(完整word版)声学基础课后答案

习题1
1-1 有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为f ，质量为m ，求它的弹性系数。

解：由公式m
m
o M K f π
21=
得： m f K m 2)2(π=
1-2 设有一质量m M 用长为l 的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。

试问：
（1） 当这一质点被拉离平衡位置ξ时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表
示？
（2） 当外力去掉后，质点m M 在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如
何表示？
（答：l
g
f π
210=
，g 为重力加速度）
图 习题1－2
解：（1）如右图所示，对m M 作受力分析：它受重力m M g ，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T ，
这两力的合力F 就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。

设绳子摆动后与竖直方向夹角为θ，则sin l
ξ
θ=
受力分析可得：sin m m F M g M g l
ξ
θ==
（2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在F 作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方
向与位移的方向相反。

由牛顿定律可知：22d d m F M t ξ
=-
则 22d d m m M M g t l ξξ-= 即 22d 0,d g
t l
ξξ+=
∴ 20g l ω=
即 01,2πg
f l
= 这就是小球产生的振动频率。

1-3 有一长为l 的细绳，以张力T 固定在两端，设在位置0x 处，挂着一质量m M ，如图所示，试问：
(1) 当质量被垂直拉离平衡位置ξ时，它所受到的恢复平
衡的力由何产生？并应怎样表示？
(2) 当外力去掉后，质量m M 在此恢复力作用下产生振动，它的振动频率应如何表示？ (3) 当质量置于哪一位置时，振动频率最低？ 解：首先对m M 进行受力分析，见右图，
0)(2
20
02
2
00=+-+--=ε
ε
x x T
x l x l T
F x
（0x 〈〈ε ，2022020220)()(,x l x l x x -≈+-≈+∴εε 。

）
2
2
2
2
0)(ε
ε
ε
ε
+++-=x T
x l T
F y
x T
x l T
ε
ε
+-≈
ε)
(00x l x Tl
-=
可见质量m M 受力可等效为一个质点振动系统，质量m M M =，弹性系数)
(00x l x Tl
k -=。

（1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为ε)
(00x l x Tl
F -=
，方向为竖直向下。

图 习题1-3
（2）振动频率为m
M x l x Tl
M
K )(00-==
ω。

（3）对ω分析可得，当2
0l
x =
时，系统的振动频率最低。

1-4 设有一长为l 的细绳，它以张力T 固定在两端，如图所示。

设在绳的0x 位置处悬有一质量为M 的重物。

求该系统的固有频率。

提示：当悬有M 时，绳子向下产生静位移0ξ以保持力的平衡，并假定M 离平衡位置0ξ的振动ξ位移很小，满足0ξξ<<条件。

图 习题1－4
解：如右图所示，受力分析可得 002cos 4cos 12T Mg Mg l l
θπξξθ=⎫
⎪⎪⇒
=⎬=⎪⎪⎭
又0ξξ<<，'T T ≈，可得振动方程为 202d 2d 2
T
M l t
ξξ
ξ+-=
即 202
d 44d T T
M t l l
ξξξ+=- ∴ 00
141
1
222T l Mg g
f M M ππ
ξπ
ξ=
==1-5 有一质点振动系统，已知其初位移为0ξ，初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。

解：设振动位移)cos(0ϕωεε-=t a ， 速度表达式为)sin(00ϕωεω--=t v a 。

由于00
εε
==t ，00==t v ，
代入上面两式计算可得：
t 00cos ωεε= ；
t v 000sin ωεω-=。

振动能量22022
121
a m a
m M v M E εω==。

1-6 有一质点振动系统，已知其初位移为0ξ，初速度为0v ，试求其振动位移、速度、和能量。

解：如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为m K ，质量为m M ，取正方向沿x 轴，位移为ξ。

则质点自由振动方程为 2202d 0,d t ξωξ+= （其中20,m m
K
M ω=）
解得 00cos(),a t ξξωϕ=-
000000d sin()cos()d 2
a a v t t t ξπ
ωξωϕπωξωϕ=
=-+=-+ 当00t ξξ==，00t v v ==时， 00
000cos cos()2a a v ξξϕπ
ωξϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩
⇒00
00arctan a v ξϕωξ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
质点振动位移为0
000
arctan
)v t ξωωξ=
-
质点振动速度为0
000arctan
)2
v v t π
ωωξ=-+
质点振动的能量为22220001
1()22
m a
m E M v M v ωξ==+ 1-7 假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠加
t t ωωξ2sin 2
1sin +=，试问：
(1) 在什么时候位移最大？ (2) 在什么时候速度最大？ 解： t t ωωξ2sin 2
1sin +=，
∴
t t dt
d ωωωωε
2cos cos += t t dt
d ωωωωε2sin 2sin 2
22
2--=。

令
0=dt d ε，得：3
2π
πω±=k t 或ππω±=k t 2， 经检验后得：ω
ππ3
2±=k t 时，位移最大。

令022=dt
d ε，得： πωk t =或)41arccos(2-±=πωk t ，
经检验后得：ω
π
k t 2=
时，速度最大。

1-8 假设一质点振动系统的位移由下式表示
)cos()cos(2211ϕωξϕωξξ+++=t t
试证明 )cos(ϕωξξ+=t a
其中)cos(212212221ϕϕξξξξξ-++=a ，2
2112
211cos cos sin sin arctan ϕξϕξϕξϕξϕ++=
证明：)cos()cos(2211ϕωξϕωξξ+++=t t
11112222cos cos sin sin cos cos sin sin t t t t ξωϕξωϕξωϕξωϕ=-+- 11221122cos (cos cos )sin (sin sin )t t ωξϕξϕωξϕξϕ=+-+ 设 1122cos cos A ξϕξϕ=+ ，1122(sin sin )B ξϕξϕ=-+
则 cos sin A t B t ξωω=+
)t ωϕ+ （其中arctan()B A
ϕ=-） 又 22222211221212cos cos 2cos cos A B ξϕξϕξξϕϕ+=++ 222211221212sin sin 2sin sin ξϕξϕξξϕϕ+++ 22121212122(cos cos sin sin )ξξξξϕϕϕϕ=+++ 221212212cos()ξξξξϕϕ=++- 又 arctan()B A
ϕ=-1122
1122
sin sin arctan(
)cos cos ξϕξϕξϕξϕ+=+
令
a ξ= 则 )cos(ϕωξξ+=t a
1-9 假设一质点振动系统的位移由下式表示
t w t w 2211cos cos εεε+= (12w w >)
试证明
)cos(1ϕεε+=t w a ，
其中.,)
cos()
sin(arctan ,)cos(221212212221w w w wt wt wt a -=++++=∆∆εε∆εϕ∆εεεεε
解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。

