2020年高考数学(理)必刷滚动检测二(1～3章)(规范卷)

滚动检测二（1〜3章）（规范卷）
考生注意： 1.
本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，共4页.
2•答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相 应位置上.
3. 本次考试时间120分钟，满分150分.
4. 请在密封线内作答，保持试卷清洁完整.
第I 卷（选择题共60分）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）
1. （2019宁夏银川一中月考）已知集合 M = {x|— 3<x w 5} , N = {x|x<— 5或x>5},贝U M U N 等 于（）
A . {x|x< — 5 或 x>— 3}
B . {x|— 5<x<5}
C . {x|— 3<x<5}
D . {x|x< — 3 或 x>5}
答案 A
解析 在数轴上画出集合 M = {x| — 3<x w 5}, N = {x|x<— 5或x>5}，贝U M U N = {x|x<— 5或 x> — 3}. 2.
已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1 = — 10, a 2+ a 3+ a 4+ a 5+ a 6= — 20,则"S n 取 得最小值”的一个充分不必要条件是 （ ）
A . n = 5 或 6
B . n = 5 或 6 或 7
C . n = 6
D . n = 11
答案 C
解析 由已知a 4=— 4,又a 1 = — 10,二d = 2,
•••当n = 5或6时，S n 取得最小值,
故“n = 6”是“S n 取得最小值”的充分不必要条件. 3. 下列函数中，既是偶函数又在
（0,+^ ）上单调递增的是（
）
S n = n 2— 11 n = n —
11 2 121
2 — 4 ,
A 3 r
A . y= x B. y= cos x
C . y = X 2
D - y = In|X|
答案 D
解析 y = x 3是奇函数，其余三个函数都是偶函数，但 y = cos x 在(0,+g )上有增有减，y
1
=x 2在 (0，+ m )上为减函数，只有 y = In |x|既是偶函数，又在(0, + g )上是增函数，故选 D.
=-3X -于 + 1 — 2.
答案 C
1 —
2 解析 依题意，注意到f( — x) = x cos(— x)= X X 、
1 + 2- 2(1 + 2-)
4.已知函数f(x) =
|....'3sin nc, x< 0,
f x - 1 + 1, x>0,
则f 3的值为()
5.函数 f(x)=
亍|x cos x 的图象大致为
2x
1-2-x
2x - 1
cos x = cos x =- f(x),因此 i 2 + 1
D . - 1 答案 解析 1 A ・
2 1
1 = 3si n
答案 C T f(x)= f(— x), •••函数 f(x)是偶函数，•••函数 F(x) = xf(x)是奇函数，•••当 x € (—8,
0］时，F ' (x)<0成立，•函数F(x)在(—^, 0］上单调递减，因此函数
F(x)在R 上单调递减，
T
20.1>1，ln 2 € (0,1), log 211
<0, a = 2°.1 f (2°.1
), b = In 2 f(ln 2) , c = log 211
• log ^8 , • c>b>a ,
故选C.
1 — 7.已知函数f(x)满足对一切x € R , f(x + 2)=—厂都成立，且当x € (1,3］时，f(x) = 2—
x ,则 f x f(2 019)等于( ) A.1
B .8 D.32 4
8
16
32
答案 B 1 1
由已知条件f(x + 2)=——，可得f(x)=—
，故f(x + 2) = f(x — 2)，易得函数f(x) f
(x)
f(x — 2)
是周期为 4 的周期函数，• f(2 019) = f(3 + 504X 4) = f(3), T •当 x € (1,3］时，f(x)= 2—x , • f(3)
1 8,
1 即 f(
2 019) = 8.
x 一 1
&曲线y =一不与其在点(0, — 1)处的切线及直线x = 1所围成的封闭图形的面积为 ( )
I I
x — 1
的斜率k = 2,切线方程为y = 2x — 1，则曲线y =
与其在点(0,— 1)处的切线及直线x = 1
x + 1 所围成的封闭图形的面积
S
= £
2x — 1 -dx
= £
2x —1
一 11 dx
=［x 2 — 2x + 2ln(x + 1)］|0= 2ln 2 — 1.
