七年级数学一元一次方程复习华东师大版知识精讲.doc

七年级数学一元一次方程复习华东师大版
【本讲教育信息】
一、本周主要内容
一元一次方程复习
二、知识重点
1.知识点纲要
⑴一元一次方程和它的解等观点，方程的基本变形，会查验一个数值是不是某个一元一次
方程的解；
⑵会解一元一次方程，领会转变的思想，能正确灵巧应用解一元一次方程的一般步骤；
⑶能以一元一次方程为工具解决简单的实质问题.
2.重点难点
⑴重点：方程的有关观点；解一元一次方程，运用方程解决实质问题.
⑵难点：列一元一次方程解决实质问题.
三、考点剖析
1.判断一个方程是不是一元一次方程要抓住三点：⑴方程是整式方程；⑵化简后方程中
只含有一个未知数；⑶经整理后方程中未知数的次数是 1.
2.方程的基本变形：①方程两边都加上或减去同一个数或整
式，方程的解不变；
②方程两边都乘以或除以同一个不等于零的数，方程的解不变.
3.解一元一次方程有五个基本步骤，在实质解方程的过程中，五个步骤不必定完整用上，
或有些步骤还需要重复使用. 所以，解方程时，要依据方程的特色，灵巧选择方法. 在解方程时还要注意以下几点：⑴去分母时，方程两边都乘以各个分母的最小公倍数，不可以漏乘没有分母的项；⑵去分母后，假如分子部分是多项式，必定要加括号；⑶去分母与分母化整是
两个观点，不可以混杂；⑷解方程是同解变形，每一步都是一个方程，不可以像计算或化简题那
样写能连等的形式.
4. ⑴列一元一次方程解决实质问题的一般步骤是：①审题，特别注意重点的字和词的意义，弄清
有关数目关系，②设出未知数（注意单位），③依据相等关系列出方程，④解这个方程，
⑤查验并写出答案（包含单位名称）.
⑵一些固定模型中的等量关系：
①数字问题：abc 表示一个三位数，则有abc 100a 10b c
②行程问题：甲乙同时相向行走相遇时：甲走的行程+乙走的行程 =总行程
甲走的时间 =乙走的时间；
甲乙同时同向行走追实时：甲走的行程－乙走的行程=甲乙之间的距离
③工程问题：各部分工作量之和= 总工作量；
④积蓄问题：本息和=本金 +利息
⑤商品销售问题：商品收益=商品售价－商品成本价=商品收益率×商品成本价或商品售
价=商品成本价×（ 1+收益率）
思想方法（本单元常用到的数学思想方法小结）
⑴建模思想：经过对实质问题中的数目关系的剖析，抽象成数学模型，成立一元一次方
程的思想 .
⑵方程思想：用方程解决实质问题的思想就是方程思想.
专心爱心专心
⑶化归思想：解一元一次方程的过程，实质上就是利用去分母、去括号、移项、归并同
类项、未知数的系数化为 1 等各样同解变形，不停地用新的更简单的方程来取代本来的方程，
最后逐渐把方程转变为 x=a 的形式 . 表现了化“未知”为“已知”的化归思想 .
⑷数形联合思想：在列方程解决问题时，借助于线段表示图和图表等来剖析数目关系，
使问题中的数目关系很直观地展现出来，表现了数形联合的优胜性.
⑸分类思想：在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中常常需要分类议论，
在解有关方案设计的实质问题的过程中常常也要注意分类思想在过程中的运用.
【典型例题】
例 1. 已知方程 2x m－3 +3x=5 是一元一次方程，则m= .
分析：由一元一次方程的定义可知m－ 3=1 ，解得 m=4.或 m－ 3=0，解得 m=3 所以 m=4 或 m=3
警告：好多同学做到这种题型时就想到指数是1，进而写成 m=1，这里必定要注意x 的指数是（ m－ 3）.
例 2. 已知x 2 是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解，求a的值.
