2019-2020学年苏教版必修三 2.3.1 平均数及其估计 课件(40张)

由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体 现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就 是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将所有小矩 形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所 对应的成绩即为所求． 因为 0.004×10＋0.006×10＋0.02×10 ＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3， 所以前三个小矩形面积的和为 0.3.而第四个小矩形面积为 0.03×10＝0.3，0.3＋0.3＞0.5， 所以中位数应约位于第四个小矩形内．
【解】 法一：利用平均数的公式计算． －x ＝415(14＋15＋…＋15) ＝415×684＝15.2(岁)． 法二：利用加权平均数的公式计算． －x ＝415(13×2＋14×7＋15×20＋16×12＋17×4) ＝415×684＝15.2(岁)．
法三：如果将已知各数都减去 a，计算出所得各数的平均数－x ′， 则已知各数的平均数－x ＝－x ′＋a，即取 a＝15，将已知各数减去 15，得 －1 0 －1 1 0 2 1 0 1 1 0 0 2 －2 －1 0 1 1 0 －1 0 0 －1 0 1 2 1 0 0 0 1 0 －2 1 0 0 2 －1 0 1 1 0 －1 0 0 －x ′＝415(－1＋0＋…＋0)＝415×9＝0.2(岁)． －x ＝－x ′＋a＝0.2＋15＝15.2(岁)． 即全班的平均年龄是 15.2 岁．
某校在一次学生身体素质调查中，在甲、乙两班中随机 抽 10 名男生检测 100 m 短跑，测得成绩如下(单位：s)： 甲 15.1 14.8 14.1 14.6 15.3 14.8 14.9 14.7 15.2 14.5 乙 15.0 15.0 14.2 14.5 16.1 15.2 14.8 14.9 15.1 15.2 求甲、乙两班 10 名同学的平均成绩，试估计甲、乙两班男生的 短跑水平．
第2章 统 计
2.3 总体特征数的估计
2.3.1 平均数及其估计
第2章 统 计
1.了解样本平均数的意义和作用． 2.理解用样本平均数 估计总体平均数的思想． 3．掌握样本平均数的求法．
1．平均数 一 般 地 ， 如 果 有 n 个 数 x1 ， x2 ， … ， xn ， 那 么 －x ＝
__n1_(_x_1_＋__x_2＋__…__＋__x_n_)____＝n1i＝n1 xi 叫做这 n 个数的平均数或均
频率分布直方图如图所示：
(2)由直方图的各组中值估计平均数为： (54.5×4 ＋ 60.5×6 ＋ 66.5×11 ＋ 72.5×20 ＋ 78.5×11 ＋ 84.5×5 ＋90.5×3)÷60＝72， 实际的总体平均数约为 71.97， 误差约为 72－71.97＝0.03.
1．平均数受样本中的每一个数据的影响，“越离群”的数据， 对平均数的影响也越大．与众数和中位数相比，平均数代表了 数据更多的信息．当样本数据质量比较差时，使用平均数描述 数据的中心位置可能与实际情况产生较大的误差．可以利用计 算机模拟样本，向学生展示错误数据对样本平均数的影响程 度．在体育、文艺等各种比赛的评分中，使用的是平均数．计 分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，
3 000 元 450 元 350 元 400 元 320 元 320 元 410 元
(1)计算所有人员的周平均收入； (2)这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平吗？为 什么？
(3)去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的
周收入的水平吗？
解：(1)周平均收入－x 1＝17(3 000＋450＋350＋400＋320＋320＋ 410)＝750(元)． (2)这个平均收入不能反映打工人员的周收入水平，可以看出打 工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一 个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人 员． (3)去掉老板的收入后的周平均收入－x 2＝16(450＋350＋400＋ 320＋320＋410)＝375(元)，这能代表打工人员的周收入水平．
解：(1)最大值与最小值的差为 92－53＝39，取组距为 6.由于369 ＝612，所以分 7 组，分组如下： [51.5，57.5)，[57.5，63.5)，[63.5，69.5)，[69.5，75.5)，[75.5， 81.5)，[81.5，87.5)，[87.5，93.5]．
列表： 分组
平均数的计算 某班 45 名同学的年龄(单位：岁)如下： 14 15 14 16 15 17 16 15 16 16 15 15 17 13 14 15 16 16 15 14 15 15 14 15 16 17 16 15 15 15 16 15 13 16 15 15 17 14 15 16 16 15 14 15 15 求全班的平均年龄．
【解】 (1)甲群市民年龄的平均数为 13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17
10 ＝15(岁)， 中位数为 15 岁，众数为 15 岁． 平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市 民的年龄特征．
(2)乙群市民年龄的平均数为 54＋3＋4＋4＋5＋ 106＋6＋6＋6＋56＝15(岁)， 中位数为 6 岁，众数为 6 岁． 由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映 乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．
[注意] 因为频率分布直方图不能体现样本数据，因此由频率 分布直方图得到的中位数不一定在样本数据中出现．
3.下面是 60 名男生每分钟脉搏跳动的次数： 72 70 66 74 81 70 74 53 57 62 58 92 72 67 62 91 73 64 65 80 78 67 75 80 83 61 72 72 69 70 76 74 65 84 79 80 76 72 68 65 82 79 71 86 77 69 72 56 70 62 76 56 86 63 73 70 75 73 89 64 (1)作出上述数据的频率分布直方图； (2)根据直方图的各组中值估计总体平均数，并将所得结果与实 际的总体平均数相比较计算误差．
众数、中位数、平均数的应用 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市 民的年龄如下(单位：岁)： 甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17； 乙群：54，3，4，4，5，6，6，6，6，56. (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪 个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？ (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪 个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
理解并掌握平均数、众数和中位数的概念，平均数、众数和中 位数可能相同，也可能不同．注意某几个数据的平均数就是这 些数的算术平均数，样本平均数代表了数据更多的信息，在实 际问题中，计算时应按照实际要求进行计算．
表：
2.下面是某快餐店所有工作人员一周的收入
老板 大厨 二厨 采购员 杂工 服务生 会计
pn，则其平均数为－x ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝
n
xipi.
