§9-1 网络函数和频率特性的概念

§9－1 网络函数和频率特性的概念
在实际工作中，施加于一个网络的信号一般不会是单一频率的正弦量，可表示为很多不同频率正弦量的线性组合。

考虑到网络中电抗元件的电抗值随激励的频率而变(非正弦周期信号已体现)，网络内的阻抗和导纳是频率的函数，因而含电抗元件的网络对不同频率的信号激励将产生不同的响应。

为了具体分析在非单一频率信号源激励下的响应，必须分析网络在不同频率下的响应与激励关系，即研究网络的频率特性。

一、基本概念：
1．频率特性：网络在不同频率下响应与激励的关系，反映了网络的频率特性。

通常，可针对于网络的具体工作目的来分析网络性能，求出所需知道的响应(电压或电流)与激励信号之间的关系。

2．网络函数：在正弦稳态情况下，激励和响应都可表为相量形式，定义响应相量与激励相量之比为网络函数。

既然激励信号及其响应都表现为频率ω的函数，网络函数亦为ω的函数，网络函数(通常为复函数)可表示为ωj 的函数，记为)(ωj H ，如下式：
二、单口网络的网络函数(又称为策动点函数)
当激励和响应位于同一对端钮，一个为电压、另一个为电流时，网络函数可称为策动点函数。

激励（相量）
响应（相量）
)(=
ωj H
策动点函数有两种：
1．策动点阻抗函数： ∙
∙=I U j Z )(ω， 入端阻抗； 2．策动点导纳函数： ∙∙
=
U
I j Y )(ω， 入端导纳。

三、双口网络的网络函数(又称为转移函数)
有四种：
1．电压转移函数，转移电压比∙
∙12U U ； 2．电流转移函数，转移电流比∙∙
1
2I I ；
3．转移阻抗函数，转移阻抗∙∙
12I U ； 4．转移导纳函数，转移导纳
∙∙1
2U I 。

四、网络的幅频特性与相频特性
)(ωj H 用相量表示(复数)：)()()()()(ωθωωωωϑ∠==
j H e j H j H j 。

其中：
1．)(ωj H 为网络函数的模，它反映了响应与激励幅度之比值与频率的关系，ωω~)(j H 关系称为“幅频特性”；
2．)(ωθ为网络函数的幅角，表明了响应与激励的相位差与频率的关系，ωωθ~)(称为“相频特性”。

3．幅频特性与相频特性总称为网络的“频率特性”。

_
+_
+
如下面的RLC 电路：
1．输入导纳函数为：
1
)( 1)(21
111++=
+
+=
=
∙∙
RC j LC j C
j C j L j R U I j Y ωωωωωω
2．电压转移函数：
1
)(1
1121
221++=
⨯
+
+=
=
∙∙
RC j LC j C
j C
j L j R U U K u ωωωωω
3．转移阻抗函数：C
j I U Z ω11
221=
=
∙
∙
网络函数性质的研究是电网络理论重要内容，本章只对一些简单的RC 电路及LC 谐振电路分析它们的频率特性。

§9－2 简单RC 电路的频率特性
RC 、RL 元件串联、并联或简单串并联组合的电路是一般电子设备中最常见的电路，根据它们不同的频率特性而具有各种不同的用途。

一、RC 低通滤波电路
上图是一个RC 串联分压电路，施加激励i U ∙
，有响应o U ∙。

网络函
数是o U ∙
与i U ∙
的电压比。

i
o u U U j K ∙
∙
=
)(ω ───── 转移电压比
1
1
1
1
11)(+=
+=+
=+==∙∙
o
o o i o u j j RC j RC
C j R C
j U U j K ωωωωωωωωω 令： rad/s 1
RC
o =
ω，称为RC 电路的固有(角)频率(它表明网络的固有性质)。

o ω的倒数为第六章中的RC =τ。

以下分析转移电压比随频率变化的情况。

把上式改写如下形式，将幅度与相位随频率变化关系在数学表达式上分开。

o
o
o
u arctg
j K ωωωωωω-∠+=
2
2)( 转移电压比的幅频特性与相频特性分别为：
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧
-=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+=o o o o u arctg j K ωωωϕωωωωωω)(11)(2
22 从下面两个图反映的频率特性可以看到：
通过该网络输出的电压幅值单调地随信号频率升高而降低。