由余弦定理知，
)cos(212212221t w t w a -++=εεεεε
)cos(2212
22
1wt ∆εεεε++=
其中，12w w w -=∆。

由三角形面积知，
ϕεε∆εεsin 2
1
sin 21121a wt = 得 a
wt
ε∆εϕsin sin 2= 得 wt wt tg a ∆εε∆εϕ2
2222sin sin -=
2
212)
cos (sin wt wt
∆εε∆ε+=
wt
wt
∆εε∆εcos sin 212+=
故 wt
wt
∆εε∆εϕcos sin 212+=
即可证。

1-10 有一质点振动系统，其固有频率f 0为已知，而质量M m 与弹性系数K m 待求，现设法在此质量M m 上附加一已知质量m ，并测得由此而引起的弹簧伸长ξ1，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.
证 由胡克定理得 mg ＝K m ξ1 ⇒ K m ＝mg /ξ1
由质点振动系统固有频率的表达式m m M K f π
210=
得，1
20220244ξππf mg
f K M m m ==. 纵上所述，系统的质量M m 和弹性系数K m 都可求解.
1-11 有一质点振动系统，其固有频率f 0为已知，而质量M m 与弹性系数待求，现设法在此质量M m 上附加一质量m ，并测得由此而引起的系统固有频率变为f 0’,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。

解：由 m
m
M K f π
210= 得 m m M f K 20)2(π= 由 m
M K f m m
+=
'π21
0 得 ),()2(20m M f K m m +'=π
联立两式，求得202
20f f f m M m '-'
=
，20
202
02024f f f mf K m '-'
=π 1-12 设有如图1-2-3和图1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程，并求出它们的等效弹性系数。

解： 串接时，动力学方程为0212122=++εε
m m m m m K K K K dt d M ，等效弹性系数为m
m m m K K K K K 2121+=。

并接时，动力学方程为0)(2122=++εε
m m m K K dt
d M ，等效弹性系数为m m K K K 21+=。

1-13 有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。

此秤已在地球上经过校验，弹簧压缩0～100mm 可称0～1kg 。

宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为0.4kg ，然后，使它振动一下，测得其振动周期为1s ，试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？
图 1-2-3
图 1-2-4
解：设该岩石的实际质量为M ，地球表面的重力加速度为29.8g m s =，月球表面的重力加速度为g '
由虎克定律知 ,M F Kx =-又 M F Mg =- 则 1100.1
Mg g
K g x ⨯=
==
221T πω=
== 则22
10109.8 2.544g M kg ππ⨯==≈ 又
1
0.4
x x =' 则 0.04x m '= Mg Kx ''=则2240.04 1.58K
g x m s M
π''==⨯≈ 故月球表面的重力加速度约为21.58m s ，而该岩石的实际质量约为2.5kg 。

1-14 试求证
))1(cos()2cos()cos(cos δωδωδωω-+++++++n t a t a t a t a
⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=δωδδ
2)1(cos 2
sin 2sin n t n a
证 ))1(()2()(δωδωδωω-+++++++n t j t j t j t j ae ae ae ae
)1(++=δωj t j e ae δδδδωδ
δωsin cos 1sin cos 111j j j n j n ae e
e ae
t j n t
j ----=--= 2cos
2sin 2cos 2sin 2sin 2sin sin 2sin 2sin 2sin 222δδδδδδδδδδωωj n j n n ae j n j n ae t j t
j --⋅=--= )
2
1(21)
2
1
2()22(2
sin
2sin 2
sin
2sin 2
sin
2sin δωδωδπδπωδ
δδ
δδ
δ-+-----⋅=⋅=⋅=n t j n j t j j n j t
j e n a e n ae e
e n ae 同时取上式的实部，结论即可得证。

1-15 有一弹簧m K 在它上面加一重物m M ，构成一振动系统，其固有频率为0f ， (1) 假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？ (2) 假设重物要加重一倍，而要求固有频率0f 不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？
解：固有频率m
m
o M K f π
21=。

（1）2
0f f →
⇒ 4m m K K →，故应该另外串接三根相同的弹簧；
（2）⎪⎩⎪⎨⎧
→→0
02f f M M m
m ⇒ m m K K 2→，故应该另外并接一根相同的弹簧。

1-16 有一直径为d 的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。

现已知其总质量为m M ，弹性系数为m K 。

试求该扬声器的固有频率。

解：该扬声器的固有频率为
0f =
1-17 原先有一个0.5㎏的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个0.2㎏的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了0.04m ，当此附加质量突然拿掉后，已知这0.5㎏质量的振幅在1s 内减少到初始值的1/e 倍，试计算：
（1）这一系统的力学参数K m ，R m ，f 0’；
（2）当0.2㎏的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量； （3）在经过1s 后，系统具有的平均能量。

解：（1）由胡克定理知，K m ＝mg /ε
所以 K m ＝0.2×9.8/0.04=49N/m
1/1=⇒=-δδe e
故 m s N R M R m m
m
/12⋅=⇒=
δ Hz f w w 57.115
.049
21'
020'
0=-=
⇒-=πδ （2）系统所具有的能量J K E m 0392.004.0492
1
2122=⨯⨯==
ε （3）平均能量J e K E t m 32201031.52
1--⨯==δε
1-18 试求当力学品质因素5.0≤m Q 时，质点衰减振动方程的解。

假设初始时刻0=ξ，0v v =，
试讨论解的结果。

解：系统的振动方程为：
022=++εεεm m m K dt d R dt
d M
进一步可转化为，设m
m
M R 2=
δ， 022
2
2=++εωεδεdt d dt
d 设：
t i e γε=
于是方程可化为：
0)2(2
02=++-t j e j γωγδγ
解得：)(202ωδδγ-±=j
∴ t
e
)(202ωδδε-±-=
方程一般解可写成：
)(2
022
02t
t
t
Be
Ae
e ωδωδδε----+=
存在初始条件：
00
==t ε
，00v v t ==
代入方程计算得：
2
2
2ω
δ--
=v A ，2
2
2ω
δ-=
v B
∴解的结果为： )(2
022
02t
t
t
Be
Ae
e
ωδωδδε----+=
其中20
2
2ω
δ--
=v A ，2
2
2ω
δ-=
v B 。

