（完整版）平面向量基本定理及向量的坐标表示专题复习题.doc

（完整版）平⾯向量基本定理及向量的坐标表⽰专题复习题.doc
平⾯向量基本定理及向量的坐标表⽰
1.(⽂ )(2011 重·庆⽂ )已知向量 a (1,k), b (2,2), 且 a
b 与 a 共线，那么 a b 的值为 (
)
A ．1
B ．2
C ． 3
D ． 4
(理 )在 ABC 中,M 为边 BC 上任意⼀点 , N 为 AM 的中点 , AN
AB
AC, 则
(
)
A. 1
B.
1
C.
1
D ． 1
2 3
4
2． (2011 嘉·兴模拟 )已知 a, b 是不共线的向量 , AB a b,, AC
a
b, ,
R, 那么 A 、 B 、 C 三点共
线的等价条件为 (
)
A ．
2 B ．
1
C ．
1 D ． 1
3． (2012 湖·北省孝感模拟 )在四边形 ABCD 中 , AB a 2 b,, BC
4 a b,, CD
5 a 3 b, 其中 a, b 不
共线，则四边形
ABCD 为 (
)
A ．平⾏四边形
B ．矩形
C ．梯形
D ．菱形
4．如图 , ABC 中 ,AD
DB, AE EC,CD 与 BE 交于 F ，设 AB a, AC b, AF x a y b,则 ( x, y) 为 ( )
1 1
2 2
C. 1 1
2 1
A.(,)
B.(,)
( , )
D.(,)
2 2
3 3
3 3
3 2
5．已知向量 a
(2cos ,2sin ), b (0, 2),
( ,
), 则 a, b
(
)
2
A.
3
B ．
D ．θ
2
2
2
6．(⽂ )已知 a, b 是平⾯内两个互相垂直的单位向量
,若向量 c 满⾜ (a
c ) (b c )
0, 则 | c | 的最⼤值是 ( )
2
A ．1
B ．2
C. 2
D. 2
(理 )已知 O 为原点，点 A 、 B 的坐标分别为→ A (a,0) 、B(0，a)，其中常数 a>0 ，点 P 在线段 AB 上，且有 AP ＝→→→ ) tAB(0≤ t ≤ 1)，则 OA ·OP 的最⼤值为 (
A ．a
B ．2a
C ．3a
D ．a 2
7．在平⾏四边形→＝1→→＝ 1→
，CE 与 BF 相交于 G 点．若 AB
a, AD b,
→
＝( )
ABCD 中 ,AE
AB,AF
4 AD
则AG
3
A.
2 1
b
B. 2 3
C. 3 a 1 4 2
b
7 b D. a
b
7
7
7
7
7
7
→→→→→
)
8． (⽂ )(2010 深·圳模拟 )如图，在△ OAB 中， P 为线段 AB 上的⼀点， OP ＝ xOA ＋ yOB ，且 BP ＝ 2PA ，则 ( 2
， y ＝
1
B ．x ＝ 1， y ＝
2
C ． x ＝ 1， y ＝
3
D ．x ＝ 3， y ＝
1
A ．x ＝ 3
3
3 3
4 4
4
4
1 →
→
(理 )已知 A(7,1) ，B(1,4),直线 y ＝
ax 与线段 AB 交于 C,且 AC ＝
2CB,则实数 a 等于 ( )
A ．2
B ．1
C.5
D.3
9．已知直线 x ＋ y ＝ a 与圆 x 2＋ y 2＝ 4 →→→→
交于 A 、 B 两点，且 |OA ＋ OB|＝ |OA － OB|，其中 O 为坐标原点，则实数 a 的值为 (
)
A ．2
B ．－ 2
C ．2 或－ 2 D. 6或－ 6
10．(2010·河南许昌调研)在平⾯直⾓坐标系中，O
为原点，设向量 OA a,OB b, 其中
a (3,1),
b (1,3) ．若 OC ab, 且 0≤ λ≤ µ≤ 1，C 点的所有可能位置区域⽤阴影表⽰正确的是
()
[答案 ] A
[解析 ]
→
OC ＝λa ＋ µb ＝ (3λ＋µ，λ＋ 3µ)，
11． (⽂ )(2010 重·庆诊断 )称 d (a, b) | a b |为两个向量 a, b 间的“距离”．若向量 a, b 满⾜；① | b | 1；
② a b ；③对任意的 t ∈ R ，恒有 d( a, b) ≥ d (a,t b) ，则 (
)
A ． a b
B ． a (a b )
C ． b (a b)
D ． ( a b ) (a b)
( 理 )(2010 ⼭· 东 ) 定义平⾯向量之间的⼀种运算 “ ⊙ ” 如下：对任意的 a ( m,n), b ( p,q) ．令ae b mq np, 下⾯说法错误的是 (
