合肥一六八中学2025届高三上学期十月段考数学试卷(含答案)

合肥一六八中学2025届高三上学期十月段考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知集合{A x x =<,1ln 3B x x ⎧⎫
=<⎨⎬⎩⎭,则A B =( )
A.{}
x x
B.{x x <
C.{}
0x x <<
D.{0x x <<
2．设a ,b 均为单位向量55b a b -=+”是“a b ⊥”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3．已知数列{}n a 满足()111n n a a +-=,若11a =-,则10a =( )
A.2
B.2-
C.-4．已知实数a ,b ,c 满足0a b c <<<,则下列不等式中成立的是( )
A.1a b b +
>+a
b
<<bc >
5．已知a ∈R ,2sin cos αα+=2α=( )
34
6．10名环卫工人在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距15米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从（1）到（10）依次编号,为使每名环卫工人从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )
A.（1）和（10）
B.（4）和（5）
C.（5）和（6）
D.（4）和（6）
7．设0.1e 1a =-,b =ln1.1=,则( ) A.b c a <<
B.c b a <<
C.a b c <<
D.a c b <<
8．定义在R 上的奇函数()f x ,且对任意实数x 都有()302f x f x ⎛⎫
--+= ⎪⎝⎭,()2024f =
若()()0f x f x '+->,则不等式()1f x +>
A.()3,+∞
B.(),3-∞
C.()1,+∞
D.(),1-∞
二、多项选择题
9．已知O 为坐标原点,点()1cos1,sin1P ,()2cos2,sin 2P -,()3cos3,sin3P ,()1,0Q ,则( )
12OP OP =
12QP QP =
312OP OP OP ⋅=⋅ D.123OQ OP OP OP ⋅=⋅
10．三次函数()32f x x ax =++叙述正确的是( ) A.当1a =时,函数()f x 无极值点 B.函数()f x 的图象关于点()0,2中心对称 C.过点()0,2的切线有两条
D.当3a <-时,函数()f x 有3个零点
11．已知()2sin 2f x x =+,对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,都存在2π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,使得
()()123f x f x α=+成立,则下列选项中, α可能的值是( )
三、填空题
12．已知复数13i +与3i 在复平面内用向量OA 和OB 表示（其中i 是虚数单位,O 为坐标原点）,则OA 与OB 夹角为______.
13．函数2x y m m =-+在(],2-∞上的最大值为4,则m 的取值范围是______.
14．设a 、b 、[]0,1c ∈,则M =四、解答题
15．已知ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,cos sin 0a C C b c --=. （1）求角A ;
（2）已知8b =,从下列三个条件中选择一个作为已知,使得ABC △存在,并求出ABC △的面积.
条件①:cos B ==16．某地区上年度天然气价格为 2.8元/3m ,年用气量为3 m a .本年度计划将天然气单价下调到2.55元/3m 至2.75元/3m 之间.经调查测算,用户期望天然气单价为2.4元/3m ,下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为k ）.已知天然气的成本价为2.3元/3m .
（1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y （单位:元）关于实际单价x （单位:元/3m ）的函数解析式;（收益=实际用气量×（实际单价－成本价））
（2）设0.2k a =,当天然气单价最低定为多少时,仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加20%?
17．已知函数()f x =0≠,a ∈R ）,且()f x 是奇函数.
（1）求a 的值;
（2）若[]1,2x ∀∈,都有()()20f x mf x -≥成立,求实数m 的取值范围. 18．已知函数()()2ln f x x x =- （1）讨论函数()f x 的单调性;
（2）求函数()f x 在()()
22e ,e f 处切线方程;
（3）若()f x m =有两解1x ,2x ,且12x x <,求证:2122e e x x <+<. 19．（1）若干个正整数之和等于20,求这些正整数乘积的最大值.
（2）①已知1a ,2a ,…,n a ≥②若干个正实数之和等于20,求这些正实数乘积的最大值.
