江苏省南京市白下区2013年中考数学一模试卷(解析版)

某某省某某市白下区2013年中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1．（2分）（2013•白下区一模）如果a与﹣3互为相反数，那么a等于（）
A．3B．﹣3 C．D．
考
点：
相反数．
分
析：
根据相反数的性质进行解答．
解答：解：由题意，得：a+（﹣3）=0，解得a=3．故选A．
点
评：
主要考查相反数的性质：互为相反数的两个数相加等于0．
2．（2分）（2013•白下区一模）2013年元宵节正值周末，观灯人数也创下历史新高．据统计，当天有520000游客在夫子庙地区观灯闹元宵，将520000用科学记数法表示为（）A．0.52×105B．5.2×104C．5.2×105D．5.2×106
考
点：
科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：520000=5.2×105，故选：C．
点此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
评：1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）（2013•白下区一模）下列各式中，计算结果为a6的是（）A．a2+a4B．a8﹣a2C．a2•a3D．a7÷a
考
点：
同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．
分析：A、B两项不能合并，错误；
C、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；
D、利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断．
解答：解：A、本选项不能合并，错误；
B、本选项不能合并，错误；
C、a2•a3=a5，本选项错误；
D、a7÷a=a6，本选项正确，
故选D
点评：此题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，以及同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2分）（2013•白下区一模）当x＜0时，函数y=﹣2x的图象在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考
点：
正比例函数的性质．
分析：根据正比例函数的性质可知函数y=﹣2x的图象在二、四象限，则x＜0时图象在第二象限．
解答：解：∵函数y=﹣2x的图象在第二、四象限，∵x＜0，
∴此时函数y=﹣2x的图象在第二象限．
故选B．
点评：此题比较简单，考查的是正比例函数的性质，即k＞0时，函数y=kx的图象在一、三象限；k＜0时，函数y=kx的图象在二、四象限．
5．（2分）（2013•白下区一模）如图，在矩形ABCD内，以BC为一边作等边三角形EBC，连接AE、DE．若BC=2，ED=，则AB的长为（）
A．2B．2C．+D．2+
考
点：
等边三角形的性质；矩形的性质．
专
题：
计算题．
分析：过E作EF垂直于AD，由矩形ABCD的对边平行得到AD与BC平行，进而得到EG垂直于BC，由三角形BEC为等边三角形，利用三线合一得到G为BC中点，求出BG与EB 的长，利用勾股定理求出EG的长，由对称性得到AE=DE，利用三线合一得到F为AD 的中点，由BC=AD=2，求出FD的长，再由DE的长，利用勾股定理求出EF的长，由FG=EF+EG即可求出AB的长．
解答：解：过E作EF⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴EG⊥BC，
∵△BEC为边长2的等边三角形，∴EB=2，BG=1，
根据勾股定理得：EG=，
由对称性得到△AED 为等腰三角形，即AE=DE ， ∵DE=，FD=AD=1，
∴根据勾股定理得：EF=，
则AB=FG=FE+EG=
+
． 故选C
点评： 此题考查了等边三角形的性质，勾股定理，以及矩形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．
6．（2分）（2013•白下区一模）把函数y=2x 2﹣4x 的图象先沿x 轴向右平移3个单位长度，再沿y 轴向下平移2个单位长度得到新函数的图象，则新函数是（ ）
A ． y =2（x+3）2﹣4（x+3）﹣2
B ． y =2（x ﹣3）2﹣4（x ﹣3）﹣2
C ． y =2（x+3）2﹣4（x+3）+2
D ． y =2（x ﹣3）2﹣4（x
﹣3）+2
考
点：
二次函数图象与几何变换． 分
析：
按照“左加右减，上加下减”的规律，即可求解． 解答： 解：把函数y=2x 2﹣4x 的图象先沿x 轴向右平移3个单位长度，再沿y 轴向下平移2
个单位长度后可得到函数y=2（x ﹣3）2﹣4（x ﹣3）﹣2的图象．
故选B ．
点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
7．（2分）（2013•白下区一模）分式有意义，则x的取值X 围是x≠1．
考
点：
分式有意义的条件．
专
题：
探究型．
分
析：
先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值X围即可．
