江西省信丰中学2018届高三上学期数学周练四含答案

信丰中学2017－2018学年第一学期高三数学（理科)周考一试题命题人：温日明审题人：高三数学备课组一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1.下列说法中，正确的个数是（）
①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题为假命题;
②“全等三角形面积相等”的逆命题为真命题;
③“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”的逆否命题为假命题；
④已知a，b，m∈R，命题“若am2＜bm2，则a＜b”为真命题；
⑤“x＞3”是“x＞2”的必要不充分条件．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2.已知A={x|x ≥k},B=｛x｜
3
1
x+＜1}，若A⊆B，则实数k的取值范
围为（）
A．（1,+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（2,+∞）D．[2，+∞）
3.若
4
cos
5
α=-,α是第三像限的角，则
1tan
2
1tan
2
α
α
+
-=（）
A．﹣B．C．2 D．﹣2
4.已知a＞0,b＞0,若不等式
31
3
m
a b a b
--≤
+恒成立,则m的最大值为（)
A．4 B．16 C．9 D．3
5. 设456
log12,log15,log18
a b c
===,则（）
A．c b a
>>B．b c a
>>C．a c b
>>D．a b c
>>
6.已知函数
f(x ）=sin （2x+12π
）， f ′（x ）是
f （x ）的导函数,则函数
y=2f （x)+f ′（x ）的一个单调递减区间是（ ） A ．［，] B ．［﹣，] C ．[﹣,
]
D ．［﹣，
]
7.在下面的四个图像中,其中一个图像是函数
f(x ）=1
3x 3+ax 2+（a 2﹣1）
x+1(a∈R）的导函数y=f ′（x ）的图像,则f （1）等于( ）
A ．
B ．
C ．﹣
D ．﹣或
8.已知函数
f （x)=sin （ωx+φ）(ω＞0,｜φ|＜2π
）的最小正周期为
π，
且其图像向左平移3π
个单位后得到函数
g(x ）=cosωx 的图像，则函数
f （x ）的图像（ ）
A ．关于直线x=对称
B ．关于直线x=对
称
C ．关于点（，0）对称
D ．关于点(
，0）对称
9.设x ，y 满足约束条件
4312x y x
x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，则23
1x y x +++的取值范围是（
）
A ．［1，5］
B ．[2,6］
C ．［2,10］
D ．[3，11]
10.已知定义在（0，+∞）上的单调函数f(x ），对∀x∈（0,+∞），都
有f [f （x ）﹣lnx]=e+1，则函数g （x ）=f （x ）﹣ f ′（x ）﹣e 的零点所在区间是（ ）
A ．（1，2）
B ．（2,3)
C ．(，1）
D ．(0，) 11。

已知S n 是等比数列｛a n ｝的前n 项和，
1361
,920a S S =
=，设
T n =a 1•a 2•a 3•…•a n ，则使得T n 取最小值时，n 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 12。

已知定义在R 上的函数
f （x ）是奇函数且满足，f （3
2
﹣x ）=f
（x)，f （﹣2）=﹣3，数列{a n } 满足a 1=﹣1，且S n =2a n +n ，（其中S n 为{a n } 的前n 项和)．则f （a 5）+f （a 6)=（ )[来源:学。

科.网Z.X.X.K ］
A ．3
B ．﹣2
C ．﹣3
D ．2
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.下列命题中
①若log a 3＞log b 3，则a ＞b ；
②函数f （x ）=x 2﹣2x+3,x∈[0，+∞)的值域为［2，+∞）；
③设g(x ）是定义在区间[a ，b]上的连续函数．若g(a ）g （b)＞0，则函数g （x ）无零点； ④函数
既是奇函数又是减函数．
其中正确的命题有 ．
14。

设函数f(x ）对x≠0的实数满足f(x ） ﹣2f （x
1）=﹣3x+2，那么⎰
21
dx
)x (f = ．
15。

已知函数f(x ）是R 上的减函数，且y=f （x ﹣2）的图像关于点（2，0）成中心对称．若u ，v
满足不等式组()(1)0(1)0f u f v f u v +-≤⎧⎨
--≥⎩，则
u 2+v 2
的最小值为 ．
16.如图,在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB,AD 上的点，且
32 43
AM AB AN AD =
=，，连接AC,MN 交于P 点，若
AP AC
λ=，则λ的值为
三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. （本小题满分12分）如图，D 是△ABC 内一点，角A ，B,C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足∠D=2∠B ，
cos∠D=
3
1
-，AD=2，△ACD 的面积
是42．
（1）求线段AC 的长；
（2）若BC=43，求线段AB 的长．
18。

