ，右焦点F ，3=AF ．过F 且斜率存在的直线交椭圆于P ，N 两点，P 关于原点的对称点为M ． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在常数λ，使得12λ=k k 恒成立？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．
36．（湖南省长沙市雅礼中学2021届高三一模）已知椭圆()22
2210:x y a b a b
C +=>>，连
接椭圆上任意两点的线段叫作椭圆的弦，过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径．若椭圆
的两直径的斜率之积为2
2-b a
，则称这两直径为椭圆的共轭直径．特别地，若一条直
径所在的斜率为0，另一条直径的斜率不存在时，也称这两直径为共轭直径．现已
知椭圆22
:143
x y E +=．
（1）已知点31,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭
A ，31,2
⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
B 为椭圆E 上两定点，求AB 的共轭直径的端点坐标；
（2）过点()作直线l 与椭圆E 交于1A ､1B 两点，直线1A O 与椭圆E 的另一个交点为2A ，直线1B O 与椭圆E 的另一个交点为2B ．当11A OB 的面积最大时，直径12A A 与直径12B B 是否共轭，请说明理由；
（3）设CD 和MN 为椭圆E 的一对共轭直径，且线段CM 的中点为T ．已知点P 满足：
λ=OP OT ，若点P 在椭圆E 的外部，求λ的取值范围．
参考答案
一、选择题． 1CACCADDDADDC 13．【答案】ABD
【解析】对于A 中，因为=a b ，所以222=a c ，故C
的离心率==c
e a
所以A 正确； 对于B 中，因为()1,0-F c 到渐近线0-=bx ay
的距离为=
=d b ，所以B 正确；
对于C 中，设内切圆与12△PF F 的边1221,,F F F P F P 分别切于点1,,A B C ， 设切点1A (,0)x ，
当点P 在双曲线的右支上时，可得121212-=+--=-PF PF PC CF PB BF CF BF
1112=-A F A F ()()22=+--==c x c x x a ，
解得=x a ，
当点P 在双曲线的左支上时，可得=-x a ，
所以12△PF F 的内切圆圆心的横坐标=±x a ，所以C 不正确； 对于D 中，由正弦定理，可知2MAF 外接圆的半径为2
2
2sin =∠AF R AMF ，
所以当2sin ∠AMF 最大时，R 最小，
因为2
<a a c
，所以2∠AMF 为锐角，故2sin ∠AMF 最大，只需2tan ∠AMF 最大，
由对称性，不妨设2,⎛⎫ ⎪⎝⎭a M t c （0>t ），设直线2
=a x c 与x 轴的交点为N ，
在直角2△NMF 中，可得22
2tan ==∠-a c NF NM NMF c
t ， 在直角△NMA 中，可得2
tan =
-=∠a a NA A NM NM c t
，
又由2222tan tan tan tan()1tan tan NMF NMA
AMF NMF NMA NMF NMA
∠-∠∠=∠-∠=
∠⋅+∠
222
222()1c c a ab c a a a a c c
t t a a c t a c c t t
c t -==≤
+--
---⨯-+， 当且仅当()22
-=ab c a t c t ，即
=t 2tan ∠AMF 取最大值， 由双曲线的对称性可知，
当=t 2tan ∠AMF 也取得最大值，所以D 正确，
故选ABD ． 14．【答案】A
【解析】因为直线1
2
=y x 与双曲线()2222:10,0-=>>x y C a b a b 没有公共点，
所以双曲线C 的渐近线的斜率12
=≤b
k a ，
而双曲线C
的离心率====c e a 当双曲线C 的离心率取最大值时，b a 取得最大值12，即12
=b a ，即2=a b ，
则双曲线C 的方程为22
2214-=x y b b
，
设()11,M x y 、()11,--N x y 、()00,P x y ，则22
1122
22
0022
1414⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩x y b b x y b b ， 两式相减得
()()()()
101010102
2
4+-+-=x x x x y y y y b b ，即
101010101
4
-+⋅=-+y y y y x x x x ， 即121
4
⋅=k k ， 又123≤≤k ，211,128⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
k ，故选A ． 15．【答案】B
【解析】双曲线22221-=x y a b 的渐近线方程为=±b
y x a
，
因为渐近线方程为
=y ，所以=b
a
故可得====e B ． 16．【答案】D
【解析】如图，由题可知，△POQ 是等边三角形，
4=PQ a ，()
2,∴P a ，
