贵州省黔东南州2016年高考第一次模拟考试理科数学试题含答案

秘密★启用前
黔东南州2016年高考模拟考试试卷
数学(理科)
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.满分150分，考试时间120分钟。

2。

回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3。

回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个
选项中，只有一个是符合题目要求的.)
1.已知集合2
{|230},{|24}A x x x B x x =-->=<<，则集合B A ⋂=( ）
A ．()4,1
B ．()4,2
C ．()3,2
D ．()4,3
2. 若复数,215i
i
z -=
则z 的共轭复数对应的点所在的象限为( ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D 。

第四象限
3. 某几何体三视图如右图所示,图中三个等腰直角三角形的直角边长都是2,
该几何体的体积为 （ ）
正视图
俯视图 侧视图
A ．4
3
B. 83
C.4
D.
163
4。

下列命题中正确的是（ ）
A 。

cos 0α≠是2()2
k k Z παπ≠+∈的充分必要条件
B.函数x x f ln 3)(=的零点是(1,0)和(1,0)-
C 。

设随机变量ζ服从正态分布(0,1)N ，若(1)P p ζ>=，则1(10)2
P p ζ-<<=-
D.若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差会改变
5．若{}n
a 是等差数列,公差6
3
2
,,,0a a a d ≠成等比数列，则该等比数列的
公比为（ ）
A 。

1
B 。

2 C. 3 D 。

4 6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
7。

变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨
⎪>-⎩
，则22(2)x y -+的最小值为（ )
A 32 B.
5 C 。

92
D.
5
8。

在平行四边形ABCD 中，0AC CB ⋅=， 1,2==BC AC ,若将其沿AC 折成直二面角D AC B --，则AC 与BD 所成的角的余弦值为（ ）
A ．2
1 B.
2
2 C.
2
3 D 。

3
3 9.过点(－2,0）的直线l 与圆x 2＋y 2＝5相交于M 、N 两点，且线段
MN=2错误!,则直线l 的斜率为( ）
A ．3±
B ．3
3±
C ．1±
D ．2
3±
10。

设不等式组03
01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩
表示的平面区域为
D ，在区域D 内随机取
一点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（
）
A
B.
3
6
π-
C.
312
π
D.
4
π 11。

如图，
21,F F 是椭圆14
:22
1=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ，2
C 在第二、四象限的公共点.若四边形
2
1BF 为矩形，则2
C 的离心率是( ）
A. 2 B 。

3
C 。

2
3 D 。

2
6
12。

已知函数()ln f x x x k =-+,在区间1[,]e e
上任取三个数,,,c b a
均存在以)(),(),(c f b f a f 为边长的三角形，则k 的取值范围是( ）
A ．(1)-+∞，
B 。

(,1)-∞-
C 。

(,3)e -∞- D.
(3)e -+∞，
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题~第24题为选考题，考生依据要求作答。

二、填空题（本大题共计4小题，每小题5分.) 13。

已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则=⋅OB OA __________。

14。

在*3)()n n N -∈的展开式中，所有项的系数和为32-，则
1x 的系数
等于__________。

15. 已知函数⎩⎨⎧
≤->=0
,40
,)(2
x x x x x x f ，若1)(-≥ax x f 恒成立，则实数a 的取值范
围是_____。

16.已知数列{}n
a 满足1,22
11+-==+n n n na a a a
，令1
1
+=
n n n a a b ，则数列{}n
b 的前n
项和
n S =__________.
三、解答题(本大题共8小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17。

（本小题满分12分)在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、
b 、
c ，已知B C A C A 2cos 2sin sin 32cos cos 3+=+.
(I)求角B 的大小；
（II ）若1=+c a ，求b 的取值范围。

18。

(本小题满分12分）为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，某学校抽取了甲、乙两班作为对象，调查这两个班的学生在寒假期间平均每天学习的时间（单位:小时），统计结果绘成频率分布直方图(如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生平均每天学习时间在区间]4,2[的有8人．
B
A
甲
0.15
0.125
0.1
乙
0.025
0.05
0.075
0.175
（I）求直方图中a的值及甲班学生平均每天学习时间在区间]12,10(的人数；
（II）从甲、乙两个班平均每天学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，
设4人中甲班学生的人数为k，求k的分布列和数学期望．
19.（本小题满分12分)如图,四棱锥ABCD
P-中，底面ABCD是菱形，
60
=
∠ADC，面PCD⊥面ABCD，2=
=
=CD
PD
PC，点M为线段PB上异于P、B 的点。

（I）当点M为PB的中点时,
(II）当二面角M
AC
B-
-
试确定点M的位置。

20。

已知抛物线)0
(
2
:2>
=p
px
y
E的准线与x轴交于点K,过K点作曲线0
3
4
:2
2=
+
+
-y
x
x
C的切线，切点M到x轴的距离为32
2,
（I)求抛物线E的方程；
（II ）设B A ,是抛物线E 上分别位于x 轴两侧的两个动点，且4
9=⋅OB OA （其中O 为坐标原点)
（i)求证：直线AB 必过定点，并求出该定点Q 的坐标；
(ii ）过点Q 作AB 的垂线与抛物线交D G ,于两点，求四边形AGBD 面积的最小值.
21．已知函数
)1(31
ln 1)(2>--++=a x x
x a a x f
（I)讨论函数)(x f 在)1,0(上的单调区间； （II)当3≥a 时，曲线)(x f y =
上总存在相异两点Q P ,,使得曲线)(x f y =在
Q P ,处的切线互相平行，求线段PQ 中点横坐标的取值范围.
请考生在第22、23、24三道题中任选一题作答。

