高中数学分数阶导数

分数阶导数
1引言
我们都熟悉的导数的定义。

通常记作1
()()df x D f x dx 或 222
()()d f x D f x dx 或这些都是很容易理解的。

我们同样也熟悉一些有关导数的性质，例如[()()]()()D f x f y Df x Df y +=+但是
像这样的记号1/21/2
1/2
()D ()d f x f x dx
或者又代表什么意思呢？大多数的读者之前肯定没有遇到过导数的阶数是1/2的。

因为几乎没有任何教科书会提到它。

然而，这个概念早在18世纪，Leibnitz 已经开始探讨。

在之后的岁月里，包括L’Hospital, Euler,Lagrange, Laplace, Riemann, Fourier, Liouville 等数学大家和其他一些数学家也出现过或者研究过的概念。

现在，关于“分数微积分”的文献已经大量存在。

近期关于“分数微积分”的两本研究生教材也出版了，就是参考文献[9]和[11]。

此外，两篇在会议上发表的论文[7]和[14]也被收录。

Wheeler 在文献[15]已编制了一些可读性较强，较易理解的资料，虽然这些都还没有正式出版。

本论文的目的是想用一种亲和的口吻去介绍分数阶微积分。

而不是像平常教科书里面的从定义-引理-定理的方法介绍它。

我们寻找了一个新的想法去介绍分数阶导数。

首先我们从熟悉的n 阶导数的例子开始，比如D n ax
n ax
e a e =。

然后用其他数字取代自然数字n 。

这种方式，感觉像是侦探一样，步步深入。

我们将寻求蕴含在这个构思里面的数学结构。

我们在探讨了各种思路，对分数阶导数的概念后，才对分数阶导数给出正式定义。

（如果想快速浏览它的正式定义，请参见米勒的优秀论文，参考文献[8]。

）
随着探究的深入，我们会不时地让读者去思考一些问题。

对这些问题的答案将在本文的最后一节呈现。

那到底什么是一个分数阶导数呢？让我们一起来看看吧……
2指数函数的分数阶导数
我们将首先研究指数函数ax e 的导数。

因为他们导数的形式，比较容易推广。

我们熟悉ax
e 的
导数的表达式。

12233,,ax ax ax ax ax ax
D e ae D e a e D e a e ===，在一般情况下，当n 为整数时，n ax n ax D e a e =。

那么我们能不能用1/2取代n ，并记作1/21/2ax ax
D e a e =呢？我们何不尝试一下？
为什么不更进一步，让n 是一个无理数或者复数比如1+i ？ 我们大胆地写作
ax ax D e a e αα=， （1）
对任意一个α，无论是整数，有理数，无理数，还是复数。

当α是负整数时，考虑（1）
式的意义是很有趣的。

我们自然希望有1(())ax ax e D D e -=成立。

因为1(())ax
ax e D e a
=，所以我们有1()ax ax D e e dx -=⎰。

同理2()ax ax D e e dxdx -=⎰⎰。

当α是负整数时，我们将D α
看作是
n 次迭代的积分是合理。

当α是正实数，D α代表导数，当α是负实数，D α
代表积分。

请注意，我们还没对一般函数给出分数阶导数的定义。

但是，如果这一定义被发现，我们期望指数函数的分数阶导数遵循关系式（1）。

我们注意到，刘维尔在他的论文[5]和[6]中就是采用这种方法去考虑微分的。

问题
问题1：在上述情况下，
12121212()a x a x a x a x
D c e c e c De c De α+=+成立吗？
问题2：在上述情况下，
ax ax D D e D e αβαβ+=成立吗？
问题3：上述1()ax ax D e e dx -=⎰和2()ax ax D e e dxdx
-=⎰⎰，真的正确吗？还是遗漏了一些东西？
问题4：用蕴含在（1）式的想法，怎样对一般性的函数求分数阶导数？
3三角函数：正弦函数和余弦函数
我们对于正弦函数的导数很熟悉：
012sin sin ,sin cos ,sin sin ,D x x D x x D x x ===
-这些对于寻求1/2
sin D
x ，并没有明显的规律。

但是，当我们画出这些函数的图形时，会挖掘出
其中的规律。

即每当我们求一次微分，sin x 的图像向左平移/2π。

所以对sin x 求n 次微分，
那么得到的图像就是sin x 向左平移/2n π，即得到
sin sin()
2n n D x x π
=+。

如前，我们用任意数α替换正整数n 。

所以，我们得到正弦函数的任意α次导数的表达式，同理我们也得到余
弦函数的：
sin sin(),cos cos().
2
2
D x x D x x αααπ
απ
=+
=+
（2）
在得到表达式（2）之后，我们自然想，这个猜测与指数函数的结果是否保持一致。