分析：∵ x= － 2 是方程 ax2－（ 2a－ 3） x+5=0 的解
∴将 x= －2 代入方程，
得 a·（－ 2）2－（ 2a－ 3）·（－ 2） +5=0
化简，得4a+4a－ 6+5=0
∴a=
1
8
点拨：要想解决这道题目，应当从方程的解的定义下手，方程的解就是使方程左右两边
值相等的未知数的值，这样把x=－ 2 代入方程，而后再解对于 a 的一元一次方程就能够了.
例 3. 解方程 2（x+1 ）－ 3（ 4x－ 3） =9（ 1－ x） .
分析：去括号，得2x+2 － 12x+9=9 － 9x，
移项，得2+9－ 9=12x － 2x－ 9x.
归并同类项，得2=x，即 x=2.
点拨：本题的一般解法是去括号后将全部的未知项移到方程的左侧，已知项移到方程的右侧，其实，我们在去括号后发现全部的未知项移到方程的左侧归并同类项后系数不为正，
为了减少计算的难度，我们能够依据等式的对称性，把全部的未知项移到右侧去，已知项移到方程的左侧，最后再写成x=a 的形式 .
例4.解方程1
1 1
x 1
3 5 7 1 .
8 6 4 2
分析：方程两边乘以8，再移项归并同类项，得 1 1 x 1 3 5 1
6 4 2
相同，方程两边乘以6，再移项归并同类项，得1 x 1
1 4
3
2
方程两边乘以4，再移项归并同类项，得x 1
1 2
方程两边乘以2，再移项归并同类项，得x=3.
专心爱心专心
说明：解方程时，碰到多重括号，一般的方法是从里往外或从外往里运用乘法的分派律
逐层去特号，而本题最简捷的方法却不是这样，是经过方程两边分别乘以一个数，达到去分母和去括号的目的。

例 5. 解方程4x
1.5 5x 0.8 1.2 x .
0.5 0.2 0.1
分析：方程能够化为(4 x 1.5) 2 (5 x 0.8) 5 (1.2 x) 10 0.5 2 0.2 5 0.1 10
整理，得 2(4 x 1.5) 5(5x 0.8) 10(1.2 x)
去括号移项归并同类项，得－ 7x=11 ，所以 x= 11 .
7
说明：一见到此方程，很多同学立刻想到老师介绍的方法，那就是把分母化成整数，即各分数分子分母都乘以10，再想法去分母，其实，认真察看这个方程，我们能够将分母化
成整数与去分母两步一步到位，第一个分数分子分母都乘以2，第二个分数分子分母都乘以5，第三个分数分子分母都乘以10.
例 6. 解方程x x x x
1.
6 12 20 30
分析：原方程可化为
x x x x
1.
2 3 3 4 4 5 5 6
方程即为x x x x x x x x
1.
2 3 3 4 4 5 5 6
所以有x x
1.
2 6
再来解之，就能很快获得答案：x=3.
知识链接：本题假如直接去分母，或许通分，数字较大，运算烦杂，发现分母6=2×3，12=3 ×4， 20=4 ×5， 30=5 ×6，联系到我们小学曾做过这样的分式化简题，故采纳拆项法解之
比较简易 .
例 7. 参加某保险企业的医疗保险，住院治疗的病人可享受分段报销，?保险企业制度的报
销细则以下表，某人今年住院治疗后获得保险企业报销的金额是1260 元，那么这人的实质
医疗费是（）
住院医疗费（元）报销率（%）
不超出 500 的部分0
超出 500～ 1000 的部分60
超出 1000～ 3000 的部分80
A. 2600 元
B. 2200 元
C. 2575 元
D. 2525 元
分析：设这人的实质医疗费为x 元，依据题意列方程，得
500 ×0+500 ×60%+（x－ 500－500）×80%=1260.
解之，得 x=2200 ，即这人的实质医疗费是2200 元 . 应选 B.