如果多做,则按所做的第一题计分。

做答时请写清题号。

22．(本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图,在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的角平分线，ADC ∆的外接圆交BC 于点E ，
2AB AC =．(1）求证：2BE AD =;（2）当3,6AC EC ==时，求AD 的长.
23．（本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线3649:2
2=+y x C ，直线⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=+=32cos
4265sin 22:ππt y t x l (t 为参数）
（I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
(II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为0
30的直线,交l 于点A ,求PA 的最
大值与最小值.
24．(本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲 已知函数()|21|2,()|2| 3.f x x g x x =-+=-++ （I ）解不等式：()2g x ≥-；
（II)当x R ∈时，()()2f x g x m -≥+恒成立，求实数m 的取值范围。

参考答案（理科）
一、选择题
x
x x f 1)('=-
=，令0)('=x f ,得1=x , ∵函数定义域为1[,]e e
∴)(x f 在)1,1(e 单调递减,在),1(e 单调递增
∴k f x f +==1)1()
(min
k e e f x f +-==1)()(max
由题意知 01)1(>+=k f ①
)()1()1(e f f f >+，即 k e k +->+122
②
由①②得 3->e k
故选D
二、填空题
13、 9 14、 -270 15、 ［﹣6，0］ 16、
2
121+-n 15、解析:由题意，1)(-≥ax x f 恒成立,等价于1-=ax y 始终在)(x f y =的下方，
即直线夹在与)0(42
≤-=x x x y 相切的直线,和1-=y 之间，
所以转化为求切线斜率．
由⎩⎨⎧-=-=1
42ax y x x y ,可得01)4(2=++-x a x ①，
令04)
4(2
=-+=∆a ，解得6-=a 或2-=a ，
6-=a 时，1-=x 成立；2-=a 时，1=x 不成立，
∴实数a 的取值范围是[﹣6，0］ ．
16、提示：通过递推关系求出前4项，再根据前4项猜想出{}n
a 的通
项，结合递推关系验证通项的正确性,最后再求n
b 、n
S ．
三、解答题
17解:(I ）由已知得02sin sin 3cos cos 3cos
22
=-+-C A C A B
即
02)cos(3cos 22
=-+-C A B ，即02cos 3cos 22=-+B B 解得21
cos =
B 或2cos -=B （舍去）
又因为π<<B 0
所以
3
π
=
B (6)
分
（II ）由余弦定理,有B ac c a b cos 2222
-+=，因为1=+c a ,
21cos =
B ，
所以4
1
)21(322
+-=a b ，又因为10<<a ，
所以1412<≤b ，即12
1<≤b 。

