非常考案通用版高考数学一轮复习第五章数列分层限时跟踪练_3

分层限时跟踪练(三十)
(限时40分钟) [基 础 练]
扣教材 练双基
一、选择题
1．(2014·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前
n 项和S n ＝( )
A ．n (n ＋1)
B ．n (n －1)
C.
n n ＋1
2
D.
n n －1
2
【解析】 由a 2，a 4，a 8成等比数列，得a 2
4＝a 2a 8，即(a 1＋6)2
＝(a 1＋2)(a 1＋14)，∴a 1
＝2.∴S n ＝2n ＋
n n －1
2
×2＝2n ＋n 2
－n ＝n (n ＋1)．
【答案】 A
2．已知函数f (n )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
n 2
n 为奇数，
－n 2
n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋
a 100等于( )
A ．－100
B ．100
C ．－1020
D ．1020
【解析】 当n 为奇数时，a n ＝n 2
－(n ＋1)2
＝－(2n ＋1)． 当n 为偶数时，a n ＝－n 2
＋(n ＋1)2
＝2n ＋1.
∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－3＋5－7＋9－…－199＋201 ＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋(－199＋201) ＝2×50＝100. 【答案】 B
3．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，令a n ＝f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *
，记数列⎩⎨⎧⎭
⎬
⎫1a n 的前n 项和为S n ，则S n ＝10时，n 的值是( )
A ．10
B ．120
C ．130
D ．140
【解析】 ∵幂函数f (x )＝x α
过点(4,2)， ∴4α
＝2，
∴α＝12，f (x )＝x 12
，
∴a n ＝f (n ＋1)＋f (n )＝n ＋1＋n ，
∴1a n
＝
1
n ＋1＋n
＝n ＋1－n .
∴S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋ (n ＋1－n )＝n ＋1－1. 又S n ＝10， ∴n ＋1－1＝10， ∴n ＝120.故选B. 【答案】 B
4．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *
，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2
n 等于( )
A ．(3n
－1)2
B.12(9n
－1) C ．9n －1
D.14
(3n
－1) 【解析】 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n
－1，n ∈N *
，
n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1，
∴当n ≥2时，a n ＝3n
－3
n －1
＝2·3
n －1
，
又n ＝1时，a 1＝2适合上式， ∴a n ＝2·3
n －1
，∴a 2n ＝4·9
n －1
，n ∈N *
.
故数列{a 2
n }是首项为4，公比为9的等比数列． 因此a 21
＋a 22
＋…＋a 2
n ＝4
1－9n
1－9
＝12
(9n
－1)． 【答案】 B
5．(2015·重庆模拟)已知等差数列{a n }满足a 3＝7，a 5＋a 7＝26，b n ＝1a 2
n －1
(n ∈N *
)，数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为( )
A.10125
B.3526
C.25101
D.310
【解析】 在等差数列{a n }中，a 5＋a 7＝2a 6＝26⇒a 6＝13，又数列{a n }的公差d ＝
a 6－a 3
6－3
＝
13－73＝2，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7＋(n －3)×2＝2n ＋1，那么b n ＝1a 2n －1＝14n n ＋1＝14
⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1⇒S 100＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1101＝25101
.
【答案】 C 二、填空题
6．(2015·沈阳模拟)数列{a n }是等比数列，若a 2＝2，a 5＝1
4，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1
＝ .
【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝a 2q 3
，求得q ＝12，所以a 1＝4，所以a n
＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1＝23－n ，a n a n ＋1＝23－n ·22－n ＝25－2n
，所以{a n a n ＋1}是以8为首项，14为公比的等比数列，
所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎢⎡⎦⎥
⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14
＝323(1－4－n
)．
【答案】
323
(1－4－n
) 7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝1
1＋2＋3＋…＋n ，则S 2 013＝ .
【解析】 ∵a n ＝11＋2＋3＋…＋n ＝1
n n ＋1
2
＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋1， ∴S 2 013＝2⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 013－12 014
＝2⎝
⎛⎭⎪⎫1－
12 014＝
2 013
1 007
. 【答案】
2 013
1 007
8．数列32，94，258，6516，…，n ·2n
＋1
2n
的前n 项和为 ． 【解析】 由于a n ＝
n ·2n ＋1
2
n
＝n ＋1
2
n ，
∴前n 项和S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋123＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫n ＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋122＋12
3＋ (12)
＝n ＋1n 2＋12⎝
⎛⎭⎪⎫1－12n 1－1
2
＝
n n ＋1
2－1
2
n ＋1. 【答案】
n n ＋1
2－1
2
n ＋1 三、解答题
9．(2015·浙江高考)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *
)，b 1＋12b 2
＋13b 3＋ (1)
b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *
)． (1)求a n 与b n ；
(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .
【解】 (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *
)． 由题意知：
当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.
当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n .整理得b n ＋1n ＋1＝b n
n ，
所以b n ＝n (n ∈N *
)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n
，
因此T n ＝2＋2·22
＋3·23
＋…＋n ·2n
， 2T n ＝22
＋2·23
＋3·24
＋…＋n ·2
n ＋1
，
所以T n －2T n ＝2＋22
＋23
＋ (2)
－n ·2n ＋1
.