点拨：解答本题第一要弄清题意，读懂图表，从中应理解医疗费是分段计算累加乞降而
得的 . 因为 500×60%＜ 1260＜ 2000×80%，所以可知判断这人的医疗花费应按第一档至第
三档累加计算 .
专心爱心专心
例 8. 我市某县城为鼓舞居民节俭用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每个月
用水不超出 7 立方米，则按每立方米 1 元收费；若每个月用水超出 7 立方米，则超出部分按每
立方米 2 元收费 . 假如某户居民今年 5 月缴纳了17 元水费，那么这户居民今年 5 月的用水
量为 __________立方米 .
分析：因为 1×7＜ 17，所以该户居民今年 5 月的用水量超标.
设这户居民 5 月的用水量为x 立方米，可得方程：7×1+2 （x－ 7） =17，
解得 x=12.
所以，这户居民 5 月的用水量为12 立方米 .
例 9. 足球比赛的记分规则为：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，输一场得0 分，一支足球
队在某个赛季中共需比赛14 场，现已比赛了8 场，输了 1 场，得 17 分，请问：
⑴前 8 场比赛中，这支球队共胜了多少场？
⑵这支球队打满14 场比赛，最高能得多少分？
⑶经过对照赛状况的剖析，这支球队打满14 场比赛，得分不低于29 分，就能够达到预
期的目标，请你剖析一下，在后边的 6 场比赛中，这支球队起码要胜几场，才能达到预期目
标？
分析：⑴设这个球队胜了x 场，则平了（8－ 1－ x）场，依据题意，得
3x+（ 8－ 1－ x）=17. 解得 x=5.
所以，前 8 场比赛中，这个球队共胜了 5 场 .
⑵打满 14 场比赛最高能得17+ （ 14－ 8）×3=35 分 .
⑶由题意知，此后的 6 场比赛中，只需得分不低于12 分即可 .
∴胜许多于 4 场，必定能达到预期目标. 而胜了 3 场，平 3 场，正好达到预期目标. 所
以在此后的比赛中，这个球队起码要胜 3 场 .
例 10. 国家为了鼓舞青少年景才，特别是贫穷家庭的孩子能上得起大学，设置了教育积蓄，其优
惠在于，当前暂不征收利息税 . 为了准备小雷 5 年后上大学的学费 6000 元，他的父亲母亲
此刻就参加了教育积蓄，小雷和他父亲母亲议论了以下两种方案：
⑴先存一个 2 年期， 2 年后将本息和再转存一个 3 年期；
⑵直接存入一个5年期.
你以为以上两种方案，哪一种开始存入的本金较少?
[教育积蓄（整存整取）年利率一年： 2. 25% ；二年： 2. 27%；三年： 3. 24%；五年： 3.
60%. ]
分析：认识积蓄的有关知识，掌握利息的计算方法，是解决这种问题的重点，对于本题，
我们能够设小雷父亲母亲开始存入x 元 . 而后分别计算两种方案哪一种开始存入的本金较少.
⑴2 年后，本息和为 x（ 1+2. 70%×2）=1. 054x ；
再存 3 年后，本息和要达到6000 元，则 1. 054x（ 1+3. 24%×3） =6000.
解得x≈5188.
⑵按第二种方案，可得方程x（ 1+3. 60%×5） =6000.
解得x≈5085.
所以，按他们议论的第二种方案，开始存入的本金比较少.
例 11. 扬子江药业企业生产的某种药品包装盒的侧面睁开图以下图. 假如长方体盒子
的长比宽多 4 cm，求这种药品包装盒的体积.
专心爱心专心
剖析：从睁开图上的数据能够看出，睁开图中两高与两宽和为14cm，所以一个宽与一
个高的和为7cm，假如设这种药品包装盒的宽为xcm，则高为（ 7－ x） cm，因为长比宽多
4cm，所以长为（ x+4 ）cm，依据睁开图可知一个长与两个高的和为13cm，由此可列出方程.
