(完整word版)圆锥曲线解题技巧方法总结(教师版)

圆锥曲线解题技巧方法总结
1。

圆锥曲线的两定义:
第一定义中要重视“括号”内的限制条件：
椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；
双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于｜F 1F 2｜，定义中的“绝对值"与2a ＜｜F 1F 2|不可忽视.若2a ＝｜F 1F 2｜，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥｜F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支.
例：
8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）
2。

圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
(1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22
22b
x a y +＝1（0a b >>）。

方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A,B ，C 同号,A≠B）。

例: 若R y x ∈,，且
62322=+y x ,则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___(2）
（2)双曲线：焦点在x 轴上:2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22
22b
x a y -＝1(0,0a b >>).方程
22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0,且A ，B 异号）。

例：设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）
（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时
22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1)椭圆：由x 2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程1212
2=-+-m
y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__(答：
)2
3
,1()1,( --∞）
(2）双曲线：由x 2，y 2项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

提醒：在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大,222c a b =+.
4。

圆锥曲线的几何性质：
（1)椭圆(以122
22=+b
y a x (0a b >>）为例):
①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±；
③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0，0）, 四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；
④准线：两条准线2
a x c
=±;
⑤离心率：c
e a
=,椭圆⇔01e <<，e 越小,椭圆越圆;e 越大，椭圆越扁.
例（1）若椭圆1522=+m y x 的离心率510
=
e ,则m 的值是__（答：3或3
25)； （2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）
（2）双曲线(以22
221x y a b
-=(0,0a b >>）为例)：
①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈； ②焦点：两个焦点(,0)c ±;
③对称性：两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心（0，0），两个顶点(,0)a ±,其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠;
④准线：两条准线2
a x c
=±;
⑤离心率:c
e a
=，双曲线⇔1e >,等轴双曲线⇔e =e 越小，开口越小,e 越大,开口越大；
⑥两条渐近线：b
y x a
=±.
（3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：
①范围:0,x y R ≥∈;
②焦点：一个焦点(,0)2
p ，其中p 的几何意义是:焦点到准线的距离； ③对称性:一条对称轴0y =,没有对称中心，只有一个顶点(0,0）; ④准线：一条准线2
p
x =-
； ⑤离心率：c
e a
=，抛物线⇔1e =.
例：设R a a ∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为________(答：)161,0(a
);
5、点00(,)P x y 和椭圆122
22=+b
y a x （0a b >>）的关系：
（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200
221x y a b
+>；
（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220
220b y a x +＝1；
(3)点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200
221x y a b
+<。

6．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交； 0∆>⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0∆>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>,当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故
0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

(2)相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；0∆=⇔直线与双曲线相切；0∆=⇔直线与抛物线相切; （3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；0∆<⇔直线与双曲线相离;0∆<⇔直线与抛物线相离。

提醒:（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。

如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴
平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；(2)过双曲线22
22b
y a x -＝1外一点00(,)P x y 的直线
与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条;③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；（3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.
7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题: 20tan ||2
S b c y θ
==，
当0||y b =即P 为短轴端点时，max S 的最大值为bc ；对于双曲线2
tan
2θ
b S =。

练习：点P 是双曲线上112
2
2
=-y x 上一点，21,F F 为双曲线的两个焦点，且21PF PF =24，求21F PF ∆的周长。

8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质： （1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；
（2）设AB 为焦点弦, M 为准线与x 轴的交点,则∠AMF ＝∠BMF;
（3）设AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为A 1，B 1,若P 为A 1B 1的中点,则PA ⊥PB ；
（4）若AO 的延长线交准线于C ，则BC 平行于x 轴，反之，若过B 点平行于x 轴的直线交准
线于C 点,则A,O ，C 三点共线。

9、弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标,则AB
＝12x -,若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝212
1
1y y k -+，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB
12y -。