为了验证这个猜测，我们可以使用欧拉公式cos sin ix
e x i x =+。

利用表达式（1），我们可以计算得到
(/2)cos()sin()
2
2ix ix i ix D e i e e e x i x ααπααπ
απ
===+
++
，这与（2）式是吻合的。

问题
问题5：
sin()D ax α
是什么？
4p
x 的导数
我们现在看看x 次方的导数。

我们以p
x 为例有：
012,,(1),
,
(1)(2)(1).(3)p p p p p p n p p n D x x D x px D x p p x D x p p p p n x -===-=---+
表达式（3）用连乘()!p n -的分子和分母去替换，则得到结果如下
(1)(2)(1)()(1)1!(4)()(1)1()!
p p n p n p p p p n p n p n p x x x p n p n p n -----+---==----
上式就是n p
D x 的一般表达式。

我们通过伽玛函数，用任意数α替换正整数n 。

当（4）式中的
p 和n 是不是自然数时，伽玛函数使他们在替换后任然有意义。

伽马函数是欧拉在18世纪引进
的概念。

当时是推广记号!z ，当z 不是整数时。

它的定义是1
()d t z z e t
t ∞
--Γ=⎰
，它具有这样的
性质(+1)!z z Γ=。

那么我们可以将表达式（4）重新写作(1)
,(1)
n
p
p n p D x x p n -Γ+=
Γ-+这使得当n 不是整数式，
（4）式还是有意义的。

所以对于任意的α，我们写作
(1)
(5)(1)
p p p D x x p αα
α-Γ+=
Γ-+
利用（5）式，我们可以将分数阶导数延伸到很多的函数。

因为对于任意给定的函数，我们
可以利用Taylor 级数展开成多项式的形式，0
(),n
n n f x a x
∞
==∑假设我们可以对()f x 进行任意次
微分，那么我们得到
(1)
().
(6)(1)
n
n n n
n n n D f x a D x a x n α
α
αα∞∞
-==Γ+==Γ-+∑∑
最终那个表达式（6）呈现出具有作为分数阶导数定义候选项的气质。

因为大量的函数都可以利用Taylor 公式展开成幂级数的形式。

然后，我们很快会发现它会导致矛盾的产生。

问题
问题6：()D f x α
是否有几何意义？
5一个神秘的矛盾
我们将x
e 的分数阶导数写为
(7)x x
D e e α=
现在让我们拿它与（6）式进行对比，看看他们是否一致。

从Taylor 级数来看，0
1,!x
n
n e x n ∞
==
∑结合（6）式，我们得到如下表达式 0
.(8)(1)n
x
n x D e n α
α∞
==Γ-+∑
但是，（7）及（8）是不等价的，除非α是整数。

当α是整数时，（8）式的右侧是x
e 的级数形式，只是用不同的表达方式。

但是当α不是整数时，我们得到两个完全不一样的函数。

我
们发现了历史上引起大问题的矛盾。

这看起来好像我们，指数函数的分数阶导数的表达式（1）与次方函数的分数阶导数的公式（6）是相互矛盾。

正是因为有这样一个矛盾，所以分数阶微积分一般不会出现在初等阶段的教科书里面。

在传统的微积分中，导数的次数是整数次的，求导的函数是初等函数。

不幸的是，在分数阶微积分中，这是不正确的。

通常，一个初等函数的分数阶导数是较高级的超越函数。

关于分数阶导数的表格，请参阅文献[3]。

此时，您可能会问我们怎么继续探究呢？这个谜团将在之后的部分中被解决。

敬请关注……
6多重迭代积分
我们一直在谈论导数。

积分也是反复被提及的。

我们可以写1
()()D f x f x dx -=⎰，但是等
式右边是不确定的。

我们可以写作1
()()x
D f x f t dt -=
⎰。

第二次积分可以写成
2
2
1120
()()x
t D f x f t dt dt -=⎰
⎰。

积分区域是图1中的三角形。

如果我们交换积分的顺序，那么图
1的右侧图可以表现出1
2
1210
()()x x
t D f x f t dt dt -=
⎰⎰。

因为1()f t 不是一个关于2t 的函数，所以可以将里面的积分移到外面，即
1
21211110
()()()()x x x
t D f x f t dt dt f t x t dt -==-⎰⎰⎰
或者2
()()()x
D
f x f t x t dt -=-⎰。

使用相同的过程步骤，我们可以写出
3243
0011()()(),()()(),223x x D f x f t x t dt D f x f t x t dt --=
-=-⋅⎰⎰ 在一般情况下，
1
1()()().(1)!x n n D f x f t x t dt n --=
--⎰
现在，我们用先前做的方法，用任意数α替换n -，用伽玛函数替换阶乘，然后得到
101()().(9)()()
x f t dt
D f x x t ααα+=Γ--⎰ 这个一般性的表达式（使用积分）的分数阶导数表达式，有成为定义的潜力。