解：设这种药品包装盒的宽为xcm，则高为（ 7－ x） cm，长为（ x+4 ） cm.
依据题意，得（x+4） +2（7－ x） =13，
解得x=5，所以 7－ x=2 ，x+4=9.
故长为 9cm，宽为 5cm，高为 2cm.
所以这种药品包装盒的体积为：9×5×2=90（ cm3） .
例 12. 某石油入口国这个月的石油入口量比上个月减少了5%，因为国际油价上升，这个
月入口石油的花费反而比上个月增添了14%. 求这个月的石油价钱相对上个月的增添率.
解：设这个月的石油价钱相对上个月的增添率为x. 依据题意得
（ 1＋ x）（ 1－ 5%） =1 ＋ 14%
解得 x=20%
答：这个月的石油价钱相对上个月的增添率为20%.
评论：本题是一道增添率的应用题. 本月的入口石油的花费等于上个月的花费加上增添
的花费，也就是本月的石油入口量乘以本月的价钱. 设出未知数，分别表示出每一个数目，
列出方程进行求解 . 列方程解应用题的重点是找平等量关系，然用代数式表示出此中的量，
列方程解答 .
例 13. 某市参加省初中数学比赛的选手均匀分数为78 分，此中参赛的男选手比女选手多50%，而女选手的均匀分比男选手的均匀分数高10%，那么女选手的均匀分数为
____________.
分析：总均匀分数和参赛选手的人数及其得分有关. 所以，一定增设男选手或女选手的
人数为协助未知数. 不如设男选手的均匀分数为x 分，女选手的人数为 a 人，那么女选手的
均匀分数为 1. 1x 分，男选手的人数为 1. 5a 人，进而可列出方程得 x=75 ，所以 1. 1x=82. 5. 即女选手的均匀分数为82. 5 分 . 1.5a x 1.1x a
1.5a a 78
，解
五、本讲数学思想方法的学习
1. 解一元一次方程时，要明确每一步过程都作什么变形，应当注意什么问题.
2.找寻实质问题的数目关系时，要擅长借助直观剖析法，如表格法，直线剖析法和图示剖析法等 .
3.列方程解应用题的查验包含两个方面：⑴查验求得的结果是不是方程的解；⑵是要判断方程的解能否切合题目中的实质意义.
【模拟试题】（答题时间： 90 分钟）
一、选择题：
专心爱心专心
1. 以下方程的变形，正确的个数有
（
）个
⑴由 3+x=5，得 x=5+3 ； ⑵由 7x= － 4，得
x= 7 ；
⑶由 1
4
y 0 ，得 y=2；
⑷由 3=x － 2，得 x= －2－ 3； 2
A 、 1
B 、2
C 、 3
D 、 0
2. 当 x=2 时，代数式 ax － 2 的值是 4，那么当 x=－ 2 时，代数式的值是（
）
A 、－ 4
B 、－ 8
C 、 8
D 、 2
*3. 几个同学在日历纵列上圈出了三个数，算出它们的和，此中错误的一个是（
）
A 、28
B 、 33
C 、 45
D 、 57
4. 以下各方程中，是一元一次方程的是（
）
A 、 3x+2y=5
B 、 y 2
－ 6y+5=0
C 、 1
x 3
1 D 、 3x － 2=4x － 7
1
(m y)
3
x
5. 已知 y=1 是方程 2－
2y 的解，则对于 x 的方程 m （x+4 ） =m （ 2x+4）的
3
解是（
）
A 、 x=1
B 、 x=－ 1
C 、 x=0
D 、方程无解
*6. 某种商品的进价为 1200 元，标价为 1750 元，后出处于该商品积压，商铺准备打折出 售，但要保持收益不低于
5 ﹪，则至多可打（
）
A 、6 折
B 、7 折
C 、8 折
D 、9 折
7. 某市为解决药品价钱过高的问题，决定大幅度降低药品的价钱，此中将原价 a 元的某
种常用药降价 40﹪，则降价后此药的价钱为（
）
A 、 a
元
B 、 a
元
C 、 60﹪ a 元
D 、 40﹪a 元
0.4
0.6
8. 以下说法中，正确的选项是（
）
A 、代数式是方程
B 、方程是代数式
C 、等式是方程
