初中数学有理数运算题快速解题5大方法汇编

专题1有理数的巧算
有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、
法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．
1．有理数的概念：有理数是整数（正整数，0，负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合．⎧⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎨⎪
⎪⎪
⎧
⎫⎪⎨⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎭⎩⎩⎪
⎪⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎭⎩⎩负整数有理数实数正分数分数有限小数或无限循环小数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数正整数正有理数正实数正分数
正无理数实数零
负整数负有理数负实数负分数负无理数⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎩⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎪
⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪
⎪⎩⎩
典例1（2020年广东惠州模拟卷）下列实数中的无理数是A．0.3762528B．（-22
））
C．cos30°
D．一、有理数的基本概念
【答案】C
【精准解析】0.3762528，（-2
2
）， ꗸ是有理数，cos30°是无理数.故选B.
典例
2（2020·佛山模拟卷）下列各数中比2大比3小的无理数是B． C．2
1
D．5.5
【答案】B
【精准解析】因为2< <3，且 是无理数，故选项B 正确．典例3， ,32,
，
sin60°，0，tan45°，上面的数据中有理数分别为（），无理数分别为
（
），
【答案】有理数（0,1314147， ，32,，
，0，tan45°），无理数（
，，sin60°）．
1．加法运算：
（1）同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；（2）若不相等，取绝对值较大的符号，并用绝对值大的减去小的；（3）一个数同0相加最好也是这个数；
（4）互为相反数可以先相加，符号相同的也可以先相加，分母相同的也可以先相加，几个数相加等于整数的也可以先相加．
典例1（2020·惠州模拟卷）|3|＋（-3）＋ ＋（-2）2
【答案】解：原式=3＋（-3）＋2＋4=9＋（-3）=6
【精准解析】主要考查有理数的加法运算，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值
二、有理数的运算法则
相加
典例2（2020·广州模拟卷）-|-6|＋（-2）0＋33＋（-tan45°）
【答案】解：原式=-6＋1＋9＋（-1）
=-6＋9
=-3
【精准解析】主要考查有理数的加法运算，异号两数相加，若绝对值相等，则互为相反数相加等于0，若不相等，取绝对值较大的符号，并用绝对值大的减去小的
2．减法运算：减去一个数，等于加上这个数的相反数，也就是说，我们看到减法，可以统一转化为加法．
典例1（2020·深圳模拟卷）sin30°－（-4）＋（-1）2011－cos60°－|－4|
【答案】解：原式=0.5－4－1－0.5－4
法则运算
3．乘法运算：
（1）同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数和0相乘都得0；
（3）几个不等于0的数相乘，符号由负因数的、个数决定，当负因数个数有奇数个，积为负，偶数个时，积为正；
（4）几个数相乘，有一个因数为0，积等于0；
（5）几个不等于0的数相乘，首先确定积的符号．
4．除法法则：
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，全部转化为乘法之后，按乘法的运算法则计算5．乘方运算：
（1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数
（2）正数的任何次幂都是正数，零的任何正数次幂都是零，（3）零的零次幂没有意义；
（4）1的任何次幂都是1，－1的偶数次幂是1，奇数次幂是－1
典例1（2020·深圳模拟卷）4×（-8）×（-2.5）×1.25×|-5|×tan45°
【答案】解：原式=4×（-2.5）×（-8）×1.25×5×1
=（-10）×10×5
=-500
【精准解析】主要考查有理数的乘法运算，还有有理数运算的技巧，两数相乘为整数放一起，还有同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，几个不等于0的数相乘，符号由负因数的个数决定，当负因数个数有奇数个，积为负，偶数个时，积为正
典例2（2020·广州模拟卷）sin60°×|-9|÷cos30°×（-2）×（3）-2
【答案】
-2
=2×（-2=-4
【精准解析】】主要考查有理数的乘除法运算，还有有理数运算的技巧，两数相除等于1或者两数相乘等于整数的放在一起相乘，还有同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，几个不等于0的数相乘，符号由负因数的个数决定，当负因数个数有奇数个，积为负，偶数个时，积为正．
1．括号的使用：在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．
典例1计算下式的值：364×62+38×573+62×636+427×38
【答案】解：原式=（364＋636）×62＋（573＋427）×38善于运用括号
=1000×62＋1000×38
三、有理数的巧算
=（62＋38）×1000把整数合并在一起运算
=100000
【精准解析】】本题主要考察善于运用括号，如果直接计算会比较麻烦，加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．
典例2计算下式的值：105×95
【答案】解：原式=（100＋5）×（100－5）善于运用括号
=1002－52
=10000－25
=9975转化为整数平方差
【精准解析】】本题主要整数平方差运算，这样会简便好算，这样可以大大提高学习效率
典例3计算2＋4＋6＋8＋……＋1994＋1996＋1998的值
分析
【答案】
S=2＋4＋6＋8＋……＋1994＋1996＋1998（1）
再将S各项倒过来写为
S=1998＋1996＋1994＋1992＋……＋6＋4＋2（2）
然后把（1）＋（2）得
2S=2000＋2000＋2000……＋20001000个2000
2S=1000×2000
所以S=1000×2000÷2=1000000．
典例4某公司16名女员工体重分别如下:56,54,47,48,55,44,45,52,46,53,58,42, 59,47,41,55（kg）
请计算他们的总体重
【答案】分析：如果直接把这些数据相加，会是个很大的计算量，大概我们估算一下，他们
一直徘徊在50kg，所以我们可以把50作为基准数，大于90的取正，小于90我们取负，这样计算可以大大的减少运算时间
因此总体重为=16×50＋（6）＋（4）＋（－3）＋（－2）＋（5）＋（4）＋（－6）＋（－5）＋（2）
＋（－4）＋（3）＋（8）＋（－8）＋（9）＋（－3）＋（－9）＋（5）=800
＋2
=802
所以最终的总体重为802．
2．错位相减法
典例5求1＋3＋32
＋33
＋34
＋……＋353
＋354
＋355
的值【答案】令S=1＋3＋32
＋33
＋34
＋……＋353
＋354
＋3
55
（1）
则2S=3＋32
＋33
4
53
54
55
56
因此
S=356
－1
【精准解析】】本题主要考察有理数巧算的错位相减法，这个可以把一组比较大的数据计算快速的解决出来3．拆项数法典例6计算
1
1×
＋1
× ＋1
×
1
×
＋……..＋1
98×99．
【答案】原式=1－1
＋
1
−
1 ＋1
－1
＋1
－1
＋…..＋198－199=1－1
99
=9899
【精准解析】本题主要考察有理数巧算的拆项数法，如果把一组比较多的分数通过通分会比较
麻烦．
4．加法的结合律简算
典例7计算2－4－6＋8＋10－12－14＋16＋……＋2000
【答案】原式=（2－4－6＋8）＋（10－12－14＋16）＋…….（1994－1996－1998＋2000）=0＋0＋…….＋0
=0．
【精准解析】本题主要考察有理数加法的结合律简算，2－4－6＋8=010－12－14＋16=0.．．．
1994－1996－1998＋2000=0
5．凑零拼整法
典例8计算0.76＋45＋0.24＋|55|＋123＋50－73＋87.5＋11.5
【答案】原式=（0.76＋0.24）＋（45＋|55|）＋（123＋50－73）＋（87.5＋11.5）=1＋100＋100＋99
可以大大提高学习效。