将点P 代入双曲线可得22224121-=a a a b ，可得2
24=b a
，
∴离心率===c e a D ．
17．【答案】C
【解析】抛物线
2=x 的交点坐标为(F ，
又双曲线22
221(0,0)-=>>y x a b a b
与抛物线2=x 共焦点，∴双曲线的半焦距=c ，
三角形OMF 的面积为2，且=OM a ，=MF b ，∴1
22
=⋅ab ，即4=ab ， 有22217+==a b c ，∴1=a 或4=a ，
∴双曲线的离心率为=
e ，故选C ．
18．【答案】B
【解析】设双曲线的左焦点为'F ，连接'AF ，'BF ， 因为以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点(),0F c ， 所以⊥AF BF ，圆心为()0,0O ，半径为c ， 根据双曲线的对称性可得四边形'AFBF 是矩形，
设=AF m ，=BF n ，则2222241
22
⎧
⎪-=⎪
+=⎨⎪⎪=⎩n m a n m c mn a ，
由()2222-=+-n m m n mn ，可得222484-=c a a ，
所以2
2
3=c a ，所以2
2
23==c e a
，所以=e ，故选B ．
19．【答案】A
【解析】联立2
222222
1=⎧⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎩x c
x
y a b c a b
，可得2=±b y a ，则22=b BC a ，
易知点B 、C 关于x 轴对称，且F 为线段BC 的中点，则=AB AC ，
又因为ABC 为等腰直角三角形，所以2=BC AF ，即()2
22=+b c a a
， 即()222+==-a c a b c a ，所以=-a c a ，可得2=c a ， 因此，该双曲线的离心率为2==c
e a
，故选A ． 20．【答案】A
【解析】圆2
22
39⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
c b x y 的圆心为,03⎛⎫ ⎪⎝⎭c A ，半径为3=b r ． 设左焦点为1F ，连接1PF ，由于12
4,33
==AF c AF c ， 所以
12==AF PQ
AF QF
，所以1//AQ PF ，所以12,2==-PF b PF a b ， 由于⊥AQ PF ，所以1⊥PF PF ， 所以()()()2
2
222224+-==-b a b c a b ，
2320,3-==b b a a ，===
c e a ，故选A ．
21．【答案】C
【解析】设2=AF x ，则22=BF x ，
由双曲线的定义可得1222=+=+AF AF a a x ，12222=+=+BF BF a a x ， 因为点A 在以12F F 为直径的圆上，所以190∠=F AB ，
所以22211+=AF AB BF ，即()()()2222322++=+a x x a x ，解得2
3
=x a ， 在12△AF F 中，1823=+=AF a x a ，223
=AF a ，122=F F c ， 由2
2
2
12
12+=AF AF F F 可得()22
282233⎛⎫⎛⎫
+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
a a c ，即22179=a c ，
所以双曲线离心率为3
===
e ，故选C ．
二、填空题． 22．
【答案】【解析】直线1=-+y kx k 过定点过()1,1M ， 因为点()1,1M
在圆的内部，且OM == 由圆中弦的性质知当直线与OM 垂直时，弦长最短， 此时结合垂径定理可得
AB ==
故答案为 23．【答案】28=y x
【解析】抛物线的准线方程为2
=-p x ，点()02,P y 到其准线的距离为22
+p ， 由题意可得242
+
=p
，解得4=p ， 故抛物线的标准方程为28=y x ，故答案为28=y x ． 24．【答案】18
【解析】由双曲线的对称性以及12=PQ F F 可知，四边形12PF QF 为矩形，
所以12222
12284100
⎧-==⎪⎨+==⎪⎩PF PF a PF PF c ，解得1218=PF PF ， 所以四边形12PF QF 的面积为1218=PF
PF ， 故答案为18．
25．
【答案】(⎤⎦
【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程组22
1164
=⎧⎪⎨+
=⎪⎩y kx x y ，可得22(14)160+-=k x ， 可得1212216,014=-
+=+x x x x k ，所以22
12
2
1614==+x x k ， 将椭圆x 轴下方半平面沿着x 轴翻折与x 轴上方半平面成直二面角， 分别作,⊥⊥BC x AD x 于点,C D ，如图所示， 则2222=++AB BC CD AD ，
又由22222
2222211,====BC y k x AD y k x ，
2
222212*********
64
()2()414=-=+-=+-=+CD x x x x x x x x x x k
， 所以2
2
2
2
2222122
64
14=++=++
+AB BC CD AD k x k x k 22222