1-19 有一质点振动系统，其固有频率为1f ，如果已知外力的频率为2f ，试求这时系统的弹性抗与质量抗之比。

解：质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为M
K ω
，质量抗为M M ω
已知 050f Hz =，300f Hz =
则 ()()M
M K M ωω＝2
222002222241
(50)1
4(300)36
M M f K M f ωπωωπ⋅==== 1-20 有一质量为0.4kg 的重物悬挂在质量为0.3kg ，弹性系数为150N/m 的弹簧上，试问：
(1) 这系统的固有频率为多少？
(2) 如果系统中引入5kg/s 的力阻，则系统的固有频率变为多少？ (3) 当外力频率为多少时，该系统质点位移振幅为最大？ (4) 相应的速度与加速度共振频率为多少？
解：(1) 考虑弹簧的质量，Hz 76.23
/3.04.0150
21
3/21
0=+=
+=
π
π
s m m M M K f .
(2) 考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统，但此时系统的等效质量M m '为
M m +M s / 3.
55.025
2'
=⨯=
=
m
m M R δ，Hz 64.253
/3.04.0150
21
212220'0=-+=-=π
δωπf .
(3) 品质因素66.15
5
.058.16'
0=⨯=
=
m
m
m R M Q ω， 位移共振频率：Hz 39.22112
'0=-
=m
r Q f f .
(4) 速度共振频率：Hz 64.2'0==f f r ， 加速度共振频率：Hz 92.22112
'0=-
=m
m r Q f Q f .
1-21 有一质点振动系统被外力所策动，试证明当系统发生速度共振时，系统每周期的损耗能量与总的振动能量之比等于
m
Q π2。

解：系统每个周期损耗的能量
T v R T W E a m F 22
1=
= ∴ m m a m a m fM R v M T
v R E E ==2
22
12
1，
发生速度共振时，0f f =。

∴
m
m
m m m Q R M M f R E E πωπ2200===。

1-22 试证明：（1）质点作强迫振动时，产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有频率0f ；（2）假定1f 与2f 为在0f 两侧，其平均损耗功率比0f 下降一半时所对应的两个频率，则有1
20
f f f Q m -=
. 证明：（1）平均损耗功率为
2
011d 2
T R R m a W W t R v T =
=-⎰ （m R 为力阻，a v 为速度振幅） 质点强迫振动时的速度振幅为
a v =
(a F 为外力振幅，0ω为固有频率，m M 为质量，m Q 为
力学品质因素，频率比0
0f f
z ==
ωω） 当z =1即0f f =时，发生速度共振，a v 取最大值，产生最大的平均损耗功率。

（2）2
2
1
a m R v R W -=
2
max max
21a m R v R W -=＝2202
221m
m a m M Q F R ω-
R W =max 21R W 则 221a m v R -＝)21(212202
2m m a m M Q F R ω-⨯ 即2
2a v ＝22022m
m a M Q F ω（1）
把a v =
带入式（1）
，则2
222)1(m Q z z -=（2） 由式（2）得m Q z z )1(2
-=-解得m
m
Q Q z 24112
+±-=
取m
m
Q Q z 24112
1++-=
m Q z z )1(2-=解得m
m
Q Q z 24112
+±=
取m
m
Q Q z 24112
2++=
则 m Q z z 112=
-即m Q f f f f f f f 10120102=-=- ∴ 1
20
f f f Q m -=
1-23 有一质量为0.4㎏的重物悬挂在质量可以忽略，弹性系数为160N/m 的弹簧上，设系统的力阻为2N ·s/m ，作用在重物上的外力为tN F F 8cos 5=。

（1）试求这一系统的位移振幅、速度与加速度振幅以及平均损耗功率；
（2）假设系统发生速度共振，试问这时外力频率等于多少？如果外力振幅仍为5N ，那么这时系统的位移振幅、速度与加速度振幅、平均损耗功率将为多少？
解：（1）由强迫振动方程F m m
m F K dt d R dt
d M =++εε
ε22，得 t dt d dt
d 8cos 516024.022=++εε
ε
则位移振幅m R w M w K F m
m m a
a 0369.0)(2
2
2
2
≈+-=
ε
速度振幅s m w v a a /296.0==ε 加速度振幅22/364.2s m w a a a ==ε 平均损耗功率)(0876.02
12w v R P a m -=-= （2）速度共振时Hz 158.3)2(212'0=-==m
m m m r M R
R K f f π
则位移振幅m R w M w K F m
m m a
a 126.0)(2
2
2
2
≈+-=
ε
速度振幅s m w v a a /495.2==ε 加速度振幅22/6.49s m w a a a ==ε 平均损耗功率)(225.62
1
2w v R P a m -=-=
1-24 试求出图1-4-1所示单振子系统，在0=t ，
0==v ξ
初始条件下，强迫振动位移解的表示式，并分别讨论0=δ与0≠δ两种情形下，当0ωω→时解的结果。

解：对于强迫振动，解的形式为：
)cos()cos(0'
00θωεϕωεεδ-+-=-t t e a t
其中m
a a Z F ωε=
，20π
θθ+=。

初始条件：0=ε，0=v ， 代入得：
0cos cos 00=+θεϕεa
0sin sin cos 00'
000=++-θωεϕεωϕδεa
解得：
22,0222'
0)(cos sin cos 2)(sin )(cos θωθθδωθωθδωεε+++=
a 2
2
'0
2
2
2
2
'00)
(cos sin cos 2)(sin )(cos cos arccos
θωθθδωθωθδθ
ωπϕ+++-=
令22
,0
222)(cos sin cos 2)(sin )(cos θωθθδωθωθδ+++=G 得：
)cos()cos(0'
02'0
θωεϕωωεεδ-+-=
-t t Ge a t a 。