9. (2018深圳调研)设定义在(0 ,+8 )上的函数f(x)满足xf ' (x)— f(x)= xln x ,吃/=；则 f(x)(
)
A •有极大值，无极小值
解析
解析
A . 1 — ln 2 C . 2ln 2 — 1 答案 C
x — 1
解析因为y = ，所以y '
x + 1
B . 2— 2ln 2 D .In 2
/ 、 x 一 1 2 一 '=-^,则曲线
丿
x — 1
y = 在点(0, — 1)处的切线
x + 1
B •有极小值，无极大值
C.既有极大值，又有极小值
D•既无极大值，也无极小值
答案D
解析因为xf' (x)-f(x) = xln x,所以Xf' X2-fx=吨所以也‘=吨所以“ =l(m x)2 X x , X . x
x 2
+ c,所以f(x)= 2x(in x)2+ cx.因为f1 =2e ln e / + c x*=1所以c=1,所以f' (x) = 1(ln x)2 + In x+ 1 = 1(ln x + 1)2》0，所以f(x)在(0, + m)上单调递增，所以f(x)在(0, + m)上既无极大值也无极小值，故选D.
X 1
10. (2018湖南六校联考)已知函数f(x) = |x|+ 2 —2(x<0)与g(x) = |x|+ Iog2(x+ a)的图象上存在
关于y轴对称的点，贝U a的取值范围是()
A. (— g,习'2)
B. ( — m,—2)
C. (-m, 2 .2)
D. —2 2,于
答案A
解析设f(x)关于y轴对称的函数为h(x) = f(—x)= x+ 2-X—^(x>0)，则由题意可得方程h(x)
1
=g(x)(x€ (0, + m))有解，即方程2—X—2 = Iog2(x+ a)(x€ (0，+m))有解，作出函数y = 2 —x 1
—2 y= Iog2(x+ a)的图象如图，
当a< 0时，两个图象在(0, + m)上必有交点，符合题意；当a>0时，若两个图象在(0, +
m)上有交点，则log z av? 0<a< . 2，综上可得a< 2，故选A.
11. 已知函数f(x)= In x+ (a —2)x—2a+ 4(a>0)，若有且只有两个整数X1, X2使得f(X1)>0，且f(x2)>0，则实数a的取值范围为()
A . (In 3,2) C . (0,2 — In 3) 答案 B
1
解析 f ' (x)= -+ a — 2,
X
当 a — 2 > 0 时，f ' (x)>0，贝U f(x)在(0 ,+s )上单调递增，且 f(2) = In 2>0，所以 f(x)>0 有无
数整数解，不符合题意；
f(1) = 2— a>0, f(2) = In 2>0 , f(3)= In 3 + a — 2, 根据题意有f(3) = In 3 + a — 2< 0即可， 解得 a w 2— In 3 , 综上可知，0<a w 2 — In 3. 12.