(12)
分［
18、
甲
0.15
0.1250.1
乙
0.025
0.050.0750.175
解：（I ） 由直方图知，12)0875.01.0125.015.0(=⨯++++a ,解得0375.0=a ， 因为甲班学习时间在区间]4,2[的有8人， 所以甲班的学生人数为
402
.08
=,所以甲、乙两班人数均为40人．
所以甲班学习时间在区间
]
12,10(的人数为
30375.040=⨯(人）． (5)
分
(II)乙班学习时间在区间]12,10(的人数为4205.040=⨯⨯（人）． 由⑴知甲班学习时间在区间]12,10(的人数为3人，
在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，k 的所有可能取值为0,1，2,3．
351
)0(474403===C C C k P ,3512)1(473
413===C C C k P ， 3518)2(472423===C C C k P ，354
)3(47
1
433===C C C k P ． 所以随机变量k 的分布列为：
z y x
o M
D
C
B
A
P
k
0 1 2 3
P
351 3512 3518 35
4
7
12354335182351213510=⨯+⨯+⨯+⨯
=Ek ．………………………………12分
19解：（I ）设AC 、BD 的交点为N ，连结MN ， 因为M 、N 分别为BP 、BD 的中点, 所以MN PD //，
又⊂MN 平面ACM ，
所以PD //平
面
ACM …………………………………………………5分 （II)设CD 的中点为O ,因为2===CD PD PC ，面PCD ⊥
面ABCD 所以⊥PO 面ABCD ，
又因为在菱形ABCD 中，
60=∠ADC 所以CD OA ⊥
分别以OA 、OC 、OP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则)0,0,3(A ，
)0,2,3(B ，)0,1,0(C ，)3,0,0(P , 设)10(<<=λλBP BM ，
则)3,21,33(λλλλ--=+=+=BP CB BM CB CM ，)0,1,3(-=CA ，……7分 设平面ACM 的法向量为),,(z y x n =
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0CM n CA n 得⎩⎨
⎧=+-+-=-03)21()33(03z y x y x λλλ 令1=x ，则)23,3,1(λ
-=n ……8分［来
又平面ABCD 的法向量为)3,0,0(=OP …………………10分[来源：学科
网]
所以5
53
124
133233|
||||||,cos |2
=⨯-
-
-=⋅=
><λ
λ
λ
n OP n OP n OP 解得：2
1=λ或1=λ（舍去）,
所以点M 为线段PB 的中
点.…………………………………………………12分 20解：（I ）由已知可得)0,2
(p K -,圆1)
2(:22
=+-y x C 的圆心)0,2(C ,半径为1,
过M 点作x MR ⊥轴，且与x 轴垂直相交于点R ， 由题意可知2
2,1,3
22p
KC MC MR +===，则,31=RC 而MKC
∆∽RMC ∆,
则MC
KC RC
MC
=，即1
2
23
1
1p
+=
，
则2=p ，抛物线x y
E 42
=的方程为……………………………………4分
（II ）（i ）设直线),4
(),,4(),0(:22
2
121y y B y y A y t my x AB ≠+=，
由⎩⎨⎧=+=x
y t
my x 42可得0442=--t my y ,所以m y y 421=+，t y y 421-=，
又49=⋅OB OA ，即4
9
)4
(2122
1
=
+y y y
y ，解得1821-=y y 或221=y y (舍去）， 所以
18
4-=-t ，解得
2
9=
t ,则有AB
恒过定点
)0,2
9
(Q ………………………………9分
(ii ）由题意得0≠m ，由（i ）可得72
161122122+⋅+=-+=
m m y y m AB ，
同理7216112
2+⋅+
=
m m GD ， 则四边形AGBD 面积7216
11721612
1
2
12222+⋅+
⋅+⋅+=⋅=m
m m m GD AB S ⎥
⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
++=)1(1885)1(242222m m m m ，
令)2(122
≥=+
μμm
m
,则1701211842
++=μμS 是关于μ的增函数,
则当2=μ时，S 取得最小值,且为88. 即当且仅当
1
±=m 时，四边形
AGBD
面积的最小值为
88。

………………………12分
21解：(I ）函数)(x f 的定义域为),0(+∞，求导数得
2222/)
1
)((1)1(111)(x
a x a x x x a a x x x a a x f ---=++--=--+
= 令0)(/=x f 解得a
x a x 1==或
0)(,11
,0)(,10110,1//><<<<
<∴<<∴>x f x a
x f a x a
a 时当时当
故
)
(x f 在
)1
,0(a
上单调递减，在
)1,1(a
上单调递
增。

……………………………5分 （II ）由题得，当3≥a 时
)0,)(()(21212/1/x x x x x f x f ≠>且＝ 即
111
1112
2
2211--+=--+
x x a a x x a a 2121211
11x x x x x x a a +=+
=+∴ 2
21212121)2
(
0,x x x x x x x x +<∴≠>且 恒成立 a
a x x x x x x x x a a x x x x x x 14,410,)(41212
12121212
2121+
>
++>+=+∴>++>∴
整理得，又
令0)
1()1(4)(,1414
)(222/
2<+-=+=+
=a a a g a a a
a a g 则
)(a g ∴在),3[+∞上单调递减
)(a g ∴在),3[+∞上的最大值为5
6)3(=g 5
621>
+∴x x
即线段PQ 中点横坐标的取值范围为),5
3
(+∞。

(12)
分
22。

解：（I ）连接DE ,因为ACED 是圆内接四边形，所以,BCA BDE ∠=∠ 又,CBA DBE ∠=∠DBE ∆∴∽CBA ∆，即有,CA
DE BA
BE =
又因为AC AB 2=，可得,2DE BE =
因为CD 是ACB ∠的平分线，所以DE AD =， 从而AD BE 2=；分5
（II ）由条件知62==AC AB ,设t AD =，
则62,2+==t BC t BE ，根据割线定理得BC BE BA BD ⋅=⋅， 即),62(26)6(+⋅=⨯-t t t 即018922
=-+t t
，
解得2
3=t 或6-（舍去），则.2
3=AD 分10
23。

解：（I ）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数) 直线l 的普通方程为062=-+y x ……………………………5分 （II ）曲线C 上任意一点()2cos ,3sin P θθ到l 的距离为5
3sin 65
d θθ=+-
则()25
6sin 305
d PA θα=
=+-，其中α为锐角，且4tan 3α=
当1)sin(-=+αθ时，PA 225
当
1
)sin(=+αθ时，
PA
取得最小值，最小值为
25
……………………………10分
24.解：（I ）由()2g x ≥-得52≤+x ，解得37-≤≤x
所以不等式的解集是{}37≤≤-x x ……………………………5分 （II)设()()()21+21h x f x g x x x =-=-+-
则
()⎪⎩
⎪⎨⎧+---=x x x x h 3223
2
12
122
≥
<<--≤x x x 所以()2
3≥x h
所以对应任意R x ∈，不等式()()2+≥-m x g x f 恒成立，得2
32≤+m ，得2
1-≤m
所以m 的取值范围是2
1-≤m 。

……………………………10分。