当0=δ时，0=m R ，2
arctan
0πθ==m m R X ，20πθθ+=，ωω='
0，
2
0π
ϕ-
=，a εε=0，
∴ )cos()2
cos(0πωεπ
ωεε-++
=t t a a
)cos (sin 0t t a ωωε+-=。

当0ωω→时，∞→a ε，达到位移共振。

1-25 有一单振子系统，设在其质量块上受到外力t F f 022
1
sin ω=的作用，试求其稳态振动的
位移振幅。

解：此单振子系统的强迫振动方程为
22002d d 111()sin ()cos d d 222
m m m F M R K F t t t t t ξξξωω++===-
则 22d d 1
d d 2m m
m M R K t t ξξξ++= （1） 202d d 1
cos d d 2
m m m M R K t t t ξξξω++= （2）
由式（1）得 1
2m
K ξ=
令j t F e ωξξ=代入式（2）得 0001j 2
()F m m m K R j M ξωωω-⋅=
⎡⎤+-
⎢⎥⎣
⎦
则 12
2
20001
2
()F m
m m K R M ξωωω=
⎡⎤
+-
⎢⎥⎣
⎦
＝
01
2m
R ω ∴ 011
22A m m
K R ξω=
-
1-26 试求如图所示振动系统，质量块M 的稳态位移表示式.
M F a e j wt
K 1,R 1
K 2,R 2
解：对质量块进行受力分析，可得质量块M 的运动方程为：
wt a
e F K K R R M j 2121)()(=++++ξξξ 该方程式稳态解的一般形式为wt a e j ξξ=，将其代入上式可得：
)]
()[(2
121ω
ωξK K M j R R jw F a
a +-
++=
)
2
(j 0||θπ
ξ+⋅=e
a
其中2
212
21)(||⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
+-++=
ωωωξK K M R R F a
a ，2
12
10arctan
R R K K M ++-
=ω
ωθ.
故质量块的稳态位移表示式可以写为：
)2cos(||0θπ
ξξ--
=wt a .
1-27 设有如图所示的耦合振动系统，有一外力t j a e F F ω=1作用于质量1M 上。

1M 的振动通过耦合弹簧12K 引起2M 也随之振动，设1M 和2M 的振动位移与振动速度分别
为1ξ，1v 与2ξ，1v 。

试分别写出1M 和2M 的振动方程，并求解方程而证明当稳态振动时
11221211221)(F Z Z Z Z Z Z Z v +++=
与112
212112
2)(F Z Z Z Z Z Z v ++=。

其中
11
11)(R K M j Z +-
=ω
ω，
22
22)(R K M j Z +-
=ω
ω，
ω
12
12jK Z -
=。

解：对图中两个振子进行受力分析可得下列运动方程：
1211211112121)(F K K dt d R dt d M =-+++εεεεε0)(1212222
22
222=-+++εεεεεK K dt d R dt
d M 设：
t j Ae ωε=1，t j Be ωε=2
t j e V v ω11=，t j e V v ω22=
于是方程可化为：
图 1-4-1
图 习题1-27
a F BK K K R j M A =-+++-12121121)(ωω 0)(12122222=-+++-AK K K R j M B ωω
设：
11
11)(R K M j Z +-
=ωω，22
22)(R K M j Z +-
=ωω，ω
12
12jK Z -
=。

∴对上面的两个方程整理并求解可得
112212112
21)(F Z Z Z Z Z Z Z v +++=
112
212112
2)(F Z Z Z Z Z Z v ++=
1-28 有一所谓压差式传声器，已知由声波引起在传声器振膜上产生的作用力振幅为：
ωa a Ap F =，
其中A 为常数，a p 为传声器所在处声压的振幅对频率也为常数，如果传声器采用电动换能方式(动圈式)，并要求在一较宽的频率范围内，传声器产生均匀的开路电压输出，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？
解：压差式传声器产生的作用力振幅为ωa a Ap F =，其中A ，a p 为常数，则a F 随ω变化。

电动换能方式传声器，其开路电压输出为E Blv =，要使E 均匀恒定，则要v 恒定 系统处在质量控制区时a a
a m m
F AP
v M M ω≈
=，此时a v 与频率ω无关，故在一较宽的频率范
围内，传声器将产生均匀的开路电压输出。

1-29 对上题的压差式传声器，如果采用静电换能方式(电容式)，其他要求与上题相同，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？
解：传声器开路输出电压E 与振膜位移有如下关系：
εD
E E 0
=
只有在力阻控制区，
m
a
m a R Ap R F =
=
ωε， 即在此控制区，输出电压E 与频率ω无关。

∴传声器的振动系统应工作在力阻控制区。

1-30 有一小型动圈扬声器，如果在面积为0S 的振膜前面加一声号筒，如图所示，已知在此情况下，振膜的辐射阻变为000S C R r ρ=（参见§5.5）。

试问对这种扬声器，欲在较宽的频率范围内，在对频率为恒定的外力作用下，产生均匀的声功率，其振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？
解：动圈扬声器消耗于声辐射部分的平均损耗功率为 21
2r a W R v =＝2
00012
a C S v ρ
其中0ρ，0C ，0S 均为常数，要使W 均匀，则2
a v 应不受的W 影响。

故振动系统应工作在
力阻控制区，此时a
a m
F v R ≈
（其中a F 为频率恒定的外力，m R 也恒定）。

1-31 有一如图所示的供测试用动圈式
现欲在较宽的频振动台，台面m M 由弹簧m K 支撑着，率范围内，在音圈上施加对频率恒定的电流时，能使振动系统应工作
台面m M 产生均匀的加速度，试问其在何种振动控制状态？为什么？
解：音圈通以I 电流时，在磁场下产生电动力BIL F =，由a M F m =可见，只有在质量控制区m
a
M F a ≈
时，产生的加速度与频率无关，是均匀的。