设定义在(0, +s )上的单调函数f(x),对任意的x € (0,
)都有f(f(x)— Iog 2x) = 3•若方
程f(x) + f ' (x) = a 有两个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是(
)
A . (1 ,+^ )
B. 2 + 爲，+^
D . (3 ,+^
答案 B
解析 由于函数f(x)是单调函数，因此不妨设
f(x)— Iog 2x = t ,贝y f(t) = 3，再令x = t ，贝y
f(t)
1
—log 2t = t ,得 Iog 2t = 3— t ,解得 t = 2，故 f(x) = Iog 2x + 2, f ' (x)=加？，构造函数 g(x)= f(x) 1
+ f ' (x)— a = Iog 2x + xn2 — a + 2,•方程 f(x) + f ' (x) = a 有两个不同的实数根， 二 g(x)有两 个不同的零点.g
' (x)=而—
忌
x — 1
—In 2 I X 2 丿
B . (0,2 — In 3] D . [2 — In 3,2)
1
当 a — 2<0，即卩 0<a<2 时，令 f ' (x) = 0,得 x =——,
2— a
则f(x)在
当x€ (0,1)时，g ' (x)<0 ;当x€ (1 ,+s)时，g' (x)>0 , /• g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,
11 1
•-
g(x)min = g(1) =
&-a +
1 2 3
，由应-a +2<°，得a >2 + &，故实数a
的取值范围是
答案(—3,1) U (2 + 3
,+
^° )
解析 易知函数f(x)在(—R, 3］上是减函数，在(3 ,+^)上是增函数，注意到 3 — Z 3,所 以分类讨论如下： 2x < 3, (1)$
解得—3<x<1 ;
3 — x 2
>2x ,
1
2+
ln2，
第n 卷(非选择题共90分)
、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分•把答案填在题中横线上 )
13. 已知 p ： ? x € 4 2，2x<m(x 2+ 1), q ：函数 f(x) = 4x + 2x +
1 + m — 1 存在零点，若"p 且q ”为真命题，则实数 m 的取值范围是 __________
答案4
, 1
2 2x 2x —1
2x<m(x 2+ 1)，故 m>~2—，令 g(x)= —，贝U g(x)在 -, x + 1 x + 1 -4
单调递增，故g(x )w g 1
= 5，故p 为真时，m>4
q ：函数 f(x) = 4x + 2x +
1+ m — 1 = (2x + 1)2+ m — 2, 令 f(x)= 0，得 2x = ,'2 — m — 1,
若f(x)存在零点，则-2 — m — 1>0 ,解得m<1 ,
故q 为真时，m<1 ;若“p 且q ”为真命题，则实数 m 的取值范围是5，1 .
2 — x , x < 0,
2
14 .已知函数f(x)=仁
则关于x 的不等式f(3 — x 2)<f(2x)的解集为
区2— 6x + 2, x>0,
2x>3，
⑶ 3-x 2< 0,
解得 x>2 + .3.
2- 3-x 2 < 2x 2-6 -2x + 2, 综上可知，x € (-3,1) U (2 + 3
,+ °°) •
15. 给出下列命题：
① 若y = f(x)是奇函数，则y =|f(x)|的图象关于y 轴对称；
② 若函数f(x)对任意x € R 都有f(x)f (x + 4) = 1,贝U 8是函数f(x)的一个周期； ③ 若 log m 3<log n 3<0，贝U 0<m<n<1 ;
④ 若f(x)= e |x -
引在［1 ,+s )上是增函数，则a W 1.
其中正确命题的序号是 __________ . 答案①②④
2x>3,
⑵3— x 2>0,
无解;
2 2 2 f
3 — x = f 3 + x <f 2x ? 3 + x <2x ,
解析
一1 已知 p : ? x €
解析对于①，若y= f(x)是奇函数，则其定义域关于原点对称，易知y= |f(x)|的图象关于y
1 1
轴对称，①正确；对于②，f(x+ 8)= —— =-—=f(x)，所以8是函数f(x)的一个周期，②
f(x + 4)右
f(x)
正确；对于③，根据对数函数的性质，可知0<n<m<1，所以③错误；对于④，若f(x) = e|x-
引在［1，+^)上是增函数，则y=|x—a|在［1，+^)上也是增函数，所以a W 1，④正确.
16. 已知曲线y= e x+ a与y= x2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围是_________ .
答案(一a，2ln 2 —2)
y= kx+ b，2
解析设直线y = kx+ b(k>0)为两条曲线的公切线，联立得x —kx- b = 0，则
.y= x2，
2
△= k + 4b= 0，①
y= e x+a求导可得y' = e x+a，令e x+ a= k，可得x= ln k-a，所以切点坐标为(In k-a，kln k- ak
+ b)，代入y = e x+a，可得k= kin k- ak+ b，②
2
联立①②，可得k + 4k+ 4ak-4kln k= 0，化简得4+ 4a = 4ln k- k.令g(k) = 4ln k- k,则g' (k) 4
=〔一1•令g' (k)= 0,得k= 4；令g' (k)>0，得0<k<4 ；令g' (k)<0，得k>4.所以g(k)在区
间(0,4)内单调递增，在区间(4, + a)内单调递减，所以g(k)max= g(4) = 4ln 4 - 4•因为有两条
公切线，所以关于k的方程4 + 4a= 4ln k- k有两个不同的解，所以 4 + 4a<4ln 4- 4,所以a<2l n 2 —2.