解答：解：∵分式有意义，∴1﹣x≠0，
解得x≠1．
故答案为：x≠1．
点
评：
本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不等于0．
8．（2分）（2013•白下区一模）计算（+1）（2﹣）=．
考
点：
二次根式的混合运算．
分
析：
根据二次根式的混合运算直接去括号得出，再进行合并同类项即可．
解答：解：（+1）（2﹣），
=2﹣×+1×2﹣1×，=2﹣2+2﹣，
=．
故答案为：．
点评：此题主要考查了二次根式的混合运算，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并注意认真计算防止出错．
9．（2分）（2013•白下区一模）我市市区3个PM2.5监测点连续两天测得的空气污染指数数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）：61，82，80，70，56，91，该组数据的中位数是75 ．考
点：
中位数．
分
析：
根据中位数的定义求解即可．
解答：解：这组数据从小到大排列顺序为：56，61，70，80，82，91，故中位数为：=75．
故答案为：75．
点
评：
本题考查了中位数的知识，属于基础题，掌握中位数的定义是解答本题的关键．10．（2分）（2013•白下区一模）一个等腰三角形的两边长分别是2和4，它的周长是10 ．
考
点：
等腰三角形的性质；三角形三边关系．
专
题：
分类讨论．
分
析：
分2是腰长与底边两种情况讨论求解．
解答：解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2=4，
∴不能组成三角形，
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，
周长=2+4+4=10，
综上所述，它的周长是10．
故答案为：10．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定．
11．（2分）（2013•白下区一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（7，3）．
考
点：
平行四边形的性质；坐标与图形性质．
分
析：
本题可结合平行四边形的性质，在坐标轴中找出相应点即可．
解答：解：因CD∥AB，所以C点纵坐标与D点相同．为3．又因AB=CD=5，故可得C点横坐标为7．
故答案为（7，3）．
点
评：
本题考查平行四边形的基本性质结合坐标轴，看清题意即可．
12．（2分）（2013•白下区一模）如图，F、G分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，CF=DG，连接DF、EG．将△DFC绕正五边形的中心按逆时针方向旋转到△EGD，旋转角为α（0°＜α＜180°），则∠α=72 °．
考
点：
旋转的性质．
分
析：
根据正五边形的性质得出C，D是对应点，进而利用中心角求法得出答案即可．
解答：解：设正五边形ABCDE的中心为O，
∵将△DFC绕正五边形的中心按逆时针方向旋转到△EGD，∴C与D是对应点，
∴旋转角α为：=72°．
故答案为：72．
点评：此题主要考查了正五边形的性质以及图形的旋转变换，根据正五边形性质得出是解题关键．
13．（2分）（2013•白下区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BA=BC，CA=CD．若BC=10cm，CD=6cm，则AD= 3.6 cm．
考梯形；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
分析：由在梯形ABCD中，AD∥BC，BA=BC，CA=CD，易证得△BAC∽△CAD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
解答：解：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵BA=BC，CA=CD，
∴∠BAC=∠BCA，∠CAD=∠CDA，∴∠BAC=∠BCA=∠CDA=∠CAD，∴△BAC∽△CAD，
∴BC：CD=AC：AD，
∵BC=10cm，CD=6cm，
∴AC：AD=10：6=5：3，
∵AC=CD=6cm，
∴AD=3.6cm．
故答案为：3.6．
点评：此题考查了梯形的性质、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
14．（2分）（2013•白下区一模）在如图所示的正方形网格中，A、B、C都是小正方形的顶点，经过点A作射线CD，则sin∠DAB的值等于．
考
点：
勾股定理；三角形的面积；锐角三角函数的定义．
专网格型．
分析：先根据矩形的性质得出射线CD过点H，再根据勾股定理求出AB，BH及AH的长，判断出△ABH的形状，由锐角三角函数的定义即可得出结论．
解答：解：连接BH，
∵点A是矩形ECGH的中心，∴射线CD过点H，
∴AB2=32+12=10；
BH2=22+12=5；
AH2=12+22=5，
AB2=BH2+AH2，
∴△ABH是等腰直角三角形，∴sin∠DAB=sin45°=．故答案为：．
点评：本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，先根据题意判断出△ABH的形状是解答此题的关键．