(本小题满分12分)2016世界特色魅力城市200强新鲜出炉，包括黄山市在内的28个中国城市入选．美丽的黄山风景和人文景观迎
来众多宾客．现在很多人喜欢自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人,得如下所示的列联表：
赞成“自助游”
不赞成“自助游"
合计
男性 30 女性 10
合计
100
(1）若在100这人中，按性别分层抽取一个容量为20的样本，女性应抽11人，请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料能否在犯错误的概率不超过0。

05前提下,认为赞成“自助游”是与性别有关系？
（2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节游客中随机抽取3人赠送精美纪念品，记这3人中赞成“自助游"人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 附：K 2=
19。

（本小题满分12分）设S n ，T n 分别是数列{a n }，{b n }的前n 项
P(K 2
≥k)
0.100 0.050 0。

010 0.001 k
2。

706
3.841
6。

635
10.828
和，已知对于任意n∈N*,都有3a n=2S n+3，数列{b n}是等差数列，且T5=25，b10=19．
(Ⅰ）求数列｛a n}和{b n}的通项公式；
（Ⅱ)设c n=，求数列{c n}的前n项和R n，并求R n的最小值．20。

（本小题满分12分)某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．
（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
21。

(本小题满分12分）已知a为实常数，函数f（x）=lnx，g（x)=ax ﹣1．
(Ⅰ）讨论函数h（x)=f(x）﹣g（x)的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）有两个不同的交点A(x1，y1)、B（x2，y2），其中x1＜x2．
（ⅰ）求实数a的取值范围;
（ⅱ）求证:﹣1＜y1＜0，且122
y y
e e
+>．(注：e为自然对数的底数）
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
22。

（本小题满分10分)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方
程为
2cos
1sin
x t
y t
α
α
=+
⎧
⎨
=+
⎩(t为参数，0＜α＜π)，曲线C的极坐标方程为
ρsin2θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ)设点P的直角坐标为P（2，1）,直线l与曲线C相交于A、B 两点，并且,求tanα的值．
23。

(本小题满分10分)设函数f（x）=|x﹣a|﹣2|x﹣1|．
(Ⅰ)当a=3时,解不等式f(x)≥1；
（Ⅱ）若f（x）﹣｜2x﹣5｜≤0对任意的x∈［1，2]恒成立,求实数a的取值范围．
信丰中学2017－2018学年第一学期高三数学（理科）周考一试题答案
（每人一大张)
1———12。

BCAB DAAC DACA
13。

②④14. 15。

1
216。

6
17
17。

解：（1）由cos∠D=﹣，可得sin∠D=，
△ACD的面积是4=AD×CD×sin∠D
解得：CD=6
在△ACD中由余弦定理：AC2=AD2+CD2﹣2×AD×CD×cos∠D=48∴AC=4
（2）由已知:∠D=2∠B，即cos∠D=cos2∠B=1﹣2sin2B=．
∴sinB=
在△ABC中,BC=4，AC=4
即AC=BC，
由正弦定理:，即
∴AB=8（也可以用等腰三角形求线AB的一半）．
18。

解：（1）
赞成“自助游"不赞成
“自助
游”
合计
男性301545
女性451055
合计7525100
将2×2列联表中的数据代入计算，得K2的观测值：
，
∵3。

030＜3。

841,∴在犯错误的概率不超过0。

05前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系．
(2)X的所有可能取值为:0，1，2，3，依题意
，X的分布列为：
X0123
P(X）
．
19.解：(Ⅰ）由3a n=2S n+3，当n=1时,3a1=2a1+3，解得a1=3;
当n≥2时，3a n﹣1=2S n﹣1+3，
从而3a n﹣3a n﹣1=2a n,即a n=3a n﹣1，∴数列｛a n｝是等比数列，公比为3,
因此a n=3n．
设数列{b n}的公差为d，∵T5=25，b10=19．
∴，解得b1=1，d=2，
因此b n=2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：c n====﹣，
数列｛c n｝的前n项和R n=++…+=﹣3．因为c n＞0，所以数列{R n}单调递增．
所以n=1时，R n取最小值时,故最小值为．
20。