三、解答题(本题共6小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
2 2
17.(10分)已知集合A是函数y= lg(20+ 8x-x )的定义域，集合B是不等式x - 2x+ 1 的解集，p：x€ A, q: x€ B.
(1) 若A n B = ?，求a的取值范围；
(2) 若綈p是q的充分不必要条件，求a的取值范围.
解⑴由题意得 A = {x|- 2<x<10}, B = {x|x> 1 + a 或x< 1 - a}.
)
2
a > 0(a>0)
「+ a> 10,
若A n B= ?，则必须满足]1-a w—2, 解得a> 9,
la>0.
所以a的取值范围为［9,+s).
(2)由题意得綈p是q的充分不必要条件,
r10> 1 + a,
所以｛x|x> 10 或x< - 2｝是｛x|x> 1 + a 或x< 1 - a｝的真子集，则一2 w 1 —a,
la>0.
其中两个等号不能同时成立，解得0<a w 3,所以a的取值范围为(0,3］.
18. (12分)已知函数f(x) =—x2+ 2x, x>0,
ax2+ bx, x<0,
为奇函数.
(1)求a-b的值;
⑵若函数f(x)在区间［—1, m —2］上单调递增，求实数m的取值范围. 解(1)令x<0,则—x>0.
由题意，得f(x) = —f( —x) = —(—x —2x) = x + 2x,
所以a= 1, b = 2，所以a —b =—1.
—x2+ 2x, x>0,
⑵由(1)得f(x) =1 2
x + 2x, x<0,
所以f(x)在区间[—1,1]上单调递增.
所以[—1, m —2]? [ —1,1],
[m —2> —1,
所以解得1<m w 3,
m—2 w 1,
即实数m 的取值范围为(1,3].
x
19. (12 分)已知函数 f(x)=灵+ ax , x>1.
(1)若f(x)在(1 ,+^ )上单调递减，求实数 a 的取值范围; ⑵若a = 2,求函数f(x)的极小值.
In x — 1
解(1)f ' (x) = -| -------- r + a ，由题意可得f ' (x) w 0在(1 ,+s )上恒成立,
ln x
因为 x € (1,+ a )，所以 In x € (0,+ a ), 1 1
1 所以当 ——-=0时函数t(x)取得最小值为一-,
In x 2
4
1
所以a w —
4
x
(2)当 a = 2 时，f(x) = |n 乂+ 2x
，
2
令 f ' (x)= 0,得 2(In x) + In x — 1 = 0,
1
解得 In x =-或 In x =— 1(舍),即卩 x = e 2 .
1 1 当 1<x<
e 2 时，
f ' (x)<0，当 x>e 2 时，f ' (x)>0,
1
17
11
c 所以f(x)的极小值为f(e 2 )= 1 + 2 e 2 = 4e 2. 2
2
2
e
20. (12分)已知函数f(x)=— x + 2ex + m — 1, g(x)= x +—(x>0)，其中e 是自然对数的底数. x
(1)若关于x 的方程g(x) = m 有根，求实数 m 的取值范围；
⑵试确定m 的取值范围，使得方程
g(x)— f(x) = 0有两个相异的实根.
2 解(1)因为 g(x)= x + e
> 2 e 2
= 2e ,
x 等号成立的条件是 x = e ,
f ' (x) =
In x — 1 + 2 In x
所以g(x)的值域是［2e ,+s ).
因而只需要m 》2e ,关于x 的方程g(x)= m 就有根. 所以m 的取值范围为［2e ,+a ).