15．（2分）（2013•白下区一模）课本上，公式（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2是由公式（a+b）2=a2+2ab+b2推导得出的，该推导过程的第一步是：（a﹣b）2= [a+（﹣b）]2．
考
点：
完全平方公式．
专
题：
计算题．
分
析：
在完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2推中用（﹣b）代替公式中的字母b即可．
解答：解：（a+b）2=[a+（﹣b）]2=a2+2a（﹣b）+（﹣b）2．故答案为[a+（﹣b）]2．
点
评：
本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
16．（2分）（2013•白下区一模）“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”揭示了三角形的一个外角与它的两个内角之间的数量关系，请探索并写出三角形没有公共顶点的两个外角与它的一个内角之间的数量关系：三角形没有公共顶点的两个外角之和等于与它们都不相邻的一个内角加上180°．
考
点：
三角形的外角性质．
分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式，再根据三角形的内角和定理整理即可得解．
解答：解：如图，根据三角形的外角性质，∠1=∠A+∠ACB，
∠2=∠A+∠ABC，
∴∠1+∠2=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，
根据三角形内角和定理，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠1+∠2=∠A+180°，
∴三角形没有公共顶点的两个外角之和等于与它们都不相邻的一个内角加上180°．故答案为：三角形没有公共顶点的两个外角之和等于与它们都不相邻的一个内角加上180°．
点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键是解题的关键，作出图形更形象直观．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）（2013•某某）解方程：x2﹣4x+1=0．
考
点：
解一元二次方程-配方法．
专
题：
计算题．
分析：移项后配方得到x 2﹣4x+4=﹣1+4，推出（x﹣2）2=3，开方得出方程x﹣2=±，求出方程的解即可．
解答：解：移项得：x2﹣4x=﹣1，
配方得：x2﹣4x+4=﹣1+4，
即（x﹣2）2=3，
开方得：x﹣2=±，
∴原方程的解是：x1=2+，x2=2﹣．
点评：本题考查了用配方法解一元二次方程、解一元一次方程的应用，关键是配方得出（x ﹣2）2=3，题目比较好，难度适中．
18．（6分）（2013•白下区一模）解不等式组：，并写出不等式组的整数解．
考
点：
解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
专
题：
计算题．
分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x 的整数解即可．
解
答：
解：，由①得，x≤4，由②得，x＞﹣．故原不等式组的解集为：﹣＜x≤4，
其整数解为：0、1、2、3、4．
故答案为：0、1、2、3、4．
点评：本题考查的是求一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式组解集的方法是解答此题的关键．
19．（6分）（2013•白下区一模）计算（﹣）÷．
考
点：
分式的化简求值．
专
题：
计算题．
分
析：
根据分式混合运算的法则进行计算即可．
解答：解：（﹣）÷
=[﹣]÷=•
=．
点评：本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题问题时要注意通分及约分的灵活应用．
20．（8分）（2013•白下区一模）为迎接建党90周年，某校组织了以“党在我心中”为主题的电子小报制作比赛，评分结果只有60，70，80，90，100五种．现从中随机抽取部分作品，对其份数及成绩进行整理，制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求本次抽取了多少份作品，并补全两幅统计图；
（2）已知该校收到参赛作品共900份，请估计该校学生比赛成绩达到90分以上（含90分）的作品有多少份？
考
点：
条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
专
题：
图表型．
分析：（1）结合条形统计图和扇形统计图，用100分的份数除以它所占的百分比可得本次抽取的作品总份数，再分别求出80分的份数及所占的百分比和60分所占的百分比，补全两幅统计图．
（2）运用样本估计总体的方法可知，900份作品成绩达到90分以上（含90分）的作品=900×（30%+10%）．
解答：解：（1）12÷10%=120（份），即本次抽取了120份作品．80分的份数=120﹣6﹣24﹣36﹣12=42（份），
它所占的百分比=42÷120=35%．