故T n ＝(n －1)2
n ＋1
＋2(n ∈N *
)．
10．已知各项都不相等的等差数列{a n }的前6项和为60，且a 6为a 1和a 21的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b n ＋1－b n ＝a n (n ∈N *
)，且b 1＝3，求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1b n 的前n 项和T n .
【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，
则⎩
⎪⎨
⎪⎧
6a 1＋15d ＝60，a 1a 1＋20d ＝a 1＋5d
2
，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
d ＝2，
a 1＝5，∴a n ＝2n ＋3.
(2)b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝a n －1＋a n －2＋…＋a 1＋b 1＝(n －1)(n ＋3)＋3＝n (n ＋2)．
∴1
b n ＝
1n
n ＋2＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋2，
∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－1
4＋…＋1n －1n ＋2
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2－1n ＋1－1n ＋2
＝3n 2
＋5n
4
n ＋1n ＋2
.
[能 力 练]
扫盲区 提素能
1．已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1
＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝( )
A ．1－4n
B ．4n
－1 C.1－4n 3
D.4n
－13
【解析】 由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4，∴b n ＝(－3)×(－4)n －1
，∴|b n |＝3×4n －1
，
即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列，∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝3
1－4n
1－4
＝4n
－1，
选B.
【答案】 B
2．(2015·太原一模)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n
(2n －1)·cos n π
2
＋1(n ∈
N *
)，其前n 项和为S n ，则S 60＝( )
A ．－30
B ．－60
C ．90
D ．120
【解析】 由题意可得，当n ＝4k －3(k ∈N *
)时，a n ＝a 4k －3＝1；当n ＝4k －2(k ∈N *
)时，
a n ＝a 4k －2＝6－8k ；当n ＝4k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 4k －1＝1；当n ＝4k (k ∈N *)时，a n ＝a 4k ＝8k .
∴a 4k －3＋a 4k －2＋a 4k －1＋a 4k ＝8，∴S 60＝8×15＝120.
【答案】 D
3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2n ＝n －a n ，a 2n ＋1＝a n ＋1，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝ . 【解析】 ∵a n ＝n －a 2n ，a n ＝a 2n ＋1－1，∴a 2n ＋1＋a 2n ＝n ＋1，
∴a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 98＋a 99)＝1＋2＋3＋…＋50＝1 275. 【答案】 1 275
4．(2015·陕西二模)已知正项数列{a n }满足a 2
n ＋1－6a 2
n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为 ．
【解析】 ∵a 2
n ＋1－6a 2
n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，∵a n ＞0，∴a n ＋1＝3a n ，又a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，
∴S n ＝
21－3n
1－3
＝3n
－1.
【答案】 3n
－1
5．(2015·菏泽模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *
)， (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足：a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n
3n ＋1
，求数列{b n }的通项公式； (3)令c n ＝
a n
b n
4
(n ∈N *
)，求数列{c n }的前n 项和T n .
【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)－(n －1)n ＝2n ， 又a 1＝2满足该式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *
. (2)a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋…＋b n
3n ＋1
(n ≥1)，①
a n ＋1＝
b 13＋1＋b 232＋1＋…＋b n 3n ＋1＋b n ＋1
3n ＋1＋1
， ② ②－①得，b n ＋1
3n ＋1＋1
＝a n ＋1－a n ＝2，即b n ＋1＝2(3
n ＋1
＋1)，
又当n ＝0时，b 1＝8，所以b n ＝2(3n
＋1)，n ∈N *
. (3)c n ＝
a n
b n
4
＝n (3n ＋1)＝n ·3n
＋n ，
∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(1×3＋2×32
＋3×33
＋…＋n ×3n
)＋(1＋2＋…＋n )， 令H n ＝1×3＋2×32
＋3×33
＋…＋n ×3n
，① 则3H n ＝1×32
＋2×33
＋3×34
＋…＋n ×3
n ＋1
，②
①－②得，－2H n ＝3＋32
＋33
＋ (3)
－n ×3n ＋1
＝
33n
－13－1
－n ×3n ＋1
，
∴H n ＝
2n －1×3
n ＋1
＋34
.
∴数列{c n }的前n 项和T n ＝2n －1×3
n ＋1
4
＋
n n ＋1
2＋34
. 6．(2014·山东高考)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令 b n ＝(－1)
n －1
·
4n
a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和T n .
【解】 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×1
2
×2＝2a 1＋2，
S 4＝4a 1＋
4×3
2
×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2
＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)
n －1
4n
a n a n ＋1
＝(－1)
n －1
4n 2n －1
2n ＋1
＝(－1)
n －1
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，
T n ＝⎝
⎛⎭⎪⎫
1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
1
2n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
12n －1＋12n ＋1＝1－
12n ＋1＝2n
2n ＋1
. 当n 为奇数时，
T n ＝⎝
⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭
⎪⎫13＋15＋…－⎝
⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝
⎛⎭
⎪
⎫
12n －1＋12n ＋1＝1＋
12n ＋1＝2n ＋22n ＋1
. 所以T n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
2n ＋22n ＋1，n 为奇数，
2n
2n ＋1，n 为偶数，
⎝
⎛⎭
⎪⎫或T n ＝2n ＋1＋－1
n －1
2n ＋1。