人教版高中数学高一A版必修4 2.5.1 平面几何中的向量方法

2．5.1 平面几何中的向量方法练习
1．在△ABC 中，BA ＝a ，BC ＝b ，a ·b ＜0，则△ABC 是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
2．在四边形ABCD 中，若AB AD ⋅＝0，AB DC =，则四边形ABCD 一定是( )
A ．梯形
B ．菱形
C ．矩形
D ．正方形
3．在菱形ABCD 中，AC BD ⋅＝__________.
4．已知点A (1,2)，B (3，－2)，C (9,7)，若E ，F 为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅＝__________.
5．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 为对角线AC 上一点，则()()AP BD PB PD +⋅+的最大值为__________．
6．在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线及反向延长线上，取点F ，E ，使BE ＝DF (如图)．用向量的方法证明四边形AECF 也是平行四边形．
7．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，用向量法证明：AB 2＋AC 2＝BC 2.
8．如图所示，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．
9．在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，用向量法证明CD ＝
12
AB . 10．在ABCD 中，AC ＝BD ，求证：四边形ABCD 是矩形．
参考答案
1. 答案：C
2. 答案：C
3．答案：C
4. 答案：0
5. 答案：1
6. 分析：转化为证明AE ∥FC ，且AE ＝FC ，即只需证明AE FC =即可． 证明：AE AB BE =+，FC FD DC =+，
又AB DC =，DE FD =，∴AE FC =，即AE ，FC 平行且相等． ∴四边形AECF 是平行四边形．
7. 证明：如图，由已知可得AB AC CB -=.
两边平方得222
2AB AC AB AC CB +-⋅=.
∵AB ⊥AC ，∴AB AC ⊥.
∴AB AC ⋅＝0，
∴222AB AC CB +=，即AB 2＋AC 2＝BC 2.
8. 分析：本题是求线段长度的问题，可转化为求向量的模来解决． 解：设AD ＝a ，AB ＝b ，则BD ＝a －b ，AC ＝a ＋b ，所以|BD |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝5－2a ·b ＝4，
所以2a ·b ＝1.
又|AC |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝5＋2a ·b ，
所以|AC |2＝6，所以|AC |，即AC .
9.分析：找一组基底，分别表示CD和AB，转化为证明|CD|＝1
2
|AB|.
证明：如图，设CA＝a，CB＝b，则a与b的夹角为90°，∴a·b＝0.
又AB＝b－a，CD＝1
2
(a＋b)，
∴|CD|＝1
2
|a＋b|
|AB|＝|b－a|
＝2
-⋅=
b a b+a
∴|CD|＝1
2AB.∴CD＝
1
2
AB.
10. 分析：以AB和AD为基底，转化为证明AB⊥AD. 证明：设AB＝a，AD＝b，
由于四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝AB＋AD＝a＋b，
BD＝AD－AB＝b－a.
∵AC＝BD，∴|a＋b|＝|b－a|.
∴|a＋b|2＝|b－a|2.
∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝|b|2－2a·b＋|a|2.
∴a·b＝0.∴a⊥b，即AB⊥AD.∴AB⊥AD．
∴四边形ABCD是矩形．。