浙江省杭州市八年级(下)期中数学试卷

八年级（下）期中数学试卷
题号一二三四总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.=（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
2.下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B.
C. D.
3.式子有意义，则x的取值范围是（）
A. x≥3
B. x≤3
C. x≥-3
D. x≤-3
4.当一个多边形的边数增加时，它的内角和与外角和的变化情况分别是（）
A. 增大，增大
B. 不变，不变
C. 不变，增大
D. 增大，不变
5.若一组数据3，x，4，5，6的众数是3，则这组数据的中位数为（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
6.已知关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根是1，则代数式的值等于（）
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2
7.若方程（k-1）x2-2x+1=0有实数根，则实数k的取值范围（）
A. k＜2
B. k＜2且k≠1
C. k≤2
D. k≤2且k≠1
8.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由800元降为512元，已知两次降价的
百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为x，下面所列方程正确的是（）
A. 800（1-x）2=512
B. 800（1+x）2=512
C. 800（1-2x）2=512
D. 800（1+x2）=512
9.有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c．则（）
A. 如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N没有实数根
B. 如果方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同
C. 如果5是方程M的一个根，那么5也是方程N的一个根
D. 如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
10.如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=．点M是AD边的中
点，点N是AB边上的一个动点．将△AMN沿MN所在的直线翻折到△A′MN，连结A′C．则线段A′C长度的最小值为（）
A. 5
B. 7
C. 4
D. 5
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.五边形的内角和是______，外角和是______．
12.如果（a，b为有理数），则a=______，b=______．
13.已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则=______．
14.某地连续9天的最高气温统计如下表，则这9天的平均气温为______（℃）．
最高气温（℃）252730
天数342
15.若两个不等实数m，n满足条件：x2-2x-3=0，则（n2-2n）（2m2-4m+4）的值是______．
16.如图，△ACE是以平行四边形ABCD的对角线AC为边
的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐
标是（4，），则D点的坐标是______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17.化简：
（1）；
（2）．
四、解答题（本大题共6小题，共60.0分）
18.解方程：
（1）x2-1=x+1；
（2）2x2-7x+5=0．
19.如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，其中点A的坐标为（-1，0）．
（1）在网格中作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于原点O成中心对称；
（2）如果四边形BCDE是以BC为一边，且两条对角线相交于原点O的平行四边形，请你直接写出点D和点E的坐标．
20.商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元．为减少库存，商场决定采取
适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．（1）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？
（2）商场日盈利能否达到3300元？
（3）每件商品降价多少元时，商场日盈利最多？
21.图甲和图乙分别是A，B两家酒店去年下半年的月营业额（单位：百万元）统计图．
（1）求A酒店12月份的营业额a的值．
（2）已知B酒店去年下半年的月平均营业额为2.3百万元，求8月份的月营业额，并补全折线统计图．
（3）完成下面的表格（单位：百万元）
平均数中位数众数方差A酒店______ 2.3 2.20.73
B酒店 2.3______ ______ 0.55
（4）综合以上分析，你认为哪一些数据更能较为准确的反映酒店的经营业绩？你认为哪家酒店的经营状况较好？请简述理由．
22.杂技演员抛球表演时，t（秒）后该球离起点的高度h（米）适用于公式h=10t-5t2．
（1）经过多少秒球回到起点的高度？
（2）经过多少秒球离起点的高度达到1.8米？
（3）若存在实数t1和t2（t1≠t2），当t=t1或t2时，球离起点的高度都为m（米），求m的取值范围．
23.如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD于点F，
交BC的延长线于点E，连结BF．
（1）求证：BE=CD；
（2）若点F是CD的中点．
①求证BF⊥AE；
②若∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：=4，
故选：B．
根据算术平方根的定义即可得．
本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的运算符号是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
本题主要考查对中心对称图形和轴对称图形的理解和掌握，能正确判断一个图形是否是中心对称图形和轴对称图形是解此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意得：x+3≥0，
解得：x≥-3．
故选：C．
根据二次根式的性质和被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