60分的作品所占的百分比=6÷120=5%；
（2）900×（30%+10%）=900×40%=360（份）
答：该校学生比赛成绩达到90分以上（含90分）的作品有360份．
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（8分）（2013•白下区一模）（1）如图，已知直线AB和直线外一点C．利用尺规，按下面的方法作图：
①取一点P，使点P与点C在直线AB的异侧．以C为圆心，CP的长为半径画弧，与直线AB 交于点D、E；
②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F（点F与点C在直线AB的异侧）；
③过C、F两点作直线．
（2）判断（1）中直线CF与直线AB的位置关系，并说明理由．
考
点：
作图—复杂作图．
分析：（1）根据作图方法作图即可；
（2）首先连接CD、CE、FD、FE．根据两点确定一条直线可得CF是线段DE的垂直平
分线．
解
答：
解：（1）如图所示；
（2）CF⊥AB．
理由如下：连接CD、CE、FD、FE．
由作图知CD=CE，FD=FE．
方法一：∵CD=CE，FD=FE，
∴点C、F都在线段DE的垂直平分线上．
所以CF是线段DE的垂直平分线，即CF⊥AB．
方法二：∵在△CDF和△CEF中，
∴△CDF≌△CEF（SSS）．
∴∠DCF=∠ECF．
∵CD=CE，
∴CF⊥AB．
点评：此题主要考查了基本作图，关键是掌握到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
22．（8分）（2013•白下区一模）在歌唱比赛中，一位歌手分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成3等份）一次，根据指针指向的歌曲名演唱两首曲目．
（1）转动转盘①时，该转盘指针指向歌曲“3”的概率是；
（2）若允许该歌手替换他最不擅长的歌曲“3”，即指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，求他演唱歌曲“1”和“4”的概率．
考
点：
列表法与树状图法．
分析：（1）根据转动转盘①一共有3种可能，即可得出转盘指针指向歌曲“3”的概率；（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者列表法都比较简单，解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题为放回实验．列举出所有情况，求出即可．
解答：解：（1）∵转动转盘①一共有3种可能，
∴转盘指针指向歌曲“3”的概率是：；
故答案为：；
（2）分别转动两个转盘一次，列表：（画树状图也可以）
B
A
4 5 6
1 1，4 1，5 1，6
2 2，4 2，5 2，6
3 3，
4 3，
5 3，6
共有9种，它们出现的可能性相同．由于指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，
所以所有的结果中，该歌手演唱歌曲“1”和“4”（记为事件A）的结果有2种，所以P（A）=．
（说明：通过枚举、画树状图或列表得出全部正确情况得（4分）；没有说明等可能
性扣（1分）．）
点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）（2013•白下区一模）如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是菱形；
（2）若AB=1，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH 的面积．
考
点：
菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；中点四边形．
分析：（1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH的四边相等，即可证得；
（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE的长，则正方形的面积可以求得．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，∴FG=CD，HE=CD，FH=AB，GE=AB．
∵AB=CD，
∴FG=FH=HE=EG．
∴四边形EGFH是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点，
∴GF∥DC，HF∥AB．
∴∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC．
∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°．∴∠GFH=90°．
∴菱形EGFH是正方形．
∵AB=1，
∴EG=AB=．
∴正方形EGFH的面积=（）2=．
点评：本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定以及正方形的判定，理解三角形的中位线定理是关键．
24．
（8分）