参考答案
1．答案：D
解析：1ln 03x x <⇒<<,23e 2<,66
11
32
e 2⎛⎫⎛⎫<⇒< ⎪ ⎪∴⎝⎭
⎝⎭2．答案：C
解析：
55b a b -=+”,∴平2
2
2
2
25102510a b a b a b a b +-⋅=++⋅,即
200a b ⋅=,则0a b ⋅=,即a b ⊥,反之也成立.故选C. 3．答案：C
解析：因为1n a +=
11=-,所以2a =32=,41a =-,所以数列{}n a 的周期为3,所
以101a =-.故选C. 4．答案：B
解析：对于A,因为a b <<1b
>,所以1a b b +<
对于B,因为a b <<()()()()22
22022a b b a a b a b a b a b b a b b +-+--==<++,故B 正确;
对于C,当2a =-,1b =-,c =13==<对于D,因为a b <,0c >,所以ac bc <,故D 错误.故选B. 5．答案：B
解析：2sin cos αα+=
)2
2sin cos αα+=224sin cos cos αααα++=
=α=-22tan 21tan ααα==-6．答案：C
解析：设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为x ,则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为:1152151015S x x x =-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯. 若
S
取最
小值,则函数
()()()()2
2
2
22221210101101210y x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-=-+++⋅⋅⋅+也取最小值,由二次
函数的性质,可得函数()2222101101210y x x =-+++⋅⋅⋅+的对称轴为 5.5x =,又∵x 为正整数,故5x =或6.故选C 7．答案：A
解析：构造函数()ln f x x =+
0x >,则()1f x x '=0x >, 当()0f x '=时,1x =,01x <<时,()0f x '<,()f x 单调递减;
1x >时,()0f x '>,()f x 单调递增.
()f x ∴在1x =处取最小值()11f =,1
ln 1x x
>-∴,（0x >且1x ≠）,
10ln1.1111>-
=∴c b >;
构造函数()1e 1ln x g x x -=--,1x >,()1e x g x -'=-
1x >,1e x ->1<,()0g x ∴'>,()g x 在()1,+∞上递增, ()()10g x g ∴>=, 1.11e 1ln1.1-->∴,即0.1e 1ln1.1->,a c ∴>.故选A. 8．答案：C
解析：因为()f x 是奇函数,所以()f x '是偶函数,因为()()0f x f x '+->,
所以()()0f x f x '+>,令()()e x g x f x =,()()()e 0x
g x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦,()g x 在R 上单调
递增.
又因为()302f x f x ⎛⎫
--+= ⎪⎝⎭且()f x 是奇函数,
所以()f x 的周期为3,()2024f =()2f =所以()212e e e g =⨯=,则不等式()()()()11
1e 1e 12e x x f x f x g x g ++>⇒+>⇒+>,
因为()g x 在R 上单调递增,所以12x +>,即1x >.故选C. 9．答案：AC
解析：()1cos1,sin1P ,()2cos2,sin 2P -,()()()3cos 12,sin 12P ++,()1,0Q ,
()1cos1,sin1OP ∴=,()2cos 2,sin 2OP =-,()()()3cos 12,sin 12OP =++,()1,0OQ =,
()1cos11,sin1QP =-,()2cos21,sin 2QP =--121OP OP ==,故A 正确; 12QP =-22QP =-12QP QP ≠,故B ()3cos 12cos1cos 2sin1sin 2OQ OP ⋅=+=-,12cos1cos2sin1sin2OP OP ⋅=-,
312OQ OP OP OP ⋅=⋅∴,故C 正确;
1cos1OQ OP ⋅=,23cos2cos3sin2sin3cos5cos1OP OP ⋅=-=≠,故D 错误.故选AC. 10．答案：ABD
解析：对于A:1a =,()32f x x x =++,()2310f x x '=+>,()f x 单调递增,无极值点,故A 正确;
对于B:因为()()4f x f x +-=,所以函数()f x 的图象关于点()0,2中心对称,故B 正确; 对于C:设切点()()1,x f x ,则切线方程为()()()111y f x f x x x '-=-,因为过点()0,2,所以
()()()112f x f x x '-=-,3
31
111223x ax x ax ---=--,解得10x =,即只有一个切点,即只有一条切线,故C 错误;
对于D:()23f x x a '=+,当3a <-时,()0f x '=,x =,当,x ⎛∈-∞ ⎝