但是存在一
个问题。

如果1,α>-该积分是反常积分。

因为当,0.t x x t →-→对任意0α≥，积分是发散的。

当10,α-<<反常积分收敛。

所以当α是负数时，原表达式是正确的。

因此当α是负数时（9）式收敛，即它是一个分数阶次积分。

在我们结束这一部分之前，需要提下，趋于零的下极限是任意的。

可以简单的认为存在下极限b 。

但是会造成最后结果表达式的不同。

正因为如此，很多这个领域的研究人员使用符号
()b
x D f x α。

这个符号说明了极限过程是从b 到x 的。

这样我们从（9）式得到
1
1()().(10)()()x b x
b f t dt
D f x x t α
αα+=Γ--⎰
问题
问题7：如下分数阶微分b 的下极限是什么？
(1)
()()(1)
p p b x p D x c x c p ααα-Γ+-=
-Γ-+
7解秘
现在，你可以开始去发现前面哪些地方出错了。

我们对于分数阶积分包含极限，并不感到惊讶。

因为积分是涉及到极限的。

然而普通的导数不涉及积分的极限，没有人希望分数阶导数
包含这样的极限。

我们认为，导数是函数的局部性质。

分数阶导数的符号D α既包含导数（α是正数）又有积分（α是负数）。

积分是处于极限之中的。

事实证明，分数阶导数也是处于极限之中的。

出现该对矛盾的原因是，我们使用了两种不同的极限。

现在，我们可以解决这个谜团了。

秘密是什么？让我们停下来想一想。

表达式（1）中指数函数起作用的极限是什么？记得我们要期望写成
11.(11)x
ax
ax ax
b x b D e
e dx e a
-==⎰
b 取什么值时，将得到这个答案？由于在（11）式中积分就是11.x
ax ax ab b
e dx e e a a
=
-⎰
为了得到我们想要的形式，只有当
10ab
e a
=时。

即.ab =-∞如果a 是正数，那么b =-∞。

这种类型的拥有下极限为-∞的积分，有时也称为Weyl 分数阶导数。

从（10）的符号，我们可以将（1）写做.ax
ax x D e
a e αα-∞=
极限在公式（5）p
x 的导数中是起什么作用？我们有11
1.11
p p x
p
p
b x
b
x b D x x dx p p ++-=
=-++⎰
同样，我们希望
1
01p b p +=+。

当0b =时，结论是成立的。

所以我们觉得将（5）的符号写成0(1)(1)
p p
x p x D x p αα
α-Γ+=
Γ-+更准确。

因此，表达式（5）中隐含了p
D x α的下极限为0。

然而，表达式（1）中ax
D e α的下极限为-∞。

这个差异就是（7）和（8）为什么不等价的原因。

在（7）中我们计算ax
x D e α-∞，在（8）中我们计算0ax
x D e α。

如果读者希望继续这一研究，我们推荐Miller 的一篇很好的论文[8]，和由Oldham 和Spanie 合著的优秀图书[11]，以及Miller 和Ross 合著的优秀图书[9]。

这两本书都包含了从很多文献角度分数阶微积分简短精要的历史。

由Miller 和Ross 合著的图书[9]很好地讨论了分数阶微分方程。

Wheeler 的注记[14]是另一个这方面一流的介绍性文章，具有很高的推广普及价值。

Wheeler 给出了几个简单的应用例子，而且阅读起来非常有趣。

其他的历史性文献请参考[1，2，4，5，6，10，13]。

8问题的解答
以下是文章中8个问题的简短回答。

问题1：成立的，这个性质是保持的。

问题2：成立的，这个由关系式（2.2）很容易证明。

问题3：遗漏了一些东西。

遗漏的是积分常数。

应该是这样的
1122112
ax ax ax ax ax ax D e e dx a e c D e e dx a e c x c ----==+==++⎰⎰⎰
问题4：将()f x 展开成傅立叶级数形式，()inx
n
n f x c e
∞
=-∞
=∑。

假设我们可以连续次地取分
数阶微分，我们得到()()inx
n
n D f x c in e
α
α∞
=-∞
=
∑。

问题5： sin()sin(/2)D ax a ax α
α
απ=+。

问题6：我们知道1
()D f x 表示()y f x =的曲线斜率，2
()D f x 表示曲线的凹凸性。

但三
阶和更高阶导数给出的几何意义很少或根本没有。

那么对于这些特殊的导数()D f x
，分数阶导数没有简单的几何意义对我们来说也并不感到惊讶了。

问题7：分数阶微分的下极限是""c 。