)
A ．若 a 与 b 共线，则 ae b 0
B ． ae b
be a
C ．对任意的λ∈ R ，有 ( a) e b (a e b)
D ． ( ae b) 2 (a b) 2 | a |2 | b |2
12.平⾯上有四个互异的点 A 、 B 、 C 、D ，满⾜ ( AB BC) (AD CD )
0, 则三⾓形 ABC 是 (
)
A ．直⾓三⾓形
B ．等腰三⾓形
C ．等腰直⾓三⾓形
D ．等边三⾓形
13．如图 ,在四边形 ABCD 中 , AB BCCD1,B
900 , BCD 1350, 记向量 AB a, AC b,则 AD
( )
A. 2 a (1
2
) b B ． 2 a (1
2
) b
2
2
C ． 2 a (1
2 D ．2 a (1
2 ) b
) b
2
2
14． (⽂ )(2011 杭·州模拟 )已知向量 a (sin x,1), b (cos x, 3), 且 a/ / b, 则 tan x _______.
(理 )已知a (2, 3), b (sin ,cos 2 ),( , ), 若 a/ / b,则tan x_____.
2 2
15． (2012 西·安五校第⼆次联考)梯形 ABCD 中， AB∥CD ， AB＝ 2CD ， M，N 分别是 CD， AB 的中点，设
AB a, AD b,若 MN ma nb, 则n
_______. m
16．(⽂ )如图，在△ ABC 中，D 、E 分别是 BC、AC 的中点， F 为 AB 上⼀点，且AB 4 AF,若 AD xAF y AE, 则 x＝ ____，y＝ ___.
16 题（理）
(理 )(2011 江·苏徐州市质检 )在△ ABC 中，过中线 AD 的中点 E 任作⼀条直线分别交AB、 AC 于 M 、N 两点，若 AM x AB, AN yAC,则 (4 x y) min___．
17 ．已知正⽅形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则DE CB ___，DE DC的最⼤值为 ________．
18 ．已知 G 是△ ABC 的重⼼，直线 EF 过点 G 且与边 AB、AC 分别交于点E, F , AE AB AFAC,则
1 1
_______.
19． (2012 ·西⼋校联考江)如图所⽰ ,设 P、 Q 为△ ABC 内的两点 ,且
AP
2
AB
1AC,AQ 2AB1AC,则S
5534S
ABP ______ ．
ABQ
20． (⽂ )已知O(0,0), A(2,1), B(1,3),OP OA t OB, 求：
(1)t 为何值时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第四象限？
(2)四点 O、 A、B、 P 能否成为平⾏四边形的四个顶点，说明你的理由．
(理 )(2011 杭·州市质检 )已知向量a (1,2), b (cos ,sin ), 设 m a t b (t 为实数)．
(1) 若α＝
π
t 的值；
，求当 | m |取最⼩值时实数
4
(2) 若 a b, 问：是否存在实数t ,使得向量a b 和向量 m 的夹⾓为
π
4 ,若存在 ,请求出
t ,若不存在 ,请说明理由．21．设△ ABC 的内⾓ A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 c＝2b，向量m (sin A,
3
), n (1,sin A3 cos A),
2
且 m 与 n 共线．
(1)求⾓ A 的⼤⼩； (2)求a
c的值．
22．设a, b是不共线的两个⾮零向量，(1)若OA2a b,OB 3a b,OC a 3b, 求证：A、B、C三点共线；
(2) 若 8 a k b 与 k a 2 b 共线，求实数 k 的值；
23． (2011 衡·阳期末 )平⾯内给定三个向量 a (3,2), b ( 1,2), c (4,1), 请解答下列问题： (1) 求满⾜ a m b n c 的实数 m 、 n ；
(2) 若 ( a k c) / /(2 b
a), 求实数 k ；
(3) 若 d 满⾜ (d c ) / /( a b), 且 | d c |
5, 求 d .