当
0=ω(DC 下)，输出电压最高。

在00
1ωωωω
==即时，输出电压降低为DC 情况下(即其最大值)的
21
即70.7%。

由于功率与电压的平方成正比，电压降为2
1，功率将降低一半，因此幅频特性曲线上的这一频率点被称为半功率点。

当o ωω<，信号通过这一网络的输出电压幅值不小于其最大输出幅值的70.7%，即被称为顺利通过这一网络。

当o ωω>，信号通过这一网络的输出电压幅值将降低到其最大输出幅值的70.7%以下，即被认为不能通过这一网络。

因此，这一频率常被称为截止频率。

o
ωω
o
ωω
这一网络被称为RC 低通滤波器，以RC 电路的固有频率o ω为界线，o 0 ωω<<的频率范围称为它的通频带。

二、负载电阻对RC 低通滤波器工作的影响
由于负载电阻Ld R 与电容相并联(如图)
则： C RR j RC R C j R R C j j K Ld Ld
Ld
Ld u +
=+++
=ωωωω111
)( 令：Ld Ld R R RR R +=
1，相当于R 与Ld R 并联值、RC o 1=ω、C R 111
=ω；
则 o o
o
o o o u arctg arctg
j j K ωωωωωωωω
ωω
ωωωωωωω12121
2121)()(1
)(-∠+=-∠+=+=
加负载后这一低通滤波器的幅频特性及相频特性见P.223图9－3的(b )、(c )。

可以看到，RC 低通滤波器用于整流电路的滤波时，负载对输出直流电压的高低影响很大。

负载加重(Ld R 减小)时，输出直流电压明显降低；对交流的滤波作用相对减小；通频范围扩大，影响了电路的低频滤波作用。

例如，当R R Ld =时，o ωω21=，输出直流电压从1.0降为0.5；o
ωω=1
+ 2∙U -
时信号分量电压幅值从0.707降为0.447。

三、RC 高通滤波电路(RC 隔直耦合电路)
同样的RC 串联电路，如将R 上的电压作为输出电压，便成为高通滤波器，如上图所示。

这是放大器中最常用的RC 耦合电路，前级放大器的输出电压通过此耦合电路输送到下一级放大器中。

C 被称为耦合电容。

)
()(1
1
)(ωϕωωωωωωωω
ωωωωωω∠=+=+=+
=
+=
+
==
∙∙
j K j j j j RC
j j RC j RC
j C
j R R U U j K u o
o o i
o u
其中：2
2
2)(1)(o
o o
u j K ωωωωωωω
ω+=
+= o
arctg
ωωπ
ωϕ-=2
)( P.224图9－4(b )为幅频特性曲线，图(c )为相频特性曲线。

从图(b )可以看出：通过这一网络的信号，随着f 越高，幅值降低及相位改变越小；随着f 越低，幅值降低越多，相移也越大。

∵ 0=ω，0=u K ，即直流根本通不过去。

∴ C 常被称为隔直电容，其半功率点在RC
o 1
=
=ωω处，通频带
为∞<<ωωo 。

∴上述的电路为RC 高通滤波器电路。

四、负载电阻对RC 高通滤波器工作的影响(自学)
§9－3 RLC串联谐振电路
一、选频电路与谐振现象
1．选频电路
RC电路：功耗大，选择性差，衰减大。

LC串联谐振电路：当信号的频率等于LC回路的固有频率时，微弱的激励信号能产生显著的响应。

常用于窄带信号的选择，功耗小。

2．谐振现象
物理学中有“共振”现象。

从系统和能量的观点看：共振时，虽然系统内部发生大振幅运动(有较大的能量在系统内部来回转换)，但外加的能量很小。

我们所研究的电路系统，如果同时含有L、C元件，就有可能发生“共振”──称为“谐振”。

谐振是指：如果电路满足某种条件，使得系统内部发生大振幅运动(有较大的能量在系统内部来回转换)，但外加的能量很小。

激励信号源的能量仅作为补充电路中电阻的消耗。

二、串联谐振的条件及其特征
1．串联谐振发生的条件
定义：若含L、C元件的无源网络N在端口对某个频率呈现为纯电阻性(即Z的虚部为0，或∙U、∙I同相)时，就称该电路对这个频率发生谐振。