1-32 有一试验装置的隔振台，如图所示，已知台面的质量M m =1.5×103㎏，台面由四组相同的弹簧
支撑，每组由两只相同的弹簧串联而成。

已知每只弹簧在承受最大
负荷为600㎏时，产生
图 习题1-31
的位移3㎝，试求该隔振系统的固有频率，并问当外界基础振动的位移振幅为1㎜、频率为20Hz 时，隔振台M m 将产生多大的位移振幅？
解：每只弹簧的劲度系数K=600×9.8/0.03=1.96×105N /m 每组弹簧的总劲度K 1=K/2
四组弹簧并联后的劲度K 2=4 K 1=2 K =3.92×105 N /m 则固有频率57.221
2
0==
M
K f π
Hz 由振动方程0)(0=-+ξξξm m K M ，将jwt a e ξξ=，jwt a
e '0ξξ=代入得， 0168.02'
=-=M
w K K a a ξξ㎜
1-33 设有如图所示的主动隔声系统，有一外力F 0=F 10e j ωt 作用于质量块M m 上，试求传递在基础上力F 与F 0的振幅比.
解：对质量块进行受力分析，可得质量块M m 的振动方程为：
wt m m m e
F K R M j 10=++ξξξ 其稳态解的一般形式为)cos(θωξξ-=t a . 其中2
2
10
10
|
|⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-+=
=
ωωωωξm m m
m a K M R F Z F ，m
m
m R K M ωωθ-
=arctan
.
弹簧传递给基础的作用力为)cos(θωξξ-=⋅=t K K F a m m ，则m a a K F ξ=. 由此传递给基础的力F 与F 0的振幅比2
210
⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
+==
ωωωm m m m
a
F K M R K F F D .
1-34 有一振动物体产生频率为f ，加速度振幅为10a 的振动，现用一动圈式加速度计去测
量。

假定已知加速度计振动系统的固有频率为0f ，力学品质因素为m Q ，音圈导线总长为l ，磁隙中的磁通量密度为B 。

试求该加速度计的开路输出电压将为多少？ 解：动圈式加速度计测量 由 0m
m m
M Q R ω=
得 0m
m m
M R Q ω=
由
0f =
得 2204m m K f M π=
则 10
m a m
M a E Bl
Z =＝10
1
2
2
2()m
m m m M Bla K R M ωω⎡⎤+-⎢⎥⎣
⎦
＝10
1
2
2
22222m
m m
m m m M Bla K R M K M ωω⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦
＝
10
1
22442
222
000224168m Bla f f f Q ππωπω⎡⎤+-+⎢⎥
⎣⎦
1-35 设有一调制形式的外力作用于单振子系统的质量上，此外力可表示成
t t h F F a F ωωsin )sin 1(1+=，
其中h 为一常数，称为调制深度，试求振动系统的位移。

解：外力表达式为t t h F F a F ωωsin )sin 1(1+=
])cos()[cos(2
1
)2
cos(11t t h F t F a a ωωωωπω-++--=
用指数形式表示外力为t j a t j a t j a F he F he F e
F F )()()
2
(112
1
21ωωωωπ
ω-+-+-
= 振子进行强迫振动，由式（1-5-14）得，振子系统的位移为
]2
0)cos[()(21
)2cos(313111πθωωωωθπωωε-----+--=t Z hF t Z F a
a
]2
0)cos[()(21
2121πθωωωω---++-t Z hF a
其中：m
m
m R K M ωωθ-
=arctan
1；
m m
m R K M 1
12)(arctan
ωωωωθ+-
+=； m
m
m R K M 1
13)(arctan
ωωωωθ--
-=； 22
1)(ω
ωm
m m K M R Z -
+=；
2
1
122])[(ωωωω+-
++=m m m K M R Z ； 2
1
12
3])[(ωωωω--
-+=m m m K M R Z 。

1-36 设有一呈锯齿形式的外力作用于单振子的质量上，此力可表示为2(1)F a t F F T
=- （(1),0,1,2,
kT t k T k ≤≤+=）
试求振动系统的位移。

解：质点的振动方程为 22d d 2()(1)d d m m
m F a t
M R K F t F t t T
ξξξ++==- （1） 又 01
()cos sin ,F n n n F t A A n t B n t ωω∞
==++∑（2π
T
ω=
） （2） 其中 00
1()d 0T
F A F t t T
=
=⎰
02()cos d 0T
n F A F t n t t T
ω=
=⎰ 022()sin d T
a n F F B F t n t t T n ωπ
==⎰
式（2）也可表示为 0
()cos()F n n n F t F n t ωϕ∞
==-∑ （3）
其中
2a
n F F n π
==
， 2arctan
a
n F n ϕπ
= 把式（3）表示成为复数形式 j()0
()e n
n t F n n F t F ωϕ∞
-==∑
则式（1）可写成 2j()20
d d
e d d n n t m m m n n M R K F t t ωϕξξ
ξ∞
-=++=∑ （4）
设 0
n n ξξ∞
==∑，代入式（4）可得 j()00
e j n n t n
n n n n
F n Z ωϕξξω∞∞
-====∑∑
其中 j j()m
n n n m m K Z R X R n M n ωω
=+=+- 取ξ的实部得 0π
cos()2n n n n n
F n t n Z ξωϕθω∞
==---∑
＝2
02π
cos()2a n n n n
F n t n Z ωϕθπω∞
=---∑
式中
n Z = arctan
arctan m m n
n m
m
K n M X n R R ωωθ-
==
1-37 设有如下形式的外力
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧=+≤≤+-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+≤≤=)
,2,1,0()1()2
1
(,
21, k T k t T k Fa T
k t kT F F a F
作用于单振子的质量上，试求振动系统位移. 解：将周期作用力展开成傅立叶级数，可得
∑∞
=-=0)cos()(n n n F t n F t F ϕω
其中22n n n B A F +=，n
n
n A B arctan
=ϕ. 0d )(100==
⎰T
F t t F T A ， 0d cos )(20
==⎰T
F n t nwt t F T A ，
⎪⎩⎪
⎨⎧=--==⎰为偶数
为奇数n n n F n F t nwt t F T B a
n a T
F n 0
4])1(1[2d sin )(20
π
π.
由此n n B F =，)(2
为奇数n n π
ϕ=
，即
a n a a a F n F F F F F F F π
πππ
4,,54,34,4
531===
=
； )(2
,,2
,2,2
531为奇数n n a
π
ϕπ
ϕπ
ϕπ
ϕ=
=
=
=
.
由(1-5-14)得质点振动系统得位移
∑
∞
=---=0)2cos(n n n n
n nwt Z n F πθϕωξ
)cos(4)3cos(94)cos(423311πθωππθωππθωπ--+--+--=n n
a a a nwt Z n F
wt Z F wt Z F (n 为奇数)
习题2
2-1 有一质量为m ，长为l 的细弦以F 的张力张紧，试问： (1) 当弦作自由振动时其基频为多少？
(2) 设弦中点位置基频的位移振幅是B ，求基频振动的总能量。