特
别地,焦点弦（过焦点的弦)：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

10、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法"求解。

在椭圆122
22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0
202y a x b ；
弦所在直线的方程： 垂直平分线的方程：
在双曲线22
221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0
202y a x b ；
在抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0
p
y .
提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0∆>!
11．了解下列结论
（1）双曲线12222
=-b
y a x 的渐近线方程为0=±b y a x ；
（2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线12222=-b y a x 共渐近线)的双曲线方程为λλ(2222
=-b
y a x 为参数,λ≠0）.
（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为221mx ny +=;
（4)椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为2
2b a
，焦准距(焦点到相应准线
的距离）为2
b c
，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ;
（5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦）中最短的弦;
（6）若抛物线22(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++；②
2
21212,4
p x x y y p ==-
（7）若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦,则直线AB 恒经过定点(2,0)p
12。

圆锥曲线中线段的最值问题：
例1、（1）抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A （3，42）与到准线的距离和最小，则点 P 的坐标为______________
（2）抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B （4,1)为 .
分析：（1）A 在抛物线外,如图,连PF ，则PF PH =A 、P 、F 三点共线时,距离和最小.
（2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、时，距离和最小。

解:（1）（2，2）（2）（1,4
1
）
练习题
1、已知椭圆C 1的方程为14
22
=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2
的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点。

（1) 求双曲线C 2的方程；
(2) 若直线l ：2+=kx y 与椭圆C 1及双曲线C 2恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅OB OA (其中O 为原点)，求k 的取值范围。

解：（Ⅰ）设双曲线
C 2的方程为122
22=-b
y a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由 故C 2的方程为2
2 1.3
x y -=
（II ）将.0428)41(14
22222
=+++=++=kx x k y x kx y 得代入
由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得
,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k 即 21
.4
k > ①
0926)31(13
22222
=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交
点A ，B
得2
22
222
2130,1 1.3()36(13)36(1)0.
k k k k k ⎧-≠⎪≠<⎨∆=-+-=->⎪⎩即且
22
9
(,),(,),,131366,(A A B B A B A B
A B A B A B A B A B A B A x y B x y x x x x k k OA OB x x y y x x y y x x kx kx -+=⋅=--⋅<+<+=++设则由得而
2222
22(1)()2
9(1)2131337
.31
A B A B k x x x x k k k
k k =++++-=+⋅
+⋅+--+=- 2222
3715136,0.3131
k k k k +-<>--于是即解此不等式得22
131.153k k ><或 ③ 由①、②、③得.115
13
3141
22<<<<k k 或 故k
的取值范围为311313(1,(,)(,)(,1)322315
---
2、在平面直角坐标系xOy 中,已知点A(0，-1),B 点在直线y = —3上，M 点满足MB//OA ，
MA•AB = MB•BA，M 点的轨迹为曲线C 。

（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值.
解：（Ⅰ)设M(x ，y ），由已知得B （x,-3）,A(0,—1）。

所以MA =（—x,-1-y ）， MB =(0，-3-y ）,
AB =（x,—2)。

再由愿意得知（MA +MB ）• AB =0,即（-x ，—4—2y ）• (x ，-2）=0。

所以曲线C 的方程式为y=14x 2-2. （Ⅱ)设P(x 0，y 0）为曲线C ：y=14x 2—2上一点,因为y '=12
x ，所以l 的斜率为12x 0因此直线l 的方程为0001()2
y y x x x -=-，即
200220x x y y x -+-=。

则O 点到l 的距离2
d =
又200
124y x =-,所以2
01412,2x d +==≥
当20x =0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.
3、设双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等
于
4、过椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点，若
1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为：
5、已知双曲线)0(1222
2>=-b b
y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点
),3(0y P 在双曲线上。

则1PF ·2PF ＝
6、已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若
||2||FA FB =，则k =
7、已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-,抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是
8、设已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点为F （1，0），直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。

若AB 的中点为(2,2),则直线l 的方程为_____________.
9、椭圆22
192
x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF = ；12F PF ∠的大
小为 .
10、过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =________________ 【解析】设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0'0|2x x y x ==.由题意有
00
2y x x =又2001y x =+解得:
201,2,b x e a =∴===
双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21b y x a y x ⎧
=⎪⎨⎪=+⎩,消去y,得2
10b x x a -+=有唯一解,所
以△=2()40b a -=,所以2b
a =,2221()5
c a b b e a a a +===+=
由渐近线方程为x y =知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是222=-y x ，于是两焦点坐标分别是（－2,0)和（2，0)，且)1,3(P 或)1,3(-P 。