解：（Ⅰ）设每件定价为x元,则提高价格后的销售量为，根据销售的总收人不低于原收入，有，
整理得x2﹣65x+1000≤0,
解得25≤x≤40．
∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．（Ⅱ)依题意，x＞25时，
不等式有解，
等价于x＞25时，有解，
∵（当且仅当x=30时，等号成立），
∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元
∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
21。

解：（Ⅰ）h′（x）=﹣a，（x＞0）．
当a≤0时,h′（x）＞0，函数h（x)在（0，+∞）单调递增；
当a＞0时，h′(x）=，
令h′（x）＞0,解得0＜x＜；令h′(x）＜0，解得x＞．
∴函数h（x）的单调递增区间为（0,)，单调递减为（,+∞）．
综上可得：当a≤0时，函数h（x)在（0，+∞）单调递增;
当a＞0时，函数h(x）的单调递增区间为（0，），单调递减为（，+∞)．
（Ⅱ）（ⅰ）函数f(x）与g（x）有两个不同的交点A(x1，y1）、B（x2，y2），其中x1＜x2．
等价于函数h（x）有两个不同的零点x1,x2,其中x1＜x2．
由（Ⅰ)知,当a≤0时，函数h（x)在(0,+∞）上是增函数,不可能有两
个零点，
当a＞0时,h（x）在（0，）上是增函数,在（，+∞）上是减函数，此时h(）为函数f（x）的最大值，
当h（）≤0时，h(x)最多有一个零点，∴h（)=ln＞0,解得0＜a ＜1，
此时,＜＜,且h（）=﹣1﹣+1=﹣＜0，
h（）=2﹣2lna﹣+1=3﹣2lna﹣（0＜a＜1），
令F（a）=3﹣2lna﹣,则F’(x）=﹣+=＞0,
∴F（a)在(0，1)上单调递增，
∴F（a）＜F(1)=3﹣e2＜0，即h(）＜0，
∴a的取值范围是（0，1）．
(ii)∵h(x）=lnx﹣ax+1在（0，）上是增函数，在（，+∞)上是减函数，
∴h(）=﹣1﹣+1=﹣＜0,h（1)=1﹣a＞0，
故＜x1＜1，即﹣1＜f（x1）＜0，∴﹣1＜y1＜0,
构造函数G（x）=h（﹣x）﹣h（x）=ln（﹣x）﹣a（﹣x）﹣（lnx ﹣ax），（0＜x≤），
则G′（x）=＜0，∴G（x）在（0，］递减，
∵0＜x1＜，∴G(x1）＞G（）=0，
∵h(x1）=0，
∴h（﹣x1)=ln（﹣x1）﹣a(﹣x1）+1﹣h(x1)=G（x1）＞0=h）x2），∴由（Ⅰ）得：x2＞﹣x1,即+＞＞2，
∴122
y y
+>e．
e e
22。

解:(I)∵ρsin2θ=4cosθ,∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．[来源:学＊科＊网］
（II）将代入y2=4x，得sin2α•t2+(2sinα﹣4cosα）t﹣7=0，所以，
所以,或,即或．[来源：学科网ZXXK］23.解：（Ⅰ）f（x)≥1，即|x﹣3｜﹣|2x﹣2｜≥1[来源:学_科_网
Z_X_X_K]
x≤时，3﹣x+2x﹣2≥1，∴x≥0，∴0≤x≤1；
1
1＜x＜3时，3﹣x﹣2x+2≥1，∴x≤，∴1＜x≤；
x≥3时，x﹣3﹣2x+2≥1,∴x≤﹣2∴1＜x≤，无解，…
所以f（x）≥1解集为［0，］．…
(Ⅱ）当x∈［1，2］时，f（x）﹣|2x﹣5｜≤0可化为|x﹣a|≤3，∴a﹣3≤x≤a+3，…(7分）
∴，…（8分）
∴﹣1≤a≤4．…（10分)。