V )cos(2u s s t U u ϕω+= ϕωω∠=+=-
+=Z jX R C
L j R Z )1
(，是ω的函数。

欲“串联谐振”，需使0)(=o X ω，即：01
=-C
L o o ωω或0=u ϕ，此时s U ∙
和∙
I 同相位。

⇒发生谐振的条件：LC
o 1
=
ω 或 LC f o π21=
一方面，在无线电及电工技术中谐振被广泛应用；另一方面，某些系统发生谐振时，所产生的过电压、过电流有可能造成危害。

2．串联谐振的特征
我们可以改变ω、L 、C 的参数来达到这一谐振条件，下面来分析一下电路发生串联谐振时的主要特征。

特征1：R jX R Z o o =+=)(ω为纯电阻性，且Z 最小。

特征2：∙
o I 的有效值R
U C
L R U I S
o o S
o =
-
+=
22)1(ωω为最大。

为研究其它特征，先定义两个参数：
1) LC 回路的特性阻抗──即谐振时的感抗或容抗。

C L
L LC
C
L o o =
==
=11ωωρ ，与o ω无关，仅取决于C L 。

2) LC 回路的品质因数(也称为Q 值)(定义为回路特性阻抗与回路电阻之比)：C
L
R RC R
L
R Q o o 11=
=
=
=
ωωρ
，无量纲。

Q 对谐振电路来说非常重要，它反映了电路的性能好坏。

注意，这里Q 不是无功功率。

特征3：串联谐振时的电压关系。

∵ 0)(=o X ω
∴ S o RO U I R U ∙
∙∙== (o I 达到I 的最大值，此时RO U 也达到其最大值)
S S
o o LO
U jQ R
U j I L j U ∙∙
∙
∙
===ρω
S o S
o o
CO
U jQ RC
j U C j I U ∙∙
∙∙
-===ωω 可见：⎪⎩⎪⎨⎧=+===∙
∙∙0
CO LO XO S
CO LO U U U QU U U 故串联谐振又称为“电压谐振”，Q 值的大小可反映谐振的程度。

Q 值通常在50～200间。

可知串联谐振时，电抗元件上的电压是电源电压的Q 倍(大得多)。

例：已知mV U s 10=，求：o f 、ρ、LO U 、CO U 。

解：KHz 79.6 10
200102021
2112
3≈⨯⨯⨯==
--ππLC f o 回路特性阻抗：Ω=⨯⨯==-- 1010
20010204
12
3C L ρ 回路的品质因数：100100
104
==
=R Q ρ
V mV QU U U S CO LO 1 100010100==⨯===
例：收音机中波输入调谐电路如图所示，设可变电容C ：
pF pF C 270C ,7max min ==，我国中波为535KHz ～1605KHz ，s e 为感
应电动势(接收到的信号)，试求O C 、L ，使max min C C C ≤≤时，o f 能调谐在上述范围内。

(即串联谐振范围535KHz ～1605KHz )。

一个电台对应一个谐振点，一个以o ω为中心附近的信号。

解：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
=+==)(12)
(12min max
max max min min
O O C C L f C C L f πωπω 93)5351605(22
2min
2
max min max ====++f f C C C C O O
∴ pF C O 261
99
7270≈-⨯-= 由KHz C C L f O 535)
(21
max min =+=
π，得：H L μ 300=
讨论：
1) ∵线圈内阻R 较小，C
L
=
ρ较大。

