2018版高考数学一轮复习 选修系列 14.1 坐标系与参数方程 第2课时 参数方程 理

第2课时 参数方程
1．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出
另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝f t ，y ＝g t
就是曲线的参数方程．
2．常见曲线的参数方程和普通方程
1．直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋t ，
y ＝2－3t (t 为参数)，求直线l 的斜率．
解 将直线l 的参数方程化为普通方程为y －2＝－3(x －1)，因此直线l 的斜率为－3. 2．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1－2t ，y ＝2＋kt
(t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝s ，
y ＝1－2s
(s 为参数)垂直，求k
的值．
解 直线l 1的方程为y ＝－k 2x ＋4＋k 2，斜率为－k
2
；
直线l 2的方程为y ＝－2x ＋1，斜率为－2. ∵l 1与l 2垂直，
∴(－k
2
)×(－2)＝－1⇒k ＝－1.
3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝4t 2
，
y ＝4t
(t 为参数)上，求|PF|的值．
解 将抛物线的参数方程化为普通方程为y 2
＝4x ，则焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又
P (3，m )在抛物线上，由抛物线的定义知|PF|＝3－(－1)＝4.
4．(2016·北京东城区模拟)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的
原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1＋4t ，
y ＝3t
(t
为参数)，求直线l 与曲线C 相交所截的弦长． 解 曲线C 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝1， 直线l 的普通方程为3x －4y ＋3＝0. 圆心到直线的距离d ＝|3×0－4×0＋3|32＋42
＝3
5. ∴直线l 与曲线C 相交所截的弦长为2
1－
3
5
2
＝85
.
题型一 参数方程与普通方程的互化
例1 (1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2
＋y 2
－x ＝0的参数方程．
(2)在平面直角坐标系中，已知直线l
的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋s ，
y ＝1－s (s 为参数)，曲线C 的参
数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t ＋2，
y ＝t 2
(t 为参数)，若l 与C 相交于A ，B 两点，求|AB|的长．
解 (1)圆的半径为12，记圆心为C (12，0)，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋1
2cos 2θ＝
cos 2
θ，
y P ＝1
2
sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．
所以圆的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝cos 2
θ，
y ＝sin θcos θ(θ为参数)．
(2)直线l 的普通方程为x ＋y ＝2，曲线C 的普通方程为y ＝(x －2)2
(y ≥0)，联立两方程得
x 2－3x ＋2＝0，求得两交点坐标为(1,1)，(2,0)，所以|AB|＝ 2.
思维升华 消去参数的方法一般有三种：
(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数；
(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．
将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围．
(1)求直线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋t ，
y ＝－1－t (t
为参数)与曲线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3cos α，
y ＝3sin α(α为参数)的交
点个数．
(2)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝t ，y ＝t －a
(t 为参数)过椭圆C ：
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝3cos φ，y ＝2sin φ
(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值．
解 (1)将⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋t ，
y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；
将⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3cos α，
y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2
＝9.
又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝
2
2
<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点． (2)直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 2
4
＝1，
∴椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)， 则3－a ＝0，∴a ＝3. 题型二 参数方程的应用 例2 已知直线l
的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a －2t ，
y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．
(1)求直线l 和圆C 的普通方程；
(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 解 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2
＋y 2
＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，
故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，
解得－25≤a ≤2 5.
思维升华 已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般是把参数方程化为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨
⎧
x ＝5cos θ，y ＝5sin θ
⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1－2
2t ，
y ＝－2
2
t (t 为参数)，求曲线C 1与C 2的交点坐标．
解 曲线C 1的普通方程为x 2
＋y 2
＝5(x ≥0，y ≥0)． 曲线C 2的普通方程为x －y －1＝0.
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x －y －1＝0，
x 2＋y 2
＝x ≥0，y ，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝1.
∴曲线C 1与C 2的交点坐标为(2,1)． 题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用
例3 (2015·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t cos α，
y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，
其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；
(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值．
解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－23x ＝0.
联立⎩⎨⎧
x 2＋y 2
－2y ＝0，x 2＋y 2
－23x ＝0，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3
2，y ＝32.
所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝
⎛⎭
⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB|＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π
6
时，|AB|取得最大值，最大值为4.
思维升华 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．
在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极
坐标方程为ρ＝22cos(θ＋π
4)，直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝t ，y ＝－1＋22t
(t 为参数)，直
线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点． (1)求圆心的极坐标； (2)求△PAB 面积的最大值． 解 (1)由圆C 的极坐标方程为 ρ＝22cos(θ＋π
4)，得
ρ2
＝22(
22ρcos θ－2
2
ρsin θ)， 把⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ
代入可得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2
－2x ＋2y ＝0，
即(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝2. ∴圆心坐标为(1，－1)， ∴圆心的极坐标为(2，7π
4
)．
(2)由题意，得直线l 的直角坐标方程为22x －y －1＝0.