此题主要考查了二次根式的意义的条件．关键是把握二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
4.【答案】D
【解析】解：根据n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，
可以得到一个多边形的边数增加时，则内角和增大．多边形外角和为360°，保持不变．故选：D．
利用n边形的内角和公式（n-2）•180°（n≥3）且n为整数），多边形外角和为360°即可解决问题．
本题主要考查了多边形的内角和公式和外角和定理，是需要熟练掌握的内容．
5.【答案】B
【解析】解：∵一组数据3，x，4，5，6的众数是3，
∴x=3，
把这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，3，4，5，6，
最中间的数是4，则这组数据的中位数为4；
故选：B．
根据众数的定义先求出x的值，再根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，找出最中间的数即可得出答案．
本题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
6.【答案】B
【解析】解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根是1，
∴a+b+c=0，
∴b+c=-a，
将b+c=-a代入代数式==-1，
故选B．
将这个根代入方程，得出a、b、c之间的关系，以b+c为整体代入求值即可．
本题考查了一元二次方程根的定义，以及数学的一个重要的思想：整体代入思想．
7.【答案】C
【解析】解：当k-1=0，即k=1时，原方程为-2x+1=0，
解得：x=，
∴k=1符合题意；
当k-1≠0，即k≠1时，有△=(-2)2-4×（k-1）×1≥0，
解得：k≤2且k≠1．
综上所述：k的取值范围是k≤2．
故选：C．
分二次项系数为零及二次项系数非零两种情况考虑，当k-1=0时，通过解一元一次方程可得出方程有解，即k=1符合题意；当k-1≠0时，由根的判别式△≥0，可求出k的取值范围．综上即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，分二次项系数为零及二次项系数非零两种情况考虑是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
800（1-x）2=512，
故选：A．
设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是800（1-x），第二次后的价格是800（1-x）2，据此即可列方程求解．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
9.【答案】B
【解析】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2-4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论错误，不符合题意；
B、如果方程M的两根符号相同，那么△=b2-4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，
所以方程N的两根符号也相同，结论正确，符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时乘以25，得25c+125b+625a=0，所以5不是方程N的一个根，结论错误，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a-c）x2=a-c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，不符合题意；
故选：B．
利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判
断C与D．
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0时，方程有两个不相等的实数根；△=0时，方程有两个相等的实数根；△＜0时，方程没有实数根．也考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义．
10.【答案】A
【解析】解：如图：连接MC，作CE⊥AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4，AD∥BC，
∴∠EDC=∠DCB=30°且∠E=90°，
∴EC=CD=，
∴DE=；
∵M是AD中点，
∴AM=MD=2，
∴ME=，
∴MC==7；
∵折叠，
∴A'M=AM=2，
∴点A'在以M为圆心，半径为2的圆上，
∴当M，A'，C三点共线时，A'C的长度最小，
∴此时，A'C=MC-A'M=7-2=5、
故选：A．
由折叠可得A'M=AM=2，则点A'在以M为圆心，半径为2的圆上，所以当M，A'，C三点共线时，A'C的长度最小，CE⊥AD，根据勾股定理分别求出DE，MC的长度，即可求A'C长度的最小值．
本题考查了折叠问题，勾股定理，平行四边形的性质，关键是构造直角三角形求MC的长度．
11.【答案】540°360°
【解析】解：五边形的内角和=（5-2）×180°=540°，
外角和是360°．
故答案为：540°，360°．
根据多边形的内角和公式（n-2）•180°，以及外角和定理进行解答．
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°．
12.【答案】6 4
【解析】解：∵（2+）2=4+4+2=6+4，
∴a=6、b=4．
故答案为：6、4．
先计算出（2+）2，再根据可得答案．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式．
13.【答案】2+4
【解析】解：∵2＜＜3，
∴a=2，b=-2，
所以，
故答案为：2+4．
先求出范围，进而解答即可．
本题考查了估算无理数的大小和有理数的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力．14.【答案】27
【解析】解：这9天的平均气温为=27（℃），
故答案为：27．
根据加权平均数的计算公式列式计算可得．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的计算公式．
15.【答案】30
【解析】解：∵x2-2x-3=0，
∴x2-2x=3，
由m与n满足条件，得到m2-2m=3，n2-2n=3，
则原式=（n2-2n）[2（m2-2m）+4]=3×10=30，
故答案为：30
由m与n满足已知条件，得到关系式，原式整理后代入计算即可求出值．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16.【答案】（2，0）
【解析】解：如图所示：∵△ACE是等边三角形，点C与点E
关于x轴对称，