(3) 距细弦一端4l 处的速度振幅为多少？ 解：（1）简正频率δ
T
l n f n 2=
，且线密度l m =δ
∴基频ml
T
T l f 21211==
δ。

（2）基频振动的总能量2
2
22
011616ππηl TB l T E ==。

（3）弦的位移的总和形式∑∞
=-=1
)cos(sin ),(n n n n n t x k B x t ϕωη
速度表达式为∑∞
=--=∂∂=
1
)sin()sin (),(),(n n n n n n t x k B t x t x t v ϕωωη ∴距一端m 25.0处的速度振幅)4
sin(221
4
l
l n T l n B V n n l
x a
⋅⋅
⋅=∑∞
==
πδπ 4
sin
1
π
πn ml T B n n n
∑∞
== )4
3sin(221
4
3l
l n T l n B V n n l
x a
⋅⋅
⋅=∑∞
==
πδπ 4
3sin
1
π
πn ml T B n n n
∑∞
== 2-2 长为l 的弦两端固定，在距一端为0x 处拉开弦以产生0η的静位移，然后释放。

（1）求解弦的振动位移；
（2）以30l x =为例，比较前三个振动方式的能量。

解：弦的振动位移形式为：
∑∞
=+=1)sin cos (sin ),(n n n n n n t D t C x k x t ωωη
其中l
n k n π
=
，l c n n πω=，n n n B C ϕcos =，n n n B D ϕsin =
（1）由初始条件可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≤≤--≤≤==)
()()
0()0(00
000
l x x x l x l x x x x t η
ηη
)0(0)(
)0(0l x t
t v t ≤≤=∂∂===η
又⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==⎰⎰l
n n n l n n xdx k x v l D xdx k x l C 0000
sin )(2sin )(2ωη 则000222000000sin )
(2sin )(sin 200x l n x l x n l xdx k x l x l xdx k x x l C x l x n n n π
πηηη-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎰⎰
0=n D 则πϕϕn n n ==0
sin
n n C B =
t l c
n l x x l n x l x n l t x l C x t n n n n n ππππηϕωπηcos 2sin sin )(2)cos(2sin ),(010
022201∑∑∞
=∞
=-=-=
（2）2
22222244n n n B l T n B l c n E πδπ==
当l x 3
1
0=时，3sin 93sin )3
(322202220π
πηππηn n l l n l l l n l C B n n =⋅-=
= 则l T l T E 2202202116243
)3sin 9(4πηππηπ== l
T E 2
2
264243πη= 03=E
2-3 长为l 的弦两端固定，在初始时刻以速度0v 敲击弦的中点，试求解弦的振动位移。

解：弦的振动位移表达式为
∑∞
=+=1
)sin cos (sin ),(n n n n n n t D t C x k x t ωωη
∴可得速度表达式为
∑∞
=+-=∂∂=1
)cos sin (sin ),(),(n n n n n n n n t D t C x k t x t x t v ωωωωη
由题可得初始条件：
00==t η；
⎪⎩
⎪⎨
⎧-=∂∂=x
l v v x l v t
t 0
00
222η
l x l
l x ≤<≤≤2
,
20,
通过傅立叶变换可得：
0=n C ；
)2sin 2sin (43
30kl
kl kl v D n
n +-=
ω。

∴位移表达式为∑∞
==1
sin sin ),(n n n n t x k D x t ωη
其中)2sin 2sin (43
30kl
kl kl v D n
n +-=
ω。

2-4 长为l 的弦两端固定，在初始时刻以速度0v 敲击弦的中心，试证明外力传给 弦的初动能等于弦作自由振动时所有振动方式振动能的总和。

解：初始条件(0)2000
t l
x t v t ηη====⎧⎪⎪⎨∂=⎪∂⎪⎩
弦的总位移为1
(,)sin (cos sin ),n n n n n n t x k x C t D t ηωω∞
==+∑
其中cos ,sin n n n n n n C B D B ϕϕ==，（π,n n c
l ω=n n k c
ω=） 又00
n
2()sin d l
n n D v x k x x l ω=
⎰
＝
00
n
2sin d l
n v k x x l ω⎰
＝
022
2(1cos )v l
n n c
ππ- 0n C =
当n 为偶数时，2460D D D ====
当n 为奇数时，0124v l D c π=，032419v l D c π=，05
24125v l
D c
π=，
故n n B D =，0n ϕ=
又弦振动时的总能量为1n n E E ∞===∑222
1(π)4n n T n B l
∞
=∑＝2
022411(1)925Tv l c π+++
＝2
20224()8Tv l c ππ＝2022Tv l c ＝202Tv l T δ＝2
01()2v l δ ＝2
01
2
mv ＝0
k E （2T
c δ
=
）
外力传给弦的初始动能为0
k E ＝2
01
2
mv
2-5 设有一根弦，一端固定而另一端延伸到无限远(即认为没有反射波回来)，假设在离固定端距离l 处，施加一垂直于弦的力t j a e F F ω=，试求在l x =力作用点的左、右两方弦上的位移表达式。

提示：在弦的力作用点处，应有连接条件：
21ξξ=和F x
T x T
=∂∂-∂∂21ξ
ξ。

2-6 有长为l ，线密度为σ的弦。

其一端经一无摩擦的滑轮悬挂一重物M ，已知弦所受的张力T ，如图所示。

试求
（1） 该弦作自由振动时的频率方程；
（2） 假设此重物M 比弦的总质量大很多时，求该弦的基频近似值。

图 2－6
解：（1）由题意可知其初始条件和
边界条件为⎪⎩
⎪
⎨⎧∂∂=∂∂-====l
x l x x t M
x T 2200
ξ
ξξ
弦的振动位移为)cos()sin cos (),(ϕξ-+=ut x c
u B x c u A x t （其中=u 2πn n f ω=）
当00
==x ξ
时，得0A =则)cos(sin ),(ϕξ-=ut x c
u
B x t t ∂∂ξ)sin(sin ϕ--=ut x c
u
Bu 22t
∂∂ξ
)cos(sin 2ϕ--=ut x c u Bu
x ∂∂ξ)cos(cos ϕ-=ut x c u
c u B 带入边界条件可得： )cos(cos ϕ--ut l c u c u TB )cos(sin 2ϕ--=ut l c u
MBu
即 Mcu T
l c u =tan
M M M
l Mc Tl l c u Mcu T l c u l c u S
====δ2tan
（其中,T
c δ
= 弦的质量为s M ，线密度为δ）
令l c
u
r =，M
M S
=
β，则β=r r tan ，这就是弦作自由振动时的频率方程。