32648(417)78(1)141414+⋅++===⋅++++k k k k k ， 因为∈R k ，所以20≥k ，所以2411+≥k ，所以2
70741
<≤+k ，
所以2
788(1)6414<⋅+
≤+k ，即2
864<≤AB
，所以8<≤AB ，
所以AB
的取值范围是(⎤⎦
，故答案为(⎤⎦．
26．【答案】7
3
【解析】设直线AB 的方程为13
=-+y x b ，
联立22
131
9
7⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y x b x y ，得221()3197-++=x b x ，
即22869630-+-=x bx b ，
由223632(963)0b b ∆=-->
，得-<<b 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，
则120328+=
=x x b x ，0011373388=-+=-⨯+=
b b
y x b b ， 即37(,)88
b b
M ，
则直线OM 的斜率为0073==y k x ，故答案为7
3
．
三、解答题．
27．【答案】（1）22
12420
+=x y ；（2
．
【解析】（1）依题意，圆1C 的圆心()12,0C
，半径1=r 圆2C 的圆心()22,0-C
，半径2=r
设圆M 的半径为r ，则有11=-MC r r ，22=+MC r r ，
因此，1212124+=+=>=MC MC r r C C ，
于是得点M 的轨迹是以12,C C
为焦点，长轴长2=a 此时，焦距24=c ，短半轴长b 有22220=-=b a c ，
所以动圆圆心M 的轨迹C 的方程为22
12420
+=x y ．
（2）显然直线PQ 不垂直于坐标轴，设直线PQ 的方程为3(0)=+≠x my m ，
1122(,),(,)P x y Q x y ，
由22
356120
=+⎧⎨+=⎩x my x y ，消去x 得22
(56)30750++-=m x my ， 则1226350+=-
+m y y m ，122
75
56
=-+y y m ， 点P 关于x 轴的对称点11(,)-R x y ，
1211
|2|||2
=⋅⋅-PQR
S
y x x ，111
232
=⋅⋅-APR
S y x ，如图，
显然1x 与2x 在3的两侧，即21-x x 与13-x 同号， 于是得()
()()1211121133=-=---=⋅---AQR
PQR
APR
S
S
S
y x x x y x x x
1212122
75|||75|||3|||||||6565|||==⋅-==⋅==
++≤m y x y my my y m m m ， 当且仅当6
5||||
=
m m ，即=m 时取“=
”，因此，当
=m 时，max ()=
AQR S
，
所以ARQ 面积的最大值
4
． 28．【答案】（1）22
163+=x y
；（2
）⎣⎦
．
【解析】（1
）∵椭圆的离心率为
2，∴2
=c a （c 为半焦距）， ∵直线1+=x
y a
b
与圆222+=
x y
=，
又∵222+=c b a ，∴26=a ，23=b ，
∴椭圆C 的方程为22
163
+=x y ．
（2）∵M 为线段AB 的中点，∴
12==
AOM BOP OM
S S S S OP
△△． （ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，
由⊥OA OB 及椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为=
y x ，得2
2=A
x ．
则22=M
x ，2
6=P x
，∴123
==
OM S S OP ； （ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设直线():0=+≠l y kx m m ，
()11,A x y ，()22,B x y ，
由22
16
3=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx m
x y ，消去y ，得()222214260++-=＋k x kmx m ， ∴()()()2222221682138630k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22630-+>k m ．
∴122421
+=-+km
x x k ，21222621-=+m x x k ．
∵点O 在以AB 为直径的圆上，∴0⋅=OA OB ，即12120+=x x y y ， ∴()()221212121210+=++++=x x y y k x x km x x m ，
∴()22
2
22
264102121-⎛⎫++-+= ⎪++⎝⎭
m km k km m k k ． 化简，得2222=＋m k ，经检验满足0∆>成立， ∴线段AB 的中点22
2,2121⎛⎫
-
⎪++⎝⎭
km m M k k ， 当0=k 时，22=m
，此时
123==
S S ； 当0≠k 时，射线OM 所在的直线方程为1
2=-
y x k
， 由22
121
63⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y x k x y ，消去y ，得2221221=+P k x k ，2
2321=+P y k ， ∴
==M P OM y OP y ∴
12==S S
12,33⎛∈ ⎝⎭
S S ， 综上，1
2
S S
的取值范围为⎣⎦
．
29．【答案】（1）22
143
+=x y ；（2）存在，()4,0．
【解析】（1）在12△PF F 中，1122,2
=-=c
PF a a ，
所以，由余弦定理()224(22)4222=-+--c a a
，解得2,==a b ，
所以，椭圆方程为22
143
+=x y ．
（2）假设存在点(),0Q m 满足条件，设直线l 的方程为()10=+≠x ty t ，
设()()1122,,,M x y N x y ，联立()2222
1
,34690143
=+⎧⎪++-=⎨+
=⎪⎩x ty t y ty x y ， 121212221269
,,3434--+=
=+=+++--MQ NQ
y y t y y y y k K t t x m x m
， 又因为∠=∠MQO NQO ，所以0+=MQ NQ K K ，即12
12
=--y y x m m x ， 即()()1211-=-y m x y m x ，
将11221,1=+=+x ty x ty 代入化简得()()121212-+=m y y ty y ， 即
()2261183434
---=++t m t
t t ，
计算得4=m ，所以存在()4,0点使得∠=∠MQO NQO ．
30．【答案】（1）2
212
+=x y ；（2）面积不存在；（3）证明见解析．
【解析】（1）因为122=B B ，所以22=b ，即1=b ，
因为离心率为
2
，所以2
=c a ，设=c m
，则=a ，0>m ， 又222=-c a b ，即2222=-m m b ，解得1=m 或1-（舍去），
所以=a 1=b ，1=c ，
所以椭圆的标准方程为2
212
+=x y ．
（2）由2
21
22⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
x y y x ，得()222220++-=x x ，
23860++=x x ，284360∆=-⨯⨯<，
所以直线与椭圆无交点，故OMN 的面积不存在．
（3）由题意知，直线l 的方程为2=+y kx ，设()11,M x y ，()22,N x y ，
则22
2
12
=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx x y ，整理得()22
21860+++=k x kx ，
则()()22122122846120821621Δk k k x x k x x k ⎧=-⨯+>⎪⎪
⎪
+=-⎨+⎪
⎪
=⎪+⎩
，
因为直线和椭圆有两个交点，所以()()2
2824210k k ∆=-+>，则23
2
>k ，
设(),T m n ，因为1B ，T ，M 在同一条直线上，则11111
1313
+++===+y kx n k m x x x ， 因为2B ，T ，N 在同一条直线上，则
22222
1111
-+-===+y kx n k m x x x ， 由于
()21212283311213440621
⎛
⎫⋅- ⎪
++-+⎝⎭
+⋅=+=+=+k x x n n k k k m m x x k ，所以12=n ， 则交点T 恒在一条直线12=y 上，故交点T 的纵坐标为定值12
．
31．【答案】（1）2=a
，=b （2
）6⎡
⎫
-
⎪⎢⎪⎣
⎭
． 【解析】（1）设椭圆短轴的端点为B ，则21
sin 2
∠=OBF ，所以26
π∠=OBF ，123
π
∠=F BF ，
所以点P 即为点B
，所以12
122
=⋅⋅==△PF F S c b bc ，
又12
=c a ，222=-a b c ，所以2=a
，=b
（2）设(,0)A m ，()11,M x y ，()22,N x y ，MN 的中点()00,H x y ，
由22
23412
=+⎧⎨+=⎩y kx x y ，得()22431640+++=k x kx ， 所以()()222(16)164348410k k k ∆=-+=->， 又0>k ，所以12
>k ，所以122
1643
+=-+k
x x k ， 所以12028243+=
=-+x x k x k ，0026
243=+=+y kx k ，即2286,4343⎛⎫- ⎪++⎝⎭
k H k k ， 因为()20⋅+⋅=+⋅=⋅=AM MN AN MN AM AN MN AH MN ， 所以⊥AH MN ，
所以226
143843
+=---+k k k m
k ，得2
223434=-=-++k m k k k ， 因为1
2>k
，所以34+≥k k
，当且仅当=
k =”号，
所以⎡⎫
∈⎪⎢⎪⎣⎭
m ， 故点A
的横坐标的取值范围是6⎡
⎫-
⎪⎢⎪⎣
⎭
． 32．【答案】（1）22184+=x y ；（2）1
2
-，理由见解析．
【解析】（1）由题意可得：在2OPF Rt 中，22222+=OP OF PF ，
即)2
2
2
+=b c ，所以=b c ，
椭圆C ：22221+=x y a b 中，令=x c 可得2422221⎛⎫=-= ⎪⎝⎭c b y b a a