24．(⽂ )已知圆 C ：(x － 3)2＋ (y － 3)2＝4 及定点 A(1,1) ，M 为圆 C 上任意⼀点，点→
N 在线段 MA 上，且 MA ＝→，求动点 N 的轨迹⽅程． 2AN
(理 )已知θ是△ ABC 的最⼤的内⾓．设向量
a (cos ,sin ),
b (sin 2 ,1 cos 2 ),
c (0, 1) ．
定义 f ( )
(a b) c | b |, 求 f ( ) 的最⼤值．
平⾯向量基本定理及向量的坐标表⽰
1.(⽂ )D( 理 )A
→
→→→→→
1
[ 解析 ] 本题考查向量的线性运算．据已知 N 为 AM 的中点，可得 AN ＝ 2AM ＝λAB ＋ µAC ，整理得 AM ＝ 2λAB →
1
＋2µAC ，由于点 M 在直线 BC 上，故有 2λ＋ 2µ＝ 1，即λ＋ µ＝ 2
.
2． D3． C
4． C
→
→
5 题
[ 解析 ] 设CF ＝λCD ，∵E 、 D 分别为 AC 、 AB 的中点，
→
→→
1
∴BE ＝ BA ＋ AE ＝－ a ＋ 2b ，
→
→→
1 1
BF ＝ BC ＋ CF ＝ (b － a)＋λ(2a － b)＝ 2λ－ 1 a ＋ (1－λ)b ，
1
2λ－ 1 1－λ 2 ∵BE 与 BF 共线，∴－ 1 ＝
1 ，∴λ＝ 3，
2
→→→→
1 1 1 1
2 2 1
∴AF ＝ AC＋ CF ＝ b＋3CD ＝ b＋3 2a－b ＝3a＋3b，故 x＝3， y＝3.
5．A[ 解析 ] 解法⼀：由三⾓函数定义知 a 的起点在原点时，终点落在圆x2＋y2＝4 位于第⼆象限的部分上π
(∵2<θ<π)，设其终点为P，则∠xOP＝θ，
3π
∴a 与 b 的夹⾓为2－θ.
解法⼆： cos〈 a， b〉＝
a·b
＝
－ 4sinθ3π
|a| |b|·2× 2 ＝－ sinθ＝cos 2 －θ，
π3ππ
∵θ∈ 2，π，∴ 2 －θ∈2，π，
3π
⼜〈 a， b〉∈ (0，π)，∴〈a， b〉＝2－θ.
6． (⽂ )C[ 解析 ]由(a－c)(b－c)＝0得a·b－( a＋b)·c＋c2＝0，即c2＝(a＋b) c，故|c|·|c|≤|a＋b|·|c|，即 |c|≤ |a＋ b|＝ 2，故选C.
(理 )D[ 解析 ]
→→
∵AP ＝ tAB，
→→→→→→→→
∴OP＝ OA＋ AP＝ OA＋ t(OB－ OA)＝ (1－ t)OA＋tOB ＝ (a－ at， at) →→→→
∴OA·OP ＝a2 (1－ t)，∵0≤t ≤ 1，∴OA·OP ≤a2 .