i＝1
1．某人 5 次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为 8，12，
10，11，9，估计此人每次上班途中平均花费的时间为( )
A．9 分钟
B．10 分钟
C．11 分钟
D．12 分钟
解析：选 B.依题意，估计此人每次上班途中平均花费的时间为 8＋12＋150＋11＋9＝10 分钟．
[51.5，57.5) [57.5，63.5) [63.5，69.5) [69.5，75.5) [75.5，81.5) [81.5，87.5) [87.5，93.5]
频数 4 6 11 20 11 5 3
频率 0.067 0.1 0.183 0.333 0.183 0.083 0.05
频率/组距 0.011 0.017 0.031 0.056 0.031 0.014 0.008
众数、中位数、平均数与频率分布表、频率分布 直方图的关系
(1)众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一小组的组中值 来显示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高矩形的底边 中点的横坐标． (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图 的面积应该相等． (3)平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积 的和．
值，记作－x .设一组实验数据的“最理想”近似值 x，它与 n 个 实验数据 x1，x2，x3，…，xn 的离差分别为 x－x1，x－x2，x－ x3，…，x－xn.当 x 取－x 时，离差的平方和(x－x1)2＋(x－x2)2＋… ＋(x－xn)2 最小.
2.平均数的运算性质 （1）若给定一组数据 x1，x2，…，xn 的平均数为－x ，则数据 ax1，ax2，…，axn 的平均数为 a－x . （2）若给定一组数据 x1，x2，…，xn 的平均数为－x ，则数据 ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b 的平均数为 a－x ＋b. 3.加权平均数 一般地，若取值为 x1，x2，…，xn 的频率分别为 p1，p2，…，
频率分布与数字特征的综合应用 从高三抽出 50
由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求： (1)这 50 名学生成绩的众数与中位数； (2)这 50 名学生的平均成绩． 【解】 (1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在 直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求， 所以众数应为 75.
设其底边为 x，高为 0.03， 所以令 0.03x＝0.2，得 x≈6.7， 故中位数应约为 70＋6.7＝76.7. (2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的 平均值，即每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的 面积求和即可． 所 以 平 均 成 绩 为 45×(0.004×10) ＋ 55×(0.006×10) ＋ 65×(0.02×10) ＋ 75×(0.03×10) ＋ 85×(0.024×10) ＋ 95×(0.016×10)＝76.2.
2．已知一组数据为 20，30，40，50，50，60，70，80.其中平 均数、中位数和众数的大小关系是________________________． 解析：平均数、中位数、众数皆为 50. 答案：众数＝中位数＝平均数
3．期中考试以后，班长算出了全班 40 个人数学成绩的平均分 为 M，如果把 M 当成一个同学的分数，与原来的 40 个分数一 起，算出这 41 个分数的平均值为 N，那么 M∶N 为________． 解析：N＝40M4＋ 1 M＝M，所以 M∶N＝1. 答案：1
就是为了防止个别裁判的人为因素而给出过高或过低的分数对 选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量保证公平性． 2．如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大 的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际 应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们 了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策．
平均数的计算方法 (1)定义法：已知 x1，x2，x3，…，xn 为某样本的 n 个数据，则 这 n 个数据的平均数为：－x ＝x1＋x2＋xn3＋…＋xn. (2)加减常数法：数据 x1，x2，…，xn 都比较大或比较小，且 x1， x2，…，xn 在固定常数附近波动，－x ＝x1＋x2＋n …＋xn，a 为接 近－x 的常数，则 x1±a，x2±a，…，xn±a 的平均数为－x ±a. (3)加权平均数：样本中，数据 x1 有 m1 个，x2 有 m2 个，…，xk 有 mk 个，则－x ＝m1xm1＋1＋mm2x2＋2＋……＋＋mmk kxk.
1.x1，x2，…，x10 的平均数为 a，x11，x12，…， x50 的平均数为 b，则 x1，x2，…，x50 的平均数是________． 解析：由题意知前 10 个数的总和为 10a，后 40 个数的总和为 40b，又总个数为 50， 所以 x1，x2，…，x50 的平均数为10a＋5040b＝a＋54b. 答案：a＋5 4b