，
所以2=±b y a ，可得2
2=b AB a
，
所以22122=⋅⋅==AOB
b b
c S
c a a
所以2=b c ，
因为=b c ，222=+a b c
，所以34====b b ， 可得24=b ，所以2==c b ，2228=+=a b c ，
所以椭圆C 的标准方程为22
184
+=x y ．
（2）设直线MN 的方程为=+y kx t ，()11,M x y ，()22,N x y ，
由22
18
4=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx t
x y ，可得()222214280+++-=k x ktx t ， ()()222216421280k t k t ∆=-+->，即2284<+t k ，
122
412-+=+kt
x x k
，21222812-=+t x x k ， 所以()()()2212121212=++=+++y y kx t kx t k x x kt x x t
()()2222
2222
2
222
28124812121212-+-=
-+=++++k t k t k t t k k k k k
，
12=-=MN x
==， 点()0,0O 到直线=+y kx t
的距离=
d
所以OMN
的面积为1122⋅==MN d
2222
84
212+-+≤=+t k t k
， 当且仅当22284=-+t k t 即2224-=t k 时等号成立，
2222222122222
128128241
122828282
-+--+⋅==⨯===-+---OM ON
y y t k k t k t t k k x x k t t t ， 所以当OMN 的面积最大时，直线OM 与ON 的斜率之积是1
2
-．
33．【答案】（1）E
是以()
，)
为焦点，长轴长为22
163
+=x y ；（2
）①(3,-；②证明见解析． 【解析】（1）圆锥曲线E
是以()
，)
为焦点，长轴长为的椭圆，
其标准方程为22
163
+=x y ．
（2）①设直线l ：=+y x m ，()11,A x y ，()22,B x y ，
由22
1
6
3⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
x y y x m ，消去y ，得2234260++-=x mx m ， 由题意，有()()22
12
21244326040326
03m m m
x x m x x ∆⎧=-⨯->⎪⎪
⎪+=->⎨⎪
⎪-=
>⎪⎩
，解得3-<<m ， 所以直线l 在y
轴上的截距的取值范围为(3,-．
②因为点P 在椭圆上，若直线l 过点P ，即点A （或点B ）与P 重合，
则l 与E 的另一个交点为25,3
3⎛⎫
--
⎪⎝⎭
，不合题意，所以点A （或点B ）与P 不重合； 若AP 或BP 的斜率不存在，则直线l 过点()2,1-，此时，l 与E 只有一个交点， 所以AP 与BP 的斜率都存在，
设直线AP 的斜率为1k ，直线BP 的斜率为2k ， 因为A ，B 在轴的右侧，结合图象，可知，
要证∠APB 的平分线总垂直于x 轴，只要证120=+k k ， 因为11112-=
-y k x ，2221
2
-=-y k x ，也即证()()()()122112120--+--=y x y x ，
而()()()()()()()()1221122112121212--+--=+--++--y x y x x m x x m x
()()()2121241242344344033-⎛⎫
=+-+-+=+---+= ⎪⎝⎭
m m x x m x x m m m 成立， 故∠APB 的平分线总垂直于x 轴．
34．【答案】（1）22143
+=x y ；（2
）存在，:80--=l y ．
【解析】（1）由题可知，(,0)A a ，(0,)B b ，2,⎛⎫
- ⎪⎝
⎭b P c a ，
因为=OP AB k
，则2
00--=---b b a c a
，解得=b ，
故有2223+=⎧⎪
=⎨⎪+=⎩
a c
b b
c a ，解得2=a
，=b
椭圆方程为22
143
+=x y ．
（2）法一：假设存在，易知直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为=+y kx m ，()11,M x y ，()22,Q x y ，
联立22
143
=+⎧⎪⎨+
=⎪⎩y kx m
x y ，得()2223484120+++-=k x kmx m ， 则122
2
12283441234⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
km x x k m x x k ， 因为2F 为MQB △
的重心，则12120
130
3++⎧=⎪⎪
⎨++⎪=⎪⎩
x x y y
，解得12123+=⎧⎪⎨+=⎪⎩x x y y
则122128334⎧+=-=⎪
+⎨⎪+++=⎩km x x k kx m kx m
，化简得228334634⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩km k m k