D 、方程是等式
9. 与方程 3 x 5
3 的解相同的方程是（
）
2
A 、 3x 16
B 、 3x 13
C 、 3x 8
D 、 3x 4
10. 一个数的
1
与 2 的差等于这个数的一半．这个数是（
）
3
A 、12
B 、–12
C 、 18
D 、–18
*11. 母亲 26 岁成婚，第二年生了儿子，若干年后，母亲的年纪是儿子的 3 倍 . 此时母亲
的年纪为（ ）
A 、39 岁
B 、42 岁
C 、45 岁
D 、48 岁
*12. A 、 B 两地相距 240 千米，火车按本来的速度行驶需要 4 小时抵达目的地，火车加速
后，速度比本来加速
30％，那么加速后只需要（
）即可抵达目的地。

3
小时
1
C 、 4
3
1
A 、 3
B 、 3
小时
小时 D 、 4
小时
10
13
10
13
二、填空题
13. 假如 x=4 是方程 ax=a+4 的解，那么 a 的值为 ______.
14. 当 x=时，代数式 4x － 5 的值等于 7. 15. 已知甲数比乙数的 2 倍大 1，假如设甲数为
x ，那么乙数可表示为 _____；假如设乙数
为 y ，那么甲数可表示为
_________.
专心 爱心 专心
16. 初一（ 3）班男女生人数的比为5： 4，假如男生人数为 a 人，那么女生人数是____ 人，全班共有学生人 .
17. 欢欢的诞辰在8 月份．在今年的8 月份日历上，欢欢诞辰那一天的上、下、左、右 4 个日期的和为76，那么欢欢的诞辰是该月的号.
18. 某工厂估计今年比昨年增产15﹪，达到年产量60 万吨，设昨年的年产量为x 万吨，则可列方程；
19. 甲、乙两辆汽车从相隔400 米的两站同时同向出发，经过 2 小时后，甲车追上乙车，
若甲车的速度是 a 千米 /时，则乙车的速度是；
20.从甲地到乙地，公共汽车原需行驶7 小时，开通高速公路后，车速均匀每小时增添了
20 千米，只需 5 小时即可抵达。

甲乙两地的行程是；
三、解答题
21.解以下方程
（ 1）5( x 8) 6(2x 7) 5
x 2 2x 3 （ 2） 1
1 x 4 6
22. x
为什么值时，代数
式的值等于？
x 3
3
23.一家商铺将某型号彩电先按原售价提升40﹪，而后在广告中写上“大酬宾，八折优惠” .经顾客投诉后，执法部门按已得非法收入的 10 倍处以每台 2700 元的罚款 . 求每台彩电的原价钱 .
24.小明的爸爸三年前为小明存了一份3000 元的教育积蓄 . 今年到期时拿出，得本利和
为 3243 元 . 请你帮小明算一算这种积蓄的年利率.
*25.在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同检查了顶峰时段北京的二环路、
三环路、四环路的车流量（每小时经过观察点的汽车车辆数），三位同学报告顶峰时段的车流量状况以下：
甲同学说：“二环路车流量为每小时10 000 辆”.
乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000 辆”.
丙同学说：“三环路车流量的 3 倍与四环路车流量的差是二环路车流量的 2 倍”.
请你依据他们所供给的信息，求出顶峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？
26.下边是某商场电脑产品的进货单，此中进价一栏被墨迹污染，读了进货单后，请你求
出这台电脑的进价是多少元？
友情商场进货单
供货单位乙单位
品名与规格P4 200
商品代码DN － 63D7
商品归属电脑专柜
进价（商品的进货价钱）※※元
标价（商品的预售价钱）5850 元
专心爱心专心
折扣8 折
收益（实质销售后的收益）210 元
保修终生，三年内免收任何
售后服务花费，三年后收取资料费，五日快修，周起色备用，免费投诉、回访 .