7． C8． (⽂ )A( 理 )A
9． C[解析 ] 以 OA、OB 为边作平⾏四边形OACB ，则由
→→→→
OACB 为矩|OA＋ OB|＝ |OA－ OB|得，平⾏四边形
→→
y＝－ x＋a 在 y 轴上的截距为±2，所以选 C. 形， OA⊥ OB.由图形易知直线
[答案 ] A
[解析 ] →
OC＝λa＋µb＝ (3λ＋µ，λ＋ 3µ)，
→
y＝ x 的上⽅，故选 A. 令 OC＝ (x， y)，则 x－ y＝ (3λ＋µ)－(λ＋3µ)＝ 2(λ－µ)≤ 0，∴点 C 对应区域在直线11． (⽂ )C( 理 )B12B
→→→→→→→→
[解析 ] (AB － BC ) ·(AD － CD )＝(AB － BC ) ·(AD ＋ DC )
→→→→→→→→→
＝(AB－ BC) ·AC＝ (AB－ BC) ·(AB＋ BC)＝ |AB|2－ |BC|2＝ 0，
→→
故 |AB|＝ |BC|，即△ABC 是等腰三⾓形．
13． B 根据题意可得△ ABC 为等腰直⾓三⾓形，由∠
BCD ＝ 135 °，得∠ACD ＝135 °－ 45°＝ 90°，以 B 为原点，
AB 所在直线为 x 轴， BC 所在直线为 y 轴建⽴如图所⽰的直⾓坐标系，
并作 DE ⊥ y 轴于点 E ，则△CDE 也为等腰
2
2 →
→
2
直⾓三⾓形，由 CD ＝ 1，得 CE ＝ED ＝ 2 ，则 A(1,0),B(0,0)， C(0,1)，D ( 2 ， 1＋
2 )，∴AB ＝ (－ 1,0) ， AC ＝ (－→ 2 →→→
2
1,1)，AD ＝ ( 2 －1,1＋ 2 )，令 AD ＝λAB ＋ µAC ，
2 1，
λ＝－ 2，
→
－λ－µ＝ 2 － 2
∴AD ＝－ 2a ＋ (1＋
则有
2
得
2
2 )b.
µ＝1＋ 2 ，
µ＝ 1＋ 2
.
1
3
15． (⽂ )－ 4
14． (⽂ )－3( 理)－ 3
16． (⽂ )2 1
9 题（理）
(理 )(2011
江·苏徐州市质检
)在△ ABC
中，过中线
AD
的中点 E 任作⼀条直线分别交
AB 、 AC
于 M 、N
两点，
→→→
→
若AM ＝ xAB ， AN ＝ yAC ，则
4x ＋ y 的最⼩值为
___． 9
4
→
→
→
→
→
如图所⽰，由题意知
1
1
AD ＝ 2(AB ＋ AC)， AE ＝ 2AD ，
→
→→→→→→→
⼜ AM ＝xAB ， AN ＝ yAC ，所以 1
(AB ＋ AC)＝λx AB ＋ (1－λ)yAC ，
4 因此有 4λx＝ 1，解得 x ＝
1
， y ＝ 1 ，
4 1－λy ＝ 1，
4λ 4 1－λ
1
1
1
＝ t ＋
t
1
5 9 ，
令＝ t ，∴t>1，则 4x ＋ y ＝＋
＝ (t － 1)＋
＋ ≥ λ
λ 4 1－λ4 t － 1
4 t － 1
4 4
3 2
当且仅当 t ＝ 2，即λ＝ 3时取得等号．
17． 1 1
[解析 ]
本题考查平⾯向量的数量积，建⽴平⾯直⾓坐标系如图，则 B(1,0)， C(1,1) ，D (0,1)，设 E(x 0,0)，则→→→
CB ＝ (0，－ 1)， DC ＝ (1,0)， DE ＝(x 0，－ 1)，
19 题
17 题
→→
∴DE ·CB ＝(x 0，－ 1)(0 ，－ 1)＝ 1，
∴DE ·DC 的最⼤值为 1.