不妨
去)1,3(P ，则
)1,32(1---=PF ，)1,32(2--=PF .
∴
1
PF ·
2
PF ＝
,32)(1,32(-
----【解析】设抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =-直线
分 别作
()()20y k x k =+>恒过定点P ()2,0- 。

如图过A B
、AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N , 由||2||FA FB =,则
||2||AM BN =,
点B 为AP 的中点.连结OB ,则1
||||2
OB AF =, ||||OB BF ∴= 点B 的横坐标为1, 故点B 的坐标为
22022
(1,22)1(2)3
k -∴=
=
--， 故选D ()()()211
1122122
22
22
1212121212
4,,,,4441y x A x y B x y x x y x y y y y x x x x y y ⎧=⎪≠⎨=⎪⎩--=-∴==-+∴则有，两式相减得，，直线l 的方程为y-2=x-2,即y=x
课后作业：
1。

若动点（x ，y ）在曲线1422
2=+b y x (b 〉0）上变化，则x 2+2y 的最大值为(A ）
（A ） ⎪⎩⎪
⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b b
b b ； (B)
⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)
20(44
2
b b
b b ； （C ） 442+b ；（D ） 2b ；
2. 函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝（ B ） （A)
18 (B)41 (C) 2
1
（D)1 3. 设双曲线以椭圆19
252
2=+
y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为 （ C )
A ．2±
B ．3
4±
C ．2
1±
D ．4
3±
4．从集合{1,2，3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程122
22=+n
y m x 中的m 和n,则能组成落在矩
形区域B=｛(x ,y ）| |x ｜〈11且|y ｜〈9}内的椭圆个数为（B )
A ．43
B ． 72
C ． 86
D ． 90
5。

过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，
则这样的直线( B ）
A ．有且仅有一条
B ．有且仅有两条
C ．有无穷多条
D ．不存在
6. 设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2
2
14
y x +=的交点为A 、B 、,点P 为
椭圆上的动点,则使PAB ∆的面积为1
2
的点P 的个数为（ B ） （A ）1 (B ）2 （C ）3 (D)4
7 。

已知双曲线)0( 1222>=-a y a
x 的一条准线为23
=x ,则该双曲线的离心率为（A ）
(A ）
2
3 （B ）2
3
（C ）
2
6 (D ）
3
3
2 8。

双曲线22
149
x y -=的渐近线方程是( C ）
(A) 23y x =± （B) 49y x =± （C ） 32y x =± (D ） 94
y x =±
9。

已知双曲线22
163
x y -=的焦点为1F 、2F ,点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M
的距离为
(C ）
（A)
(B)
（C ） 65
(D) 56
10. 抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为(D ）
（A ） 2
(B) 3
(C ） 4
（D ） 5
11. 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰
直角三角形，则椭圆的离心率是（D ）
（
(B (C)2 （D 1
12.已知双曲线的中心在原点，离心率为3。

若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则
该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是 ( B ）
A ．23+6
B ．21
C ．21218+
D ．21
13。

抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( B) ( A )
1617 （ B ） 16
15 ( C ） 87
( D ） 0 14.点P （-3，1）在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5）的光线，经
直线y =—2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为(A ） （ A )
33 ( B ） 31 （ C ) 2
2
（ D ） 21
15.已知双曲线22a x －22
b
y ＝1（a ＞0,b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF
的面积为2
2
a （O 为原点）,则两条渐近线的夹角为
（D )
A ．30º
B ．45º
C ．60º
D ．90º
16. 已知双曲线22a x －22
b
y ＝1（a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A,△OAF
的面积为2
2
a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为 （ D ）
A ．30º
B ．45º
C ．60º
D ．90º
17。

双曲线)0(12
2≠=-
mn n
y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为:。