2021届高考理科数学模拟卷(全国Ⅱ卷)(有答案) (1)

2021届高考理科数学模拟卷（全国Ⅱ卷）
一、选择题 1.若
π2π()33k k α
=+∈Z ，则2
α
的终边在( ) A.第一象限 B.第四象限 C.x 轴上 D.y 轴上
2.已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知16
(1)45
P ξ==且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )
A.10%
B.20%
C.30%
D.40% 3.已知等差数列{}n a 的前 n 项和为53,8,6n S a S ==,则107S S -的值是( )
A.24
B.48
C.60
D.72
4.已知点(2,0),(0,2)A B -，若点P 在函数y =的图象上，则使得PAB 的面积为2的点P 的个数为( ) A.1
B.2
C.3
D.4
5.已知数列{}n a 中,111,3,n n n a a a S +=+=为其前 n 项和,则2017S =( )
A.3 009
B.3 025
C.3 010
D.3 024
6.已知圆柱的上、下底面的中心分别为12,O O ,过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )
A.
B.
C.12π
D.10π
7.已知椭圆22
21(02)4x y b b
+=<<，直线1x y +=与椭圆交于,P Q 两点，若OP OQ ⊥，则椭圆的离心
率为( )
8.已知奇函数()f x 在R 上是增函数,若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
,()2log 4.1b f =,()0.8
2c f =,则,,a b c 的大小关系为( ) A. a b c <<
B. b a c <<
C. c b a <<
D. c a b <<
9.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,E F 分别为11,AB A B 的中点，则三棱锥C DEF -的外接球体积为( )
10.若函数()log 2a y ax =-为增函数，则函数log a y x =的大致图象是( )
A. B.
C. D.
11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S +=-，数列{}n b 满足21n n b a n λ⎛⎫
=⋅-
⎪+⎝⎭
，若对于任意*n ∈N ，不等式1n n b b +<都成立，则实数λ的取值范围是( ) A.1
()3
+∞,
B.1,3⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C.1,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
D.[)0+∞,
二、填空题
12.
已知向量,,|||2==a b a b ,且()-⊥a b a ,则向量 a 和 b 的夹角是____________,()⋅+=a a b _______________.
13.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 .
14.若复数z 满足i 12i z ⋅=+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为______________. 15.若,x y 满足约束条件0,20,360,x y x y x y +≤⎧⎪
-+≤⎨⎪++≥⎩
则4z x y =-+的最大值为_________.
三、解答题
16.在ABC 中，角A B C ,,的对边分别为a b c ,,
，已知3,45a c B ===︒.
（1）求sin C 的值；
（2）在边BC 上取一点D ，使得4
cos 5
ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值.
17.血红蛋白是高等生物体内负责运输氧气的一种蛋白质血红蛋白的值现在多统一采用国际单位制，以每升血液中有血红蛋白多少克为准血红蛋白的正常值因不同人群而有不同的范围，成年男性的是120~160g /L ，成年女性的是110~150g /L .成年男性的血红蛋白值低于120g /L ，成年女性的血红蛋白值低于110g /L 即为贫血.某医师测得20名成年男性和20名成年女性的血红蛋白值(g /L)，并将所得数据整理后作出了如下频率分布直方图
（1）求成年男性、成年女性的贫血率
（2）根据贫血情况列出22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为贫血与性别有关系
（3）从贫血的人中按照分层随机抽样的方法抽取6人，现从这6人中选4人到上级医院全面评估其健康状况求其中至少有3名成年女性的概率. 附：2
2
(),()()()()
n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++
18.已知椭圆122:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点
重合.过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于,A B 两点，交2C 于,C D 两点，且4
3
CD AB =. （1）求1C 的离心率；
（2）设M 是1C 与2C 的公共点.若5MF =，求1C 与2C 的标准方程. 19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面,ABC ABC 和
1A AC 都是正三角形，D 是
AB 的中点.
（1）求证：1
BC 平面1A DC ；
（2）求二面角11A DC C --的余弦值. 20.已知函数()()2
ln 12
a f x x x x
b =
---,,R a b ∈. (1) 当-1b =时,讨论函数()f x 的零点个数；
(2) 若()f x 在()0,+∞上单调递增,且2e a b c +≤求c 的最大值. 21.[选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y α
α
=⎧⎨=+⎩ (α为参数），以坐标原点O 为极
点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为π1
sin 32
ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.