（2）当m M <<m 时β<<1，故可近似为 342
tan 33γγγγγγγ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣
⎦
则 β=r r tan 可简化为 4
2
.3
γγβ+
=求解这一代数方程，可得近似关系为
21.3βγβ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
+-+-=+32111
x x x x )1(2<x 且β<<1 ∴ 313
11β
β-≈+
则 =
+
⋅
=3
112β
βr M M M
M s S
311+⋅=3
1
s s M M M +⋅ 又l c f l c u
r n π2==
，c =l M s δ= 则3
1210s
s M M M l
c f +⋅⋅=
π＝
3
1212
s
s M M M l T
+⋅⋅δπ
＝
3
121s s s
M M M lM T
+
⋅⋅π
＝
3
21s
m M M K +π
（其中l T
K m =） 2-7 长为l 的棒一端固定一端自由，如果在初始时刻有沿棒的轴向力作用于自由端，使该端产生静位移ξ0，然后释放. 试求棒作纵振动时各次振动方式的位移振幅.
解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为
)cos()sin cos (),(ϕωξ-+=t kx B kx A x t .
由棒一端固定一端自由的边界条件得
⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂===)
2(0)1(0|0l
x x x
ξ
ξ
由(1)式⇒0)cos(=-ϕwt A ⇒A ＝0.
由(2)式⇒0)cos(cos =-ϕwt kl kB ⇒0cos =kl ⇒),3,2,1()21( =-=n l
n k n π.
由此各阶简正频率对应的位移表达式为
)cos(sin ),(n n n n n t x k B x t ϕωξ-=.
棒的总位移为各简正频率位移之和，即∑∞
=-=1
)cos(sin ),(n n n n n t x k B x t ϕωξ.
棒的初始条件为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=∂∂⋅===)
4(0)3(|0
00t t t l x ξξξ
由(4)⇒0sin =n ϕ⇒πϕn n =.
由(3)⇒x x k x l B n l
n n d sin )(2)cos(00⎰=-ξϕ
⇒2
000)2
(2d sin 2)1(ππξξ--=⋅⋅-=⎰n x x k l x l B n l n n . 2-8 有一长1m 、截面为1×10-4m 2的铝棒( ρ=2.7×103kg/m 3)，两端自由.
(1) 试求棒作纵振动时的基频，并指出在棒的哪一个位置位移振幅最小？
(2) 如果在一端负载着0.054kg 的重物，试问棒的基频变为多少？位移振幅最小的位置
变到何处？
解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为
)cos()sin cos (),(ϕωξ-+=t kx B kx A x t .
由棒两端自由的边界条件得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂==)
2(0
)
1(0
l
x x x
x ξξ
由(1)式⇒0)cos(=-ϕwt Bk ⇒B ＝0.
由(2)式⇒0)cos(sin =-ϕwt kl kA ⇒0sin =kl ⇒),3,2,1( ==
n l
n k n π
⇒l
nc
c k f n n n 222===
ππω. (1) 棒作纵振动的基频为252010
7.21085.612123
10
1=⨯⨯⨯==l c f Hz. 该简正频率下的位移表达式为：)cos(cos ),(11111ϕωξ-=t x k A x t .
当0cos 1=x k ，即l n x )2
1(-=时，位移振幅最小且为零，由于x 的取值范围为[0, l ]，得知
5.02
==
l
x m 的点位移振幅最小. (2) 当在一端负载时，由(2-2-25)得2.0tan -=-=m
M kl kl
m ，即k k 2.0tan -=，利用数值方法可以求得k 1=2.65.
该简正频率下的位移表达式为：)cos(cos ),(11111ϕωξ-=t x k A x t .
当0cos 1=x k ，即65
.2)21
(π
-=
n x 时，位移振幅最小且为零，由于x 的取值范围为[0, l ]，得知x 1=0.59m 的点位移振幅最小.
2-9 有一长为l 的棒一端固定一端有一质量负载M m 。

（1）试求棒作纵振动时的频率方程；
（2）如果棒的参数与2-8相同，试求其基频，并指出在棒的哪一位置位移振幅最大？ 解：（1）棒的位移方程为
)cos()sin cos (),(ϕη-+=wt kx B kx A x t
由边界条件得：
⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩
⎪⎨⎧∂∂-=∂∂====m M kl ctgkl A t M x ES x m l
x m l x 0)()(0)0(22ηηη 故频率方程为：kl m
M ctgkl m
=
（2）将2-8参数代入得
)2.0(
,2.0==m
M kl ctgkl m
k ctgk 2.0=⇒
由牛顿迭代法知： k 1 =1.3138 则 3111005.12⨯==
π
c
k f （Hz ） 基频振幅为：)10(,sin 11≤≤=x x k B η
当x =1时，x k 1sin 达到最大，即振幅最大。