时,()0f x '>,()f x 单调递增,当x ⎛∈ ⎝
时,()0f x '<,()f x 单调递减,当
x ⎫
∈+∞⎪⎪⎭
时,()0f x '>,()f x 单调递增,()f x 有极大值为
20f ⎛=> ⎝
,所以若函数()f x 有3个零点,()f x 有极小值为
20f =<,得到3a <-,故D 正确.故选ABD. 11．答案：AC
解析：π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,[]1sin 0,1x ∴∈,()[]12,4f x ∴∈,
对任意的1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,都存在2π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,使得()()123f x f x a =+成立,
()2min f x α∴+≤
()2max f x α+≥()2sin 2f x x =+,
()2min sin x α≤∴+()2max x α+≥sin y x =在π3π,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减.在3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上
单调递增. 当3π4α=
时,23π5π,44x α⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦
,
()2max 3πsin sin 04x α+=>>()2min 5πsin 42
x α+==-<-
当α=24π15π,714x α⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦,()2max 15π7π1sin sin sin 1462x α+=>=->当6π7α=
时,26π19π,714x α⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦
,
()2max 6πsin sin 07x α+=>>()2min 19πsin 14x α+=<4πsin 3=<
当α=
28π23π,714x α⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦
,()2max 8π9πsin sin sin 78x α+=<=<故选AC.
解析：由题知(1,OA =,()0,3OB =,3
cos ,2
OA OB OA OB OA OB
⋅=
=
⋅AOB =
13．答案：(],2-∞
解析：当0m ≤时,函数2x y m m =-+的图象是由2x y =
2x y =的图象,满足题意,当02m <≤时,函数2x y m m =-+图象是由2x y =向下平移m 个单位后,再把x 轴下方的图象对称到上方,再向上平移m 个单位,根据图象可知02m <≤满足题意,2m >时不合题意.
故本题答案为(],2-∞.
3
解析：不妨设01a b c ≤≤≤≤,则M =
≤=
3
3M =≤
∴,
当且仅当b a c b -=-,0a =,1c =,即0a =,b =1=时,等号成立.
3. 15．答案：（1）π3
A = （2）10
解析：（1）因为cos sin 0a C C b c --=,
由正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=.
即:()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C -+-=,
(sin cos sin sin 0sin 0A C A C C C --=>cos 1A A -=,
即πsin 6A ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭πA <<,所以π6A -=A =（2）选条件②:7a =.
在ABC △中,由余弦定理得:2222cos a b c bc A =+-,即2227816c c =+-⋅整理得28150c c -+=,解得3c =或5c =.
当3c =时,ABC △的面积为:1
sin 2ABC S bc A ==△,
当c=5时,ABC △的面积为:1
sin 2ABC S bc A ==△
设AC 边中点为M ,连接BM ,
则BM =4AM =,
在ABM △中,由余弦定理得2222cos BM AB AM AB AM A =+-⋅⋅, 即2π21168cos
3
AB AB =+-⋅. 整理得2450AB AB --=,解得5AB =或1AB =-（舍）. 所以ABC △的面积为1
sin 2
ABC S AB AC A =⋅⋅=△16．答案：（1）见解析 （2）单价最低定为2.6元/3m
解析：（1）()2.32.4k y a x x ⎛⎫
=+-
⎪-⎝⎭
,[]2.55,2.75x ∈; （2）由题意可知要同时满足以下条件:()()[]0.2 2.3 1.2 2.8 2.32.42.55,2.75a a x a x x ⎧⎛⎫
+-≥-⎪⎪-⎝⎭
⎨⎪∈⎩, 2.6 2.75x ≤∴≤,即单价最低定为2.6元/3m .