(1)求直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程； (2)若直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求MON △的面积. 22.已知函数()54f x x x =-++. (1)求不等式()12f x ≥的解集.
(2)若关于x 的不等式()13210a f x ---≥恒成立,求实数a 的取值范围.
参考答案
1.答案：D 解析：
ππ2π(),6ππ(),3π()3322k k k k k k α
αα=+∈∴=+∈∴=+∈Z Z Z .当k 为奇数时，2
α
的终边在y 轴的非正半轴上；当k 为偶数时，2α的终边在y 轴的非负半轴上.综上，2
α
的终边在y 轴上，故选D. 2.答案：B
解析：设10件产品中存在n 件次品，从中抽取2件，其次品数为ξ，由16
(1)45
P ξ==
得11
102
10C C 16C 45
n n
-⋅=，化简得210160n n -+=，解得2n =或8n =.又∵该产品的次品率不超过40%，4n ∴≤，应取2n =，即这10件产品的次品率为
2
20%10
=. 3.答案：B
解析：设等差数列{}n a 的公差为 d .由题意可得513148,336,a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得10,
2.a d =⎧⎨=⎩则
1078910132448
S S a a a
a d -=++=+=.故选B.
4.答案：C
解析：本题考查直线方程、点到直线的距离公式.
由题知AB =PAB
的高为h ，则1
22
PAB
S
=⨯=，解得h P 到直线AB 易知直线AB 的方程为
20x y --=.
设点(
,
P P x
22p x =-
①或22
P x --=②.由①得0P x =或1P x =；由②知方程只有一个正实数根，所以点P 的个数为3，故选C. 5.答案：B
解析：数列{}n a 中,111,3n n a a a +=+=,可得2342,1,2,
a a a ===,即奇数项为1,偶数项为2,则()()()20171234201520162017S a a a a a a a =++++
+++=33313100813025++
++=⨯+=.故选B.
6.答案：C
解析：设圆柱的底面半径为r ,高为h ,由题意得22,8r h h ==,
所以r h =,所以圆柱的表
面积为222π2π2π8π12πr rh +=⨯+=.故选C. 7.答案：C
解析：设()()1122,,,P x y Q x y ，由2221,41,x y b x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得()
222
48440b x x b +-+-=，所以1222
12
28,444.4x x b b x x b ⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
因为OP OQ ⊥，所以()12121212210OP OQ x x y y x x x x ⋅=+=-++=，得24
7
b =
，所以椭圆的离心率7
e ==. 8.答案：C
解析：由题意: ()2
21log log 55a f f ⎛
⎫
=-= ⎪⎝⎭
, 且: 0.8
22log 5log 4.12,122>><<,
据此: 0.8
22log 5log 4.12
>>,
结合函数的单调性有: ()()()
0.822log 5log 4.12f f f >>, 即,a b c c b a >><<.本题选择C 选项. 9.答案：C
解析：如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，连接11,FC FD ，三棱锥C DEF -的外接球即为三棱柱11C D F CDE -的外接球，在CDE △中，取CD 中点H ，连接EH ，因为EH 为CD 的垂直平分线，所以CDE △的外心在EH 上，设为点M ，同理可得11C D F △的外心N ，连接MN ，则三棱柱外接球的球心为MN 的中点设为点O ，因为2222EM CM CH MH ==+，2,1MH EM CH =-=，可得54EM CM ==，所以2
222514OC MO CM ⎛⎫
=+=+ ⎪⎝⎭
，解得OC =，所以
3
4π3V ==⎝⎭
.
10.答案：A
解析：由函数()log 2a y ax =-有意义可知0a >且1a ≠，故2y ax =-为减函数， 又函数log ()2a y ax =-为增函数，所以log a y x =为减函数，故01a <<. 又当0x >时，函数log log a a y x x ==单调递减，
且易知函数log a y x =为偶函数，所以函数log a y x =的图象为选项A 中的图象. 11.答案：A
解析：当1n =时，211222a S ==-=，当2n ≥时，1n n n a S S -=-()()
122222n n n
+=---=，
因为当1n =时，1122a ==，所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =，所以221n n b n λ=⋅-+⎛⎫
⎪⎝⎭
. 因为1n n b b -<，所以1
222221n n n n λλ+⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝-+⎭<，即22221
n n λλ⎛⎫ ⎪
⎝<⎭--++，得4221n n λ>-++. 令()()42
121g x x x x =-≥++，则()()
()
2
2
4
2
21g x x x '=-
+
++()
()()
222
2212x x x -=
+
+(
()()
22
212x x x x -=-
++，
易得x 时，()g x 取得最大值，因为*n ∈N ，所以()g n 的最大值为()1g 或()2g ， 又()()1123g g ==，所以1
3
λ>，故选A
12.答案：
π6
;6 解析：设向量,a b 的夹角为 θ,
因为|||2==a b ,且()-⊥a b a ,
所以22()||||||||cos 3cos 0θθ-⋅=-⋅=-=-=a b a a a b a a b ,
解得cos θ.又0πθ≤≤,所以π6
θ=,
所以2()||||||cos 36θ⋅+=+⋅⋅=+=a a b a a b . 13.答案：120
解析:先安排3个歌舞类节目，它们的次序有四种可能:1，3，5或2，4，6或1，3，6或1，4，
6.