∴1>>Q ⇒电抗元件C 上的该频率电压远比其他各频率的电压大 ⇒可选出相应的电台信号。

2) 电力系统中电压、电流本来就大，若串联谐振，则会因过压(流)而使设备损坏。

特征4：串联谐振时的能量关系。

我们先导出能量公式，然后分析。

设：t U u o sm s ωcos =，则串联谐振时： t I R
t
U R u t i o om o sm s o ωωcos cos )(===
∵ C
j I U o o CO ω∙
∙
=
∴ )90cos(1
)(︒-=
t I C t u o om o CO ωωt I C
L o om ωsin == ∴ 电容的瞬时储能：t I L
t I C L C t Cu t w o om o om CO
CO ωω22
222sin 2
sin 21)(21)(=⨯⨯== 电感的瞬时储能：t I L t Li t w o om
o LO ω22
2cos 2
)(21)(== 可见：)()(t w t w LO CO 、均在0与其最大值之间交变，而总储能：
成正比）（与常量2222
22222
222 1)(2
)cos (sin 2)()()(Q U CQ CU U C LC
L CU L LI I L t t I L t w t w t w s CO CO CO o o om o o om LO CO o ===⨯⨯
=⨯===+=+=ωωω 结论：谐振时，L 、C 元件只是彼此交换电场、磁场能量，不再吸收电源能量。

Q 值越大，交换的规模就越大；电源用来补充回路中R 的耗能；若Q 值较大，则微弱的激励信号就可维持较大的谐振电流(与电压)。

关于后者，我们只要进一步从能量的角度研究Q 值就会发现。

回路的损耗功率
的无功功率
谐振时电感（或电容）每周期内回路的耗能谐振时回路的总储能
回路的=
==== 22222
2
π
πωωo o o o o o RI LI T RI LI R L Q
讨论：1) 元件的Q 值
定义：某频率下元件的Q 值：元件的损耗功率
元件的无功功率元件=Q 如实际线圈可用串联模型表示：
L
L
L L Ls L R L
I R LI Q Q ωω=
=
=22
串
又如：电容器可用并联模型来表示：
补充两个见P.228 图9－8(RC 串联、RL 并联)。

2) 回路的Q 值：结论见P.228划线的两部分。

例：P.228 例9－1
二、串联谐振电路的谐振曲线、频率特性和通频带
前面讨论了电路在谐振时的工作特征，即o ωω=的情况。

那么，电路对其它频率信号的“选择”性又呈现什么特点呢，即某些电量与
ω的关系曲线。

1．幅频特性ω~I ：谐振曲线如右。

设：ϕωω∠=+=-+=Z jX R C
L j R Z )1
( 则：2
2)
1(C
L R U Z
U I s
s
ωω-+==
0=ω时，C 开路，0=I
∞→ω时，L 开路，0=I o ωω=时，I 达到最大值，R
U I s
o =
2．相频特性：ωϕ~ R
C L arctg ωωϕ1-
=
显然：
CR R
U CU Q C C C ωω==2
2
并
⎪⎩
⎪
⎨⎧==>><<电路呈纯电阻性电路呈感性电路呈容性 0 0
ϕωωϕωωϕωωo o o
3．通用谐振曲线⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧o o o
I I ωωϕωω～～ 即利用坐标变换，使谐振时的值为1(归一化)(这是电路分析与综合的手段之一)。

目的：使曲线对不同的o ω、不同的o I 均通用，利于对不同Q 值的谐振曲线进行比较；减小误差。

1) 幅频特性 ∵ R
U I S
o =
∴
2
22
21
1
2
22
2)1
(11)(
)(
11
)
1(111
)
1(η
ηω
ωωωωωωωωωωωωωωωω-+=
-+−−−→
−-+=
-+==
=
=Q R
L
C L R
C
L R R I I
o o o CR
R
L
Q C
L o o o o o
o o o o
式中：o
ωω
η=
可反映ω偏离o ω的程度，称为相对失谐。

归一化后，幅频曲线的特点为：Q 值越大，曲线在o ω附近就越尖锐，或失谐时I 下降越陡。

即：要选择的o ω信号就较容易通过，而不需要的成份将受到较大抑制～电路的选择性好，具有带通滤波器的特性。

2) 相频特性：)]([1
ω
ωωωωωϕo o Q arctg R C L arctg
-−−−→−-
=与上类似
特点：Q 值越大，稍有失谐，就会引起明显的相移，这是选用与设计谐振电路时所需要考虑的问题。