【试题答案】
1. D. [ 提示：选项⑴移项未变号；⑵系数化
1 后，右侧的分母应为 7；⑶应是 y=0]
2. B. [ 提示：将 x=2 代入 ax － 2=4 得 a=3，再将其与 x= － 2 代入得代数式的值为－ 8]
3. A. [ 提示：日历上纵列上的三个数的和是中间一个数的
3 倍 ]
4. D. [ 提示： A 是二元， B 是二次， C 不是对于未知数的整式 ]
5. C. [ 提示：将 y=1 代入方程得 m 的值，再将 m 代入 m （ x+4） =m （ 2x+4 ）]
6. C. [ 提示：设至多可打
1575 x 1200
x 折，可得方程
5% 解得 x=0. 8]
1200
7. C. [ 提示：列式得 a （ 1－ 40%），即 60%a ，选 C] 8. D. [ 提示：方程是含未知数的等式 ] 9. A. [ 提示：原方程的解是 16 . ]
x=
3
10. B. [ 提示：设这个数为 x. 可得方程
1
x 2 1
x . 解得 x= － 12. ]
3
2
11. A. [ 提示：设 x 年后，母亲的年纪是儿子的 3 倍，可得方程 27+x=3 （1+x ） ]
12. B. [ 提示：设本来速度为 x 千米 /时，则 x=60 千米 /时 ]
13. 4 . [提示：把 x=4 代入方程得对于
a 的一元一次方程 ]
3
14. 3. [ 提示：解对于 x 的一元一次方程 4x － 5=7]
15. x
1
， 2y+1 [ 提示：依据等量关系甲数 =2×乙数 +1 来解本题 ]
2
16. 4 a ， 9
a [ 提示：共 9 份，男生占了 5 份，女生占 4 份 ]
5 5
17. 19 [提示：设欢欢的诞辰为 x 号，可得方程 x －1+x+1+x+7+x － 7=76] 18. （ 1+15% ）x=60 [ 提示：注意是在昨年的基础上增产的 ]
19. （ a － 200） [ 提示：依据速度差 ×追及的时间 =要追及的行程得方程 ]
20. 350 千米 [ 提示：设间接未知数，设原车速为 x 千米 /时，则开通高速公路后，车速为
（x+20 ）千米 /时，列方程得 7x=5（ x+20 ），解得 x=50 ，所以两地行程为 7×50=350（千米） .
21. ⑴去括号，得 5x+40=12x －42+5 移项归并同类项，得 7x=77 系数化 1，得x=11
⑵去分母，得 3（ x+2 ）－ 2（ 2x － 3） =12
去括号，得 3x+6－ 4x+6=12 移项归并同类项，得
x=0
1
x
22. 依据题意，可得方程 x
=3
3
再解这个方程，得
x=5
所以，当 x=5 时，代数式 x
1 x
的值等于 3.
3
23. 设每台彩电的原价钱为 x 元，依据题意，列方程得 [（ 1+40% ） x ·0. 8－ x] ×10=2700
解这个方程，得 x=2250 ，
答：每台彩电的原价为
2250 元 .
24. 设这种积蓄的年利率为 x ，依据题意，列方程 3000+3000x ·3=3243，
解这个方程，得x=0. 027 ，即 x=2. 7%，
答：这种积蓄的年利率为 2. 7%.
25.设三环路的车流量是每小时x 辆，则四环路为（ x+2000 ）辆，依据题意，列方程，得3x －（ x+2000） =2×10000，
解得 x=11000 ，所以 x+2000=13000 ，
答：三环路的车流量为11000 辆，四环路的车流量为13000 辆 .
26.设这台电脑的进价是 x 元，依据题意，列方程得
80%×5850－ x=210
解这个方程，得x=4470，
答：这台电脑的进价为4470 元.。