对于前两种情况，其余节目任意排，共有66272⨯⨯=种排法；对于后两种情况，要注意2个小品类节目不相邻，共有64248⨯⨯=种排法.综上所述，共有120种排法. 14.答案：2 解析：复数12i
(12i)(i)2i i
z +==+-=-的实部是2. 15.答案：15
解析：画出变量,x y 满足约束条件的平面区域,如图中阴影部分所示.平移直线40x y -+=至经过直线0x y +=与360x y ++=的交点()3,3A -时,4z x y =-+取得最大值,max (3)4315z =--+⨯=.
16.答案：（1）在ABC 中，因为3,45a c B ︒===，
由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得292235b ︒=+-⨯=，
所以b =在ABC 中，由正弦定理
sin sin b c
B C
=
，
所以sin C =
.
（2）在ADC 中，因为4
cos 5
ADC ∠=-，
所以ADC ∠为钝角，
而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒，所以C ∠为锐角，
故cos C sin 1
tan cos 2
C C C ==.
因为4cos 5ADC ∠=-
，所以3
sin 5ADC ∠，
sin 3
tan cos 4
ADC ADC ADC ∠∠=
=-∠.
从而()
tan tan 180san()DAC ADC C ADC C ︒∠=-∠-∠≠-∠+∠ 31
tan tan 24211tan tan 11
1432
ADC C ADC C -+
∠+=-=-=-∠⨯⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭. 解析：
17.答案：（1）成年男性的贫血率为(0.0250.0250.125)20.35++⨯=. 成年女性的贫血率为(0.050.100.150.40)10.7+++⨯=.
（2）成年男性的贫血人数为200.357⨯=，成年女性的贫血人数为200.714⨯=. 根据贫血情况可得22⨯列联表如下：
成年男性 4.912 3.8412020211957
k ==≈>⨯⨯⨯
所以有95%的把握认为贫血与性别有关系.
（3）按分层随机抽样的方法抽取的这6人中有成年男性 76221⨯
=（人），成年女性14
6421
⨯=（人） 从这6人中选4人，至少有3名成年女性包括1名成年男性、 3名成年女性和4名成年女性两种情况，则至少有3名成年
女性的概率134
244
4
6C C C 3C 5
p +==. 解析：
18.答案：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =.
不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为22
,b b a a
-；,C D 的纵坐标分别为2,2c c -，
故2
||2|,|4b B CD c a
A ==.
由4||||3CD AB =得2843b c a =，即2
322c c a a ⎛⎫
⨯=- ⎪⎝⎭
.解得2c a =-（舍去），12c a =.
所以1C 的离心率为
1
2
.
（2）由（1）知2,a c b ==，故22
122:143x y C c c
+=.
设()00,M x y ，则220
2
2
143x y c
c
+
=，2
04y cx =， 故
2
2
4134x x c
c +
=.① 由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而|5MF =|，故05x c =-，代入①得 22
(5)4(5)
134c c c c
--+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为22
13627
x y +=，2C 的标准方程为212y x =.
解析：
19.答案：（1）如图，连接1AC ，交1A C 于点E ，连接DE ，
由于四边形11A ACC 是平行四边形，所以E 是1AC 的中点. 因为D 是AB 的中点，所以1DE
BC .
因为DE ⊂平面11,A DC BC ⊂/平面1A DC ， 所以1
BC 平面1A DC .
（2）如图，取AC 的中点O ，连接1,AO BO ， 根据ABC 和
1A AC 都是正三角形，得1
,AO AC BO AC ⊥⊥. 又平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，所以1A O ⊥平面ABC ，于是1
AO BO ⊥.