2-10 试分别画出两端自由和两端固定的棒，作n =1,2模式的自由纵振动时，它们的位移振幅随位置x 的分布图。

解：两端自由的棒：
两端固定的棒:
2-11 设有一长为l ，两端自由的棒作纵振动。

假设其初始时刻的位移分布为()x l
x π
ξcos 0=，
初速度()00=x v 。

求该棒振动位移表示式。

解：棒做纵振动时，其方程的解为：
)cos()sin cos (ϕωζ-+=t kx B kx A
)cos()cos sin (ϕωζ
-+-=∂∂t kx B kx A k x
两端自由，即不受应力作用，⎪⎩⎪⎨⎧
=⇒=
⇒=⇒=∂∂=⇒=∂∂==l nc f l n k n kl x
B x n n l x x 20000ππζζ
所以，)cos(cos 1
n n n n n x k A ϕωζ-=∑∞
=
)]sin([cos 1
n n n n n n t x k A t v ϕωωζ
--=∂∂=∑∞
=
⎪⎩
⎪⎨⎧=⇒=⎩⎨⎧⋅
⋅⋅====⇒⎪⎪⎭⎪⎪
⎬⎫
=⇒===⇒=-=⎰∑∑⎰∞
=∞=πϕϕπ
πϕϕωϕωπϕπϕζn n n xdx l n x l l A A x k A x v xdx k x l
l
A x l x k A x n n l n n n n n n n n n n n l n n n n n n 0sin ,3,2,01,1cos
cos 2cos 0
sin 0)sin (cos )(cos cos 2cos cos )cos(cos )(01
01
即),3,2(,0,11cos 111⋅⋅⋅==-=⇒=n A A A n ϕ
所以)cos(
cos
πππ
ζ--=t l
c
x l
2-12 设有一端自由，一端固定的细棒在作纵振动，假设固定端取在坐标的原点，即0=x 处，而自由端取在l x =处。

试求该棒作自由振动时的简正频率，并与(2-2-20)式作一比较。

附：
l
c
n f n 4)
12(-= ),3,2,1( =n 。

(2-2-20) 解：棒的振动位移表达式)cos()sin cos (),(ϕωε-+=t x k B x k A x t n n n n 边界条件：00==x ε
；
0=∂∂=l
x t
ε，
代入位移表达式解得：0=n A ； πl
n k n 21
2-=。

于是可推出
l
c
n f n 4)
12(-=),3,2,1( =n 。

若将自由端置于原点，固定端置于l x =处，同样能得出与（2-2-20）相同的结论。

2-13 长为l 的棒一端固定一端受沿棒轴方向的简谐力作用（t F F a ωcos =）。

（1）试求棒作纵振动时的位移表达式；
（2）证明当频率较低或棒较短时此棒相当于集中系统的一个弹簧，其弹性系数为l
ES
K m =。

解：棒纵振动位移的一般表达式为：)cos()sin cos (ϕωζ-+=t kx B kx A
满足边界条件：⎪⎩
⎪
⎨⎧-⋅-=⇒=∂∂-=⇒===)cos(cos cos cos )(0
00ϕωωωζζt t kl ESk F B t F x ES A A A l x x
所以，kx kl
ESk F
t kl t t kl ESk F A sin cos )cos(sin )cos(cos cos -=-⋅⋅-⋅-
=ϕωϕωωζ
当频率较低或棒很短时，即1<<kl 时，1cos ≈kl ，kl kx kx ≈≈sin 有ζζl
ES F l ES F kl ESk F -=⇒-≈⋅⋅-
≈1 即棒相当于集中系统的一个弹簧，其弹性系数为
l
ES。

2-14 长为l 的棒一端钳定一端自由在进行横振动，设已知基频时自由端的位移振幅为0η，试求以0η来表示的棒的基频位移。

解：设棒在0=x 端钳定，l x =端自由，于是边界条件可写为：
00==x η
，
00
=∂∂=x x
η，
02
2=∂∂=l x x η，
03
3=∂∂=l
x x η。

代入横振动方程
)cos(]sin cos [),(ϕων
ω
νωνωνωη-+++=t x D x C x Bsh x Ach
x t 可得C A -=，D B -=，并有如下关系
0)sin ()cos (=+++l sh B l l ch
A νω
νωνωνω 0)cos ()sin (=++-l ch B l l sh A ν
ω
νωνωνω
设l ν
ω
μ=
，并用简正值（n=1,2,3,…）代表μ的一系列根值。

∴ n
n n
n n
n ch sh A B μμμμ+-=cos sin ，1cos -=n n sh μμ
自由端基频位移振幅)(110l Y A =η
)]sin (cos sin )cos [(111
11
1111μμμμμμμμ-+-+
-=sh ch sh ch A
1
1111
cos 2
sin 2μμμμch sh A +-=
∴ )
1sin (2)
(cos 111101-+=
μμμμηsh ch A
∴基频位移)cos()(),(11111ϕωη-=t x Y A x t ，
其中：)sin (cos sin )cos
()(1111111
1
1x l
x l sh ch sh x l
x l
ch
x Y μ
μμμμμμμ-+-+
-=
)
1sin (2)
(cos 111101-+=
μμμμηsh ch A 。

2-15 长为l 的棒一端钳定一端自由，如果初始时刻使棒具有位移x l
t 0
0ηη=
=，试解棒作横振
动的位移表达式。

解：初始条件和边界条件为：00x η==（1）; 0
0x x η=∂⎛⎫
= ⎪∂⎝⎭ (2)
220x l x η=⎛⎫
∂= ⎪∂⎝⎭ (3); 330x l
x η=⎛⎫
∂= ⎪∂⎝⎭ (4) 0
0t x l ηη==
(5); 0
0t t η=∂⎛⎫
= ⎪∂⎝⎭ (6) 棒作横振动的总位移位为： (,)cosh
sinh cos sin cos()t x A x B x C x D x t ωωωωηωϕνννν⎡
⎤
=+++-⎢⎥⎣
⎦
（7） 把（1）、（2）代入（7）得 ,A C B D =-=-
则 (,)(cosh
cos )(sinh sin )cos()t x A x x B x x t ωωωωηωϕνννν⎡
⎤
=-+--⎢⎥⎣
⎦
（8） 把（5）、（6）代入（8）得
0(cosh cos )(sinh sin )cos A x x B x x x l ηωωωωϕνννν⎡
⎤-+-=⎢⎥⎣⎦
(cosh cos )(sinh sin )(sin )0A x x B x x ωωωωωϕνννν⎡⎤-+-=⎢⎥⎣
⎦ 即 sin 0ϕ=即n ϕπ=
0(cosh
cos )(sinh sin )A x x B x x x l
ηωωωω
νννν-+-= ∴ 0(,)cos()t x x t n l
η
ηωπ=-
2-16 长为l 的棒两端自由，求棒作横振动的频率方程。

解：棒作横振动的位移方程为：
)cos(]sin cos [),(ϕη-+++=wt x v
w
D x v w C x v w Bsh x v w Ach
x t 由边界条件得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂====0,00,033
220
33022l x l x x x x x x x ηηη
η， D B C A ==⇒,。