4．通频带
在o ω附近频率的信号容易通过，此外的其他频率信号则不易通过。

为定量表示，将“谐振电路”的“半功率点”频率之差约定为它的“通频带”。

∵ o o o o I I I I R RI 707.02
1
)2
(
)(2
122==
=即半功率点的， 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-⇒=-+=～下限频率～上限频率
1)(1)( 21)(111
12
22
2ωωωωωωωωωωωωo o o
o o o o Q Q Q I I
当Q 值较大时，1ω与2ω与o ω很接近
∴ 2
22
22
22
22))((1o
o o o o o o Q ωωωωωωωωωωωωω-+=-=-= ]2[ )
(222o o o
o ωωωωωω≈+-≈
其中：，即：Q
o
o 2 2ωωω≈
-
同理： Q
o
o 2
1ωωω-≈-
∴ 通频带：Q
f f f B Q
B o
f o
w =
-=≈
-=1212 或ωωω 许多信号的频率是有一定范围的(如声音)，如果通频带比这个信号的频率范围还窄，则该信号通过电路时，会产生明显的失真。

因此： 一定的通频带 → Q 值不能太大 较好的选择性 → Q 值越大越好
这是一对矛盾的因素，实际情况要折衷考虑。

(P.232 划线) 串联谐振电路要求信号源内阻S R 较小，否则会引起Q 值大为降低，影响选择性。

若谐振电路的等效信号源的内阻较大，就应采用并联谐振。

作业：P.242 9－4、9－5、9－6。

§9－4 并联谐振电路
当信号源内阻较大时，为了获得较好的选频特性就必须采用在谐振频率及其频率附近范围内具有高阻抗的并联谐振电路。

一、并联谐振条件和谐振频率(用导纳讨论更方便)
最简单的并联谐振电路为P.236 图9－16(c )。

)1
(1C L
j r
jB G Y ωω+-
+=+= 谐振时Y 的虚部为零，即：01
=-=L
C B o o ωω，由此可得谐振角频
率：LC
o 1
=ω。

并联谐振时，G Y =，导纳最小，阻抗最大。

但这种电路实际应用价值不太大，工程上电感线圈是有电阻的，
故组成的并联谐振电路常用图9－17(a )来表示，分析这种谐振电路更具有实际意义。

图(a )的等效电路如图(b ),实际流过线圈的电流应是：∙
∙
∙
+'=ro Lo Lo I I I ∴ )1
(1
C L
j r
jB G Y ωω+-+=+=
当LC
o 1
=
=ωω的工作频率下，L 与C 两并联支路对外电纳为零，即L
C o o ωω1
＝
，发生并联谐振。

此时，电路对外呈电阻性，即为其等效并联电阻r ，端电压o U ∙
与总电流∙
I 同相。

达到这一条件，电路与信号源发生并联谐振，o ω为并联谐振电路
的谐振频率。

在这条件下电路对外呈现的阻抗称为并联谐振阻抗op Z ，
r Y Z op
op ==
1。

此时导纳最小，阻抗最大，且呈电阻性。

二、并联谐振电路的品质因数和特性阻抗
1．并联谐振的特性阻抗ρ：与串联谐振时相同，为谐振时的感抗
或容抗值。

即： C
L
C L o o =
==ωωρ1
2．回路品质因数Q ：r 、L 、C 并联谐振电路的品质因数。

3．谐振时的电流关系 ：A 0︒∠====∙
∙∙
∙r
U
r U Z U I I op o
当Q 值很大时，
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧===-===∙∙∙∙
∙∙
∙
∙
o
o o
c co o
o o
L Lo I jQ C j I r Z U I I jQ L j I r Z U I ωω1
可以看出：o o L c I QI I I >>==，所以并联谐振又称电流谐振。

可见，L 、C 两分支电路的电流大小近视相等，都为总电流的Q
倍，相位相反。

如图9－17(c )所示。

三、并联谐振电路的选频特性与通频带: P.238 划线
并联谐振电路的选频特性表现为在同一幅度而频率不同的信号电
流通过它，产生幅度不同，相移各异的电压响应。

在谐振频率，并联谐振电路的阻抗，相当于一个高电阻，而在失谐时阻抗急剧减小。

因此，只有在谐振频率及靠近谐振频率的很窄一小段频带内的信号，能
C
r L r r
U CU r U L U Q o o o o ωωωω====2
222
在谐振电路上产生较高的电压而被挑选出来。

作业：P.242 9－7、9－8。