⑵若方程g(x) -f(x)= 0有两个相异的实根，
则g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出 g(x)与f(x)的大致图象如图.
所以函数f(x)的图象的对称轴为直线 x = e ,开口向下，最大值为 m - 1 + e 2. 故当m — 1+ e 2>2e ，即m>— e 2 + 2e + 1时，g(x) — f(x)= 0有两个相异的实根. 所以m 的取值范围是(一e 2 + 2e + 1,+ a ). 21. (12分)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本 25万元，此外每生产1件这样的产
品，还需增加投入 0.5万元，经市场调查知这种产品年需求量为 500件，产品销售数量为t
(1) 设该公司这种产品的年生产量为 x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量 x
的函数为f(x)，求f(x)；
(2) 当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大. 解 ⑴当 O<x w 500 时，f(x)= 5x —為2— 2— 25; 1 2 x
当 x>500 时，f(x) = 5 X 500—莎X 5002— ^— 25,
「 1 2 9
—丽< +
25, 0<x w 500,
故 f(x) =
I
1
—?X + 1 225, x>500.
1 2
1975 ⑵当 0<x w 500 时，f(x)=—莎(x — 450) +〒. 故当 x = 450 时，f(x)max = 1
y 5
= 987.5;
件时，销售所得的收入为
万元. 因为f(x)=- x 2
1
当 x>500 时，f(x)< -专 X 500 + 1 225= 975,
故当该公司的年产量为 450件时，当年获得的利润最大. 22. (12 分)已知函数 f(x)= a + (bx - 1)e (a , b € R ).
(1)若曲线y = f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y = x ,求a , b 的值； ⑵若a<1, b = 2,关于x 的不等式f(x)<ax 的整数解有且只有一个，求 a 的取值范围.
解(1)函数f(x)的定义域是R ,
f ' (x)= be x + (bx - 1)e x = (bx + b - 1)e x .
•••曲线y = f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y = x ,
a - 1 = 0,
a = 1, i
解得丫
b - 1= 1,
|b = 2.
x
(2) 当 b = 2 时,f(x) = a + (2x - 1)e (a<1),
“关于x 的不等式f(x)<ax 的整数解有且只有一个”等价于“关于x 的不等式a + (2x - 1)e x -ax<0的整数解有且只有一个 ”.
构造函数 F(x) = a + (2x - 1)e x -ax , x € R , 则 F ' (x) = e x (2x + 1)- a.
当 x > 0 时，•/ e x > 1,2x + 1> 1, ••• e x (2x + 1) > 1, 又a<1 , • F ' (x)>0，故F(x)在(0,+s )上单调递增, •/ F(0) = - 1+ a<0, F(1) = e>0,
•••在［0,+^)上存在唯一整数 x g ,使得F(x °)<0, 即 f(X 0)<ax 0.
当x<0时，为满足题意，函数 F(x)在(— a, 0)上不存在整数使得 F(x)<0,
即F(x)在(-a , - 1］上不存在整数使得 F(x)<0.
••• X W - 1, • e x (2x + 1)<0.
f 0
= 0
,
f
' 0
= 1
,
①当0W a<1 时，F ' (x)<0,「. F(x )在(—a,- 1］上单调递减，/. F( - 1) =- 3+ 2a > 0,解得
e
a> _3 _ 2e ‘
3
—w a<1;
2e
3
②当a<0时，F(—1)=- -+ 2a<0,不合题意. e
综上，a的取值范围是2e, 1 .
x
1 —
2
函数f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，故选项A ,
B均不正确；当0<x<1时，x<0, cos
1
+
2
x>0, f(x)<0，结合选项知，C正确.
6. (2018内蒙古包头模拟)已知函数F(x)= xf(x),
f(x)满足f(x)= f(—x),且当x€ (-g, 0］时,
1
厂
1
F' (x)<0 成立，若a= 20.1f(20.1), b = ln 2 f(ln 2) ,
c= Iog2§• Iog2?，则a, b, c 的大小关系是()
A . a>b>c B.
c>a>b。