∴圆心(1，－1)到直线l 的距离d ＝
|22＋1－1|2
2
＋－
2
＝223
，∴|AB|＝2r 2－d 2
＝
2
2－89＝2103
. 点P 到直线l 的距离的最大值为r ＋d ＝2＋223＝52
3，
∴S max ＝12×2103×523＝105
9
.
1．求直线⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1－1
2t ，y ＝32t (t 为参数)被曲线⎩⎨
⎧
x ＝cos θ，
y ＝3sin θ
(θ为参数)所截得的弦
长．
解 直线方程可化为3x ＋y －3＝0， 曲线方程可化为x 2
＋y 2
3
＝1.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝－3x ＋3，x 2＋y 2
3＝1，得x 2
－x ＝0，
∴x ＝0或x ＝1.
可得交点为A (0，3)，B (1,0)． ∴AB ＝1＋3＝2. ∴所截得的弦长为2.
2．直线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4＋at ，y ＝bt (t 为参数)与圆⎩⎨
⎧
x ＝2＋3cos θ，
y ＝3sin θ
(θ为参数)相切，求切线的
倾斜角．
解 直线的普通方程为bx －ay －4b ＝0，圆的普通方程为(x －2)2
＋y 2
＝3，直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为3，从而有3＝|2b －a ·0－4b |a 2＋b
2
，即3a 2＋3b 2＝4b 2
，∴b ＝±3a ，而直线的倾斜角的正切值为tan α＝b a ，∴tan α＝±3，因此切线的倾斜角为π3或2π
3
.
3．已知直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2
2
t －2，
y ＝22
t (t 为参数)，以直
角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程．
解 ∵直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0. ∴原点到直线的距离r ＝
22
＝1.
∴以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程为ρ＝1.
4．(2015·湖北)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t －1t
，y ＝t ＋1
t
(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，求|AB|的长．
解 直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x －y ＝0，曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t －1
t
，y ＝t ＋1
t
两式经过平方相减，化为普通方程为y 2－x 2
＝4，联立
⎩⎪⎨⎪⎧
3x －y ＝0，
y 2
－x 2
＝4
解得⎩⎪⎨
⎪⎧ x ＝－2
2，y ＝－322
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2
2，y ＝322.
所以A ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－
22，－322，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，322. 所以|AB|＝
⎝ ⎛
⎭⎪⎫－22
－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－3222＝2 5.
5．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2t ，
y ＝2t 2
(t 为参数)，在以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρsin(θ＋π
4
)＝22，求曲线C 1与曲线C 2的交点个数． 解 曲线C 1，C 2化为普通方程和直角坐标方程分别为x 2
＝2y ，x ＋y －4＝0，联立
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＝2y ，x ＋y －4＝0，消去y 得x 2
＋2x －8＝0，因为判别式Δ>0，所以方程有两个实数解．故曲
线C 1与曲线C 2的交点个数为2.
6．(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2
＋y 2
＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
(2)直线l 的参数方程是⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝10，
求l 的斜率．
解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2
＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．
设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2
＋12ρcos α＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝
ρ1＋ρ
2
2－4ρ1ρ2＝144cos 2
α－44.
由|AB |＝10得cos 2
α＝38，tan α＝±153.
所以l 的斜率为
153或－153
. 7．(2015·陕西)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝3＋1
2t ，y ＝32t
(t 为参数)．以
原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程；
(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解 (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2
＝23ρsin θ， 从而有x 2
＋y 2
＝23y ， 所以x 2
＋(y －3)2
＝3.
(2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1
2t ，32t ，又C (0，3)，
则|PC|＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
2t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，PC 取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3,0)．
8．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy
中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a cos t ，
y ＝1＋a sin t (t 为参
数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在
C 3上，求a .
解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2
＋(y －1)2
＝a 2
，C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆． 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2
－2ρsin θ＋1－a 2
＝0.
(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组
⎩
⎪⎨
⎪⎧
ρ2
－2ρsin θ＋1－a 2
＝0，
ρ＝4cos θ.
若ρ≠0，由方程组得16cos 2
θ－8sin θcos θ＋1－a 2
＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2
θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2
＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1.
a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．
所以a ＝1.
9．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1＋1
2t ，y ＝32
t ，(t
为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝cos θ，
y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B
两点，求线段|AB|的长．
解 直线l 的方程化为普通方程为3x －y －3＝0， 椭圆C 的方程化为普通方程为x 2
＋y 2
4
＝1，
联立方程组得⎩
⎪⎨⎪⎧
3x －y －3＝0，
x 2＋y 2
4＝1，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＝1
y 1＝0或⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 2＝－1
7
，
y 2
＝－837
，
∴A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
7，－837.
故|AB|＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋172＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫0＋8372＝167.
10．(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝3cos α，
y ＝sin α
(α
为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标系方程；
(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解 (1)C 1的普通方程为x 2
3＋y 2
＝1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.
(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．
因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2距离d (α)的最小值，
d (α)＝
|3cos α＋sin α－4|2
＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋
π
6
(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，12.。