[点评 ]
将问题转化为坐标运算使问题迎刃⽽解．
→
→→→→→
2 1
＋AC)，设 EG ＝λGF ， 18． 3[解析 ] 连结 AG 并延长交 BC 于 D ，∵G 是△ABC 的重⼼，∴ AG ＝3AD ＝3(AB →→→→→ 1 →→
∴AG － AE ＝λ(AF － AG)，∴AG ＝ AE ＋λ
AF ，
1＋λ 1＋λ
→ 1 →
→
→ 1 α
λβ
，
∴ AB ＋
AC ＝
AB ＋
AC
3
3
1＋λ
1＋λα
1 ， 1
3
＝
＝
，
1＋λ 3
α 1＋λ
∴1＋ 1
＝3.
1
αβ
＝
＝，
1＋λ 3
β
1＋λ
4
→→→
→→
→
→
2
1
19．5[解析 ] 根据题意，设AM ＝ 5AB ，AN ＝ 5AC ，则由平⾏四边形法则，得 AP ＝ AM ＋AN ，且四边形 AMPN
S
△
→ S
△
S △
ABP
ABQ
ABP
|AN| 1
1
4
为平⾏四边形，于是 NP ∥AB ，所以
＝→＝5，同理，可得
＝ 4.故
ABC
ABC
ABQ
→→→
20． (⽂ )[解析 ] (1)OP ＝ OA ＋ tOB ＝ (t ＋ 2,3t － 1)．
1
若点 P 在 x 轴上，则
3t － 1＝0，∴t ＝ 3；若点 P 在 y 轴上，则 t ＋ 2＝ 0，∴t ＝－ 2；
t ＋ 2>0
1
若点 P 在第四象限，则
，∴－2
3t －1<0
→
→
→→
(2) OA ＝ (2，－ 1)， PB ＝ (－ t － 1，－ 3t ＋4) ．若四边形 OABP 为平⾏四边形，则
OA ＝PB .
－ t － 1＝ 2
∴
⽆解．∴四边形 OABP 不可能为平⾏四边形．
－ 3t ＋ 4＝－ 1
同理可知，当 t ＝ 1 时，四边形 OAPB 为平⾏四边形，当 t ＝－ 1 时，四边形 OPAB 为平⾏四边形．π 2 2 3 2 (理 )[ 解析 ] (1) ∵α＝4，∴b ＝ ( 2
，
2 )，a
·b ＝ 2 ，
∴|m|＝ a ＋ tb 2 ＝
2
2
5＋ t ＋2ta ·b ＝ t ＋
t ＋
2
＋，
2
3 2
2 ∴当 t ＝－ 2 时， |m|取到最⼩值，最⼩值为
2
.
π
a －
b ·a ＋tb
(2)
由条件得
cos
4＝ |a － b||a ＋ tb|
，
∵|a － b|＝ a － b 2
＝ 6， |a ＋ tb|＝
a ＋ t
b 2＝ 5＋ t 2， (a － b) ·(a ＋ tb)＝ 5－ t ，
5－ t 2
，且 t<5，∴t 2
＋ 5t
－5±3 5
∴ 6 5＋ t 2 ＝ 2 － 5＝0，∴存在 t ＝
2
满⾜条件 .
3
π
21． [解析 ] (1) ∵m ∥n ，∴sinA(sinA ＋ 3cosA)－
2＝ 0，即 sin 2A － 6 ＝ 1. ππ 11ππππ
∵A ∈ (0，π)，∴2A －∈－， 6 . ∴2A －＝ .∴A ＝ .
2 c 2 2
c π 2
3
2
a 3
c ＝ 2b 、 A ＝得， a ＝ 2
＋ c － 2 ··ccos ， a ＝ c
，∴＝
2 .