以O 为坐标原点，分别以1,,OB OC OA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设2AC =
，则111(0,1,0),,0,2A C D C ⎫
-⎪⎪⎝⎭
.
所以11333135
,,0,,,3,222CD A D DC ⎛⎫⎛⎫⎛=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎝⎭
⎝⎝
. 设平面1A DC 的法向量为(,,)x y z =m ，则 10
CD A D ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩m
m
，即3
02
1
02
y y -=-=，令3x =，则
1y z ==
，所以
=m .
设平面1DCC 的法向量为(,,)a b c =n ，
则100
CD DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
，即3
02
502
b b -=⎨⎪++=⎪⎩，令3a =，则1b
c ==-， 所以1)=-n .
设二面角11A DC C --的大小为θ，由图易知θ为锐角， 则||11cos ||||13
θ⋅=
=⋅m n m n ，
因此二面角11A DC
C --的余弦值为1113
. 解析：
20.答案：(1)当-1b =时, ()2
ln 2
a f x x x x =-,定义域为()0,+∞, 由()0f x =可得
ln 2a x
x
=
,
令()ln x g x x =, 则()2
1ln 'x g x x -=, 由()'0g x >,得0e x <<,由()'0g x <,得e x >,
所以()g x 在()0,e 上单调递增,在()e,+∞上单调递减,
则 ()g x 的 最 大 值 为()1e e
g =, 且当e x >时, ()10e g x << ,当0e x <≤时,()1e
g x ≤ , 由此作出函数()g x 的大致图象,如图所示.
由图可知,当20e a <<
时,直线2a y =和函数()g x 的图象有两个交点,即函数()f x 有两个零点； 当12e a =或 02a ≤,即2e a =或0a ≤时,直线2
a y =和函数()g x 的图象有一个交点,即函数()f x 有一个零点； 当12e a > 即2e a >时 ,直线2
a y =与函数()g x 的 象 没 有 交 点 ,即 函数()f x 无零点. (2)()f x 在()0,+∞上单调递增,即()'ln 0f x ax
b x =+-≥在()0,+∞上恒成立. 设()ln h x ax b x =+-,则 ()1'h x a x
=-. ①若0a =,则()'0h x <,()h x 在()0,+∞上 单 调递减,显 然()'ln 0f x b x =-≥ 在()0,+∞上不恒成立,
②若0a <,则()'0h x <,()h x 在()0,+∞上单调递减, 当max ,1b x a
>-时, 0,ln 0ax b x +<-< ,故()0h x <,()f x 单调递减,不符合题意.
③若 0a >,当10x a <<
时,()'0h x <, ()h x 单调递减, 当1x a
>时 ,()'0h x > , ()h x 单调递增, 所以()min 11ln h x h b a a ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭
, 由()min 0h x ≥ ,得221ln a b a a +≥--,
设()21ln ,0m x x x x =-->,则()1'2m x x =-, 当102x <<
时 , ()'0m x < , ()m x 单调递减, 当12
x >时, ()'0m x > , ()m x 单调递增, 所以()1ln 22m x m ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭
,所以2ln2a b +≥, 又2a b c e +≤,所以2c ≤,即c 的最大值为2.
解析：
21.答案：
(1)由π1sin 32
ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 1θρθ-=10y --=，
故直线l 10y --=. 由2cos 22sin x y αα
=⎧⎨=+⎩，消去α，得()2224x y +-=， 故曲线C 的普通方程为()2224x y +-=.
(2)因为圆心()0,2C 到直线l 的距离32
d ==，
所以MN ==. 又原点O 到直线l 的距离1'
2
d ==，
所以MON △的面积为1122=. 解析：
22.答案：(1)原不等式等价于5,5412x x x >⎧⎨-++≥⎩或45,5412x x x -≤≤⎧⎨-++≥⎩或4,5(4)12,
x x x <-⎧⎨--+≥⎩ 解得132x ≥或x ∈∅或112
x ≤-. ∴不等式的解集为1311|22x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩
⎭或. (2)不等式13()210a f x ---≥恒成立等价于13min ()21a f x -≥+, 即()13min 5421a x x --+++≥.
()()54549x x x x -++≥--+=,当且仅当()()540x x --+≤, 即45x -≤≤时,等号成立.
13921a -∴≥+,则133a -≤,解得23
a ≥-, ∴实数a 的取值范围是2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
.。