17．答案：（1）见解析 解析：（1）()12x f x a =
⨯+()f x 是奇函数, 所以()(f x f x -=-11
12222x x x x a ⎛⎫+=-⨯+ ⎪⎝⎭,
所以11122x x a ⎛⎫⎛
⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭10+=,1a =-;
（2）因为()122x x f x =
-,[1,2x ∈21222x x x m ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭
,所以122x x
m ≥+,[]1,2x ∈, 令2x t =,[]1,2x ∈,[]2,4t ∈,由于y t =+]2,4单调递增,所以117
444m ≥+=.
18．答案：（1）见解析
（2）见解析 （3）见解析
解析：（1）()f x 的定义域为()0,+∞,()1ln f x x '=-,当()0f x '=时,e x =,当()0,e x ∈时,()0f x '>,当()e,x ∈+∞时,()0f x '<,故()f x 在区间()0,e 内为增函数,在区间()e,+∞为减函数;
（2）()2e 0f =,()22e 1ln e 1f '=-=-,所以()()
22e ,e f 处切线方程为:()()201e y x -=--, 即2e 0x y +-=;
（3）先证122e x x +>,由（1）可知:2120e e x x <<<<,要证12212e 2e x x x x +>⇔>-, 也就是要证:()()()()21112e 2e f x f x f x f x <-⇔<-,
令()()()2e g x f x f x =--,()0,e x ∈,则()()()2ln 2e 2lne 2e e 0g x x x '=--≥--=, 所以()g x 在区间()0,e 内单调递增,()()e 0g x g <=,即122e x x +>,再证212e x x +<, 由（2）可知曲线()f x 在点()
2e ,0处的切线方程为()2e x x ϕ=-, 令()()()()()222ln e 3ln e m x f x x x x x x x x ϕ=-=---+=--,
()2ln m x x '=-,()m x ∴在e x =处取得极大值为0, 故当()0,e x ∈时,()()f x x ϕ<,()()12m f x f x ==, 则()()2222e m f x x x ϕ=<=-,即22e m x +<,
又10e x <<,()()111111112ln 1ln m f x x x x x x x x ==-=+->,
2122e x x m x +∴+<<. 19．答案：（1）1458 （2）见解析
解析：（1）将20分成正整数1x ,…,n x 之和,即120n x x =+⋅⋅⋅+,假定乘积1n p x x =⋅⋅⋅已经最大.若11x =,则将1x 与2x 合并为一个数1221x x x +=+,其和不变,乘积由122x x x =增加到
21x +,说明原来的p 不是最大,不满足假设,故2i x ≥,同理()21,2,,i x i n ≥=⋅⋅⋅. 将每个大于2的22i i x x =+-拆成2,2i x -之和,和不变,乘积()224i i i x x x -≤⇒≤. 故所有的i x 只能取2,3,4之一,而42222=⨯=+,所以将i x 取2和3即可.
如果2的个数3≥,将3个2换成两个3,这时和不变,乘积则由8变成9,故在p 中2的个
数不超过2个.那只能是202333333=++++++,最大乘积为6321458⨯=;
（2）①证明:先证:1e x x -≥.
令()1e x f x x -=-,则()1e 1x f x -'=-,()10f '=,且()()10f x f ≥=,
1≥1=,2,…,n
, 1111≥=,
n -≥
0n -≥,12n
a a a n
++⋅⋅⋅+≥∴
②让n 固定,设n 个正实数1x ,…,n x 之和为20, 1n
x x n +⋅⋅⋅+=1220n
n p x x x n ⎛⎫
=⋅⋅⋅≤ ⎪⎝⎭,
要是20n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭最大,20ln n
n ⎛⎫
⎪⎝⎭最大即可,
令()()20ln ln 20ln t g t t t t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,其中*t ∈N ,()20
ln ln e g t t '=-, 7t ∴≤时,()g t 单调递增,8t ≥时,()g t 单调递减,
而()()()()87787ln 207ln 78ln 208ln 8ln 8ln 7200g g -=---=-⨯>,
所以这些正实数乘积的最大值为7
207⎛⎫
⎪⎝⎭.。