，解得⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩k m ，
所以直线:80--=l y ．
法二：设()11,M x y ，()22,Q x y ，
因为2F 为MQB △
的重心，则120
130
++⎧=⎪⎪
=x x
，解得12123+=⎧⎪⎨+=⎪⎩x x y y
设MQ 的中点R
，则3
,2
⎛ ⎝⎭
R ， 因为M ，Q 在椭圆22143+=x y 上，则22
112222143
1
4
3⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，
两式相减得3
4⋅=-MQ OR k k
，即=MQ k
所以直线:80--=l y ．
35．【答案】（1）22
143
+=x y ，（2）3λ=．
【解析】（1）因为离心率为1
2，所以12
==c e a ， 又3=AF ，所以3+=a c ，解得2=a ，1=c ， 又222=-c a b ，所以23=b ，
所以椭圆方程为22
143
+=x y ．
（2）由（1）知()1,0F ，()2,0-A ，
设直线PN 的方程为1=+x my ，()11,P x y ，()22,N x y ， 因为M 与P 关于原点对称，所以()11,--M x y ， 所以1112=
-y x k ，2222
=+y
k x ， 若存在λ，使得12λ=k k 恒成立，所以121222
λ=-+y y
x x ， 所以()()122122λ+=-y x y x ，
两边同乘1y 得()()21221122λ+=-y x y y x ，
又因为()11,P x y 在椭圆上，所以22
11143
+=x y ，
所以()()
2112
11
3223144-+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
x x x y ，
所以
()()
()()112211322224
λ-++=-x x x y y x ，
当12≠x 时，则()()12213
224
λ-++=x x y y ， 所以()21212136124λ--+-=x x x x y y ①； 当12=x 时，M 与A 重合，
联立方程221143=+⎧⎪⎨+=⎪⎩x my x y ，消元得()2234690++-=m y my ，所以212212934634-⎧
=⎪⎪+⎨-⎪+=⎪+⎩y y m m y y m ，
所以()212128
234
+=++=+x x m y y m ，()2
2
2121212412134-=+++=+m x x m y y m y y m ，
代入①得2222
1236489
124343434
λ-+--+-=+++m m m m ， 整理得10836λ-=-，解得3λ=． 36．【答案】（1
）2-
⎭
和2⎛ ⎝⎭
；（2）直径12A A 与直径12B B 共轭，理由见解析；（3
）λ>
λ< 【解析】（1）由题设知3
2
=AB k ，
设所求直线方程为=y kx ，则34⋅=-AB k k ，则12
=-k ， 故共轭直径所在直线方程为12
=-y x ．
联立椭圆与12=-y x ，即22
121
43⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y x x y 可得2
3=x
，=x
故端点坐标为⎭
和⎛ ⎝⎭
．
（2）由题设知，l 不与x 轴重合，故设l
：=x my ()111,A x y ､()122,B x y ，
联立方程(
)2222
343014
3⎧=⎪
⇒+--=⎨+=⎪⎩x my m y x y ，
则12234+=+y y m ，1223
34-=+y y m ，2122
121234-=+m x x m ，
122223434=-=⋅=++S y m
m 6
3=
≤
=，
当且仅当2313+=m ，即22
3
=m 时取等号， 此时12
12
2122
2123312124-⋅===-=--A A B B
y y b k k x x m a
，故直径12A A 与直径12B B 共轭． （3）设点()11,C x y ，()22,M x y ，
当CD 不与坐标轴重合时，设CD l ：=y kx ，则MN l ：3
4=-
y x k
， 联立2
22
221122
1212,343414
3=⎧⎪⇒==⎨+++
=⎪⎩y kx k x y x y k k ， 同理可得222
21634=+k x k ，2
22
934=+y k
． 由椭圆的对称性，不妨设C 在第一象限，则M 必在第二象限或第四象限，
则1=x
1=y
若M
在第二象限，则2=x
2=y ，
从而 ⎪⎝⎭
T ，
则⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭
P ．
又P
在椭圆外，则22
3412⎫⎪⎪+>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 化简可得22λ>
，即λ>
λ<
若M 在第四象限，同理可得22λ>
，即λ>
λ<
当CD 与x 轴垂直或重合时，由椭圆的对称性，不妨取()2,0C
，(M ，
则λ⎛
⎫
⎪ ⎪⎝⎭
P ． 又P 在椭圆外，则2223
341224
λλλ+⋅>⇒>
，即λ>
λ<
综上：λ>
λ<。