∴AF垂直平分CE，AF平分∠CAE，
∴∠CFD=90°=∠BOA，CF=BO，
∵E点的坐标是（4，-2），
∴OF=4，CF=2，
在Rt△AFC中，∠CAF=30°，
∴AF==6，
∴AO=AF-OF=2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=DC，
在Rt△CDF和Rt△BAO中，，
∴Rt△CDF≌Rt△BAO（HL），
∴DF=AO=2，
∴OD=OF-DF=4-2=2，
∴D点坐标为（2，0）；
故答案为（2，0）．
首先设CE交x轴于点F，由点C与点E关于x轴对称．若点E的坐标是（4，-2），可求得点C的坐标，继而求得AC与BC的长，然后由三角函数的性质，求得AF的长，即可求得点A的坐标，继而求得答案．
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形特征、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
17.【答案】解：（1）原式=2--
=2-
=；
（2）原式=5-6-4
=20-18-4
=2-4．
【解析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得；
（2）根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
18.【答案】解：（1）x2-1=x+1，
x2-x-2=0，
（x-2）（x+1）=0，
x-2=0，x+1=0，
x1=2，x2=-1；
（2）2x2-7x+5=0
（2x-1）（x-5）=0，
2x-1=0，x-5=0，
x1=-，x2=5．
【解析】（1）移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法，公式法、配方法、直接开平方法．
19.【答案】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示，点D（3，-1），点E（2，-3）．
【解析】（1）利用网格作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于原点O成中心对称；
（2）依据四边形BCDE是以BC为一边，且两条对角线相交于原点O的平行四边形，即可得到点D和点E的坐标．
本题主要考查了平行四边形的性质以及中心对称的性质，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
20.【答案】解：（1）设降价x元，由题意得：（60-x）（40+2x）=3150，
化简得：x2-40x+375=0，
解得：x1=15，x2=25，
答：每件商品降价25元或15元，商场日盈利可达3150元；
（2）设降价x元，由题意得：（60-x）（40+2x）=3300，
化简得：x2-40x+450=0，
b2-4ac=1600-4×450=-200＜0，
故此方程无实数根，
故商场日盈利不能达到3300元；
（3）设利润为y元，根据题意可得：
y=（60-x）（40+2x）
=-2x2+80x+2400
=-2（x2-40x）+2400
=-2（x-20）2+3200
故当x=20时，y最大．
答：每件商品降价20元时，商场日盈利的最多．
【解析】（1）根据日盈利=每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数40+2×降价的钱数），把相关数值代入求解即可；
（2）根据日盈利=每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数40+2×降价的钱数），整理后判断方程的根的情况即可；
（3）根据（1）得到的关系式判断出二次函数的对称轴，此时二次函数取到最值．
此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用；得到日盈利的等量关系是解决本题的关键．
21.【答案】（1）设7、8、9、10月份所占的圆心角和为x．
则有：=，
解得x=192°，
∴12月份的圆心角为360°-192°-72°=96°，
则有：=，
∴a=4百万元，
（2）由题意，8月份的月营业额为3百万元．
作图：
（3）2.5 1.9 1.7
（4）平均数，中位数反映酒店的经营业绩，A酒店的经营状况较好．
理由：平均数．中位数比较大．
【解析】解：（1）见答案；
（2）见答案；
（3）A酒店的平均数==2.5，
B酒店的中位数为1.9，众数为1.7，
故答案为2.5，1.9，1.7．
（4）见答案；
（1）想办法求出12月份的扇形图中的圆心角，构建方程即可解决问题；
（2）根据平均数的定义即可解决问题；
（3）根据平均数，中位数，众数的定义计算即可；
（4）平均数，中位数反映酒店的经营业绩，A酒店的经营状况较好．
本题考查折线统计图、扇形统计图、中位数、平均数、众数等众数，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22.【答案】解：（1）令10t-5t2=0，
解得t1=0，t2=2．
因为是回到起点，所以t=2，
答：经过2秒球回到起点的高度；
（2）令10t-5t2=1.8，
解得t1=0.2，t2=1.8．
答：经过0.2秒或1.8秒球离起点的高度达到1.8米；
（3）因为m≥0，由题意得t1和t2是方程10t-5t2=m的两个不相等的实数根，
∴-5t2+10t-m=0
=b2-4ac=102-20m＞0，
所以m＜5，
所以m的取值范围是0≤m＜5．
【解析】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的思想解答．
（1）根据题意可以得到相应的方程，从而可以解答本题；
（2）令h=1.8求出相应的t的值即可解答本题；
（3）根据题意，令h=m，然后根据题意可知方程有两个不相等的实数根，从而可以求得m的取值范围．
23.【答案】解：（1）ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=∠E，
∴BA=BE．
又∵AB=CD，
∴BE=CD；
（2）①∵点F是CD的中点，
∴CF=DF，
在△ADF和△ECF中，，
∴△ADF≌△ECF，
∴AF=EF
又∵BE=BA，
∴BF⊥AE；
②∵∠BEA=60°，
∴△ABE是等边三角形，
又∵AB=4，
∴S△ABE=×AB2=4，
∵△ADF≌△ECF，
∴S△ADF=S△ECF，
∴行四边形ABCD的面积=S△ADF+S四边形ABCF=S△CEF+S四边形ABCF=S△ABE=4
【解析】（1）先判断出AD∥BC，AB=CD，进而得出∠BAE=∠EAD=∠E，即可得出结论' （2）①先判断出CF=DF，进而得出△ADF≌△ECF，即可得出结论；
②先判断出△ABE是等边三角形，进而求出△ABE的面积，S△ADF=S△ECF，即可得出结论．此题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等边
三角形的判定和性质，判断出△ADF≌△ECF是解本题的关键．。