3
2 3
4 c
→→
→ 22． [解析 ]
＝ (3a ＋ b)－(2a －b)＝ a ＋ 2b. ⽽ BC ＝ (a － 3b)－ (3a ＋ b)＝－ 2a － 4b ＝－ 2AB ， (1) ∵AB →→∴AB 与 BC 共线，且有公共端点 B ，∴A 、 B 、C 三点共线．
(2) ∵8a ＋ kb 与 ka ＋ 2b 共线，∴存在实数λ使得
(8a ＋ kb)＝λ(ka ＋2b)? (8－λk )a ＋ (k － 2λ)b ＝0，
8－λk＝ 0，
∵a 与 b 不共线，∴
2
8＝ 2λ? λ＝ ±2，∴k ＝ 2λ＝±4.
k －2λ＝ 0.
23． [解析 ] (1) 由题意得 (3,2)＝ m(－ 1,2)＋ n(4,1)，
5
－m ＋ 4n ＝ 3， m ＝ 9，
所以
得
2m ＋ n ＝ 2，
8
n ＝ 9.
(2) a ＋ kc ＝ (3＋ 4k,2＋ k)， 2b － a ＝ (－5,2)，
∵(a ＋ kc)∥(2b －a)，
(3) 设 d ＝ (x ， y)，则 d － c ＝ (x － 4， y －1)， a ＋ b ＝ (2,4)，
4 x － 4
－ 2 y － 1
＝ 0
由题意得
，
x － 4 2＋ y －1 2 ＝5
x ＝3 x ＝5
解得
或，∴d ＝ (3，－ 1)或 d ＝ (5,3)．
y ＝－ 1
y ＝3
24． (⽂ )[解析 ] 设 N(x ， y)， M(x ， y
→→
)，则由 MA ＝2AN 得 (1－ x 1－ y )＝ 2(x － 1，y － 1)，
0 0 0,
1－ x ＝ 2x －2 x ＝ 3－ 2x
∴
，即
，
1－ y 0＝ 2y － 2
y 0＝ 3－ 2y
代⼊ (x － 3)2＋ (y － 3)2＝ 4，得 x 2＋ y 2＝ 1. [ 点评 ] 平⾯向量与解析⼏何结合是新的命题⽅向，
解答此类问题关键是利⽤向量共线或垂直的关系建⽴点
的坐标之间的关系式，然后⽤解析⼏何的⽅法解答．请再练习下题：
已知⊙ C ：(x ＋ 2)2＋ (y － 1)2＝ 9 及定点 A(－ 1,1)，M 是⊙ C 上任意⼀点，点 N 在射线 AM 上，且 |AM |＝ 2|MN |，动点 N 的轨迹为 C ，求曲线
C 的⽅程．解答如下：
→→→→
设 N(x ， y) ，M (x 0， y 0)，∵N 在射线 AM 上，且 |AM|＝2|MN |，∴AM ＝ 2MN 或 AM ＝－ 2MN ，
→→
AM ＝ (x 0＋ 1，y 0－ 1)， MN ＝ (x － x 0， y －y 0)， x 0＋ 1＝ 2 x － x 0 x 0＋ 1＝－ 2 x － x 0 ∴
或
0 y － 1＝－ 2 y － y
0 0
x 1
x 0＝ 2x ＋1
＝3 2x － 1
∴
1
或
，
y ＝ y 0＝ 2y －1
3 2y ＋ 1
代⼊圆⽅程中得 (2x ＋5) 2＋(2y － 2)2＝ 81 或 (2x ＋ 3)2＋ (2y － 2)2＝ 9.
(理)[ 解析 ] ∵θ是△ABC 的最⼤内⾓
π
sin 22θ＋ 1－ cos2θ2＝ 4sin 2θ＝ 2sin θ，
∴ ≤ θ<π， |b|＝
3
∴f(θ)＝ (a ＋ b) ·c ＋ |b|＝ (cos θ＋ sin2θ， sin θ＋ 1－ cos2θ) ·(0，－ 1)＋ 2sin θ＝ cos2θ－ sin θ－ 1＋ 2sin θ2
1 2 1
＝－ 2sin θ＋ sin θ＝－ 2(sin θ－ 4)
＋ 8
π∵3≤ θ<π，∴0
1
1 1
从⽽，当 sin θ＝ 4 时， f(x)取最⼤值 8， (此时θ＝π－ arcsin 4)。