（2013•白下区一模）点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，∠DBA=∠C．（1）请判断BD所在的直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD=AO=1，求图中阴影部分的面积（结果保留根号）．
考
点：
切线的判定；扇形面积的计算．
专
题：
计算题．
分析：（1）BD所在的直线与圆O相切，理由为：连接OB，由CA为圆O的直径，利用直角所对的圆周角为直角，得到∠ABC=90°，再由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由∠DBA=∠C，得到∠DBA+∠OBA=∠OBC+∠OBA=∠ABC=90°，即BD垂直于半径
OB，可得出BD 所在的直线为圆O的切线；
（2）由BD为圆O的切线，得到三角形BDO为直角三角形，根据OB及OD的长，利用勾股定理求出BD 的长，进而由直角边BD与BO乘积的一半求出直角三角形BDO的面积，再由BO为DO的一半求出∠D=30°，进而得出∠AOB=60°，利用扇形的面积公式求出扇形AOB的面积，由直角三角形BDO的面积﹣扇形AOB的面积，即可求出阴影部分的面积．
解答：（1）BD所在的直线与⊙O相切，理由如下：
证明：连接OB，
∵CA是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠C，
∵∠DBA=∠C，
∴∠DBA+∠OBA=∠OBC+∠OBA=∠ABC=90°，
∴OB⊥BD，
∵点B在⊙O上，
∴BD所在的直线与⊙O相切；
（2）解：∵∠DBO=90°，AD=OA=OB，
∴DO=2BO，
∴∠D=30°，
∴∠AOB=60°，
∵S扇==，S△OBD=OB•BD=×1×=，∴S阴=S△OBD﹣S扇=﹣．
点评：此题考查了切线的判定，等腰三角形的判定与性质，扇形的面积求法，含30°直角三角形的性质与判定，利用了转化及等量代换的思想，其中切线的判定方法有两种：有点连接证明垂直；无点作垂线证明垂线段等于半径．
25．（8分）（2013•白下区一模）某批发商以每件50元的价格购进500件T恤．若以单价70元销售，预计可售出200件．批发商的销售策略是：第一个月为增加销售量，降价销售，经过市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价高于购进的价格；第一个月结束后，将剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．
（1）按照批发商的销售策略，销售完这批T恤可能亏本吗？请建立函数关系进行说明；（2）从增加销售量的角度看，第一个月批发商降价多少元时，销售完这批T恤获得的利润为1000元？
考
点：
二次函数的应用．
分析：（1）根据题意直接用含x的代数式表示出销量以及每件利润即可得出答案；
（2）利用“获利1000元”，即销售额﹣进价=利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍．
解答：解：（1）解法一：设第一个月单价降低x元，批发商销售完这批T恤获得的总利润为y元．
根据题意，得y=（70﹣50﹣x）（200+10x）+（40﹣50）×[500﹣（200+10x）]
=﹣10x2+100x+1000．
批发商销售这批T恤可能亏本，理由如下：（答案不唯一，以下方法供参考）
方法一：当x=17（或18或19）时，y＜0．
方法二：当y=0时，x=5+5（负根舍去）．
又因为当5+5＜x＜20时，y随x的增大而减小，
所以当x=17或18或19时，y＜0．
解法二：设第一个月单价降低x元，当月出售T恤获得的利润为y1元，清仓剩余T恤获得的利润为y2元．
根据题意，得y1=（70﹣50﹣x）（200+10x）=﹣10x2+4000，
y2=（40﹣50）×[500﹣（200+10x）]=100x﹣3000．
批发商销售这批T恤可能亏本，理由如下：（答案不唯一，以下方法供参考）
方法一：当x=17（或18或19）时，y1+y2＜0．
方法二：当y 1+y2=0时，x=5+5（负根舍去）．
又因为当5+5＜x＜20时，y1+y2随x的增大而减小，
所以当x=17或18或19时，y1+y2＜0．
（2）设第一个月单价降低x元时，销售完这批T恤获得的利润为1000元．
根据题意得﹣10x2+100x+1000=1000．
解这个方程，得x1=0，x2=10．
从增加销售量的角度看，取x=10．
答：第一个月单价降低10元时，销售完这批T恤获得的利润为1000元．
点评：此题主要考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．有关销售问题中的等量关系一般为：利润=售价﹣进价．
26．（10分）（2013•白下区一模）问题：如图，要在一个矩形木板ABCD上切割、拼接出一个圆形桌面，可在该木板上切割出半径相等的半圆形O1和半圆形O2，其中O1、O2分别是AD、BC上的点，半圆O1分别与AB、BD 相切，半圆O2分别与CD、BD相切．若AB=am，BC=bm，求最终拼接成的圆形桌面的半径（用含a、b的代数式表示）．
（1）请解决该问题；
（2）①下面方框中是小明简要的解答过程：
解得x=．
所以最终拼接成的圆形桌面的半径为m．
老师说：“小明的解答是错误的！”请指出小明错误的原因．
②要使①中小明解得的答案是正确的，a 、b需要满足什么数量关系？
考
点：
圆的综合题．
分析：（1）设半圆O2与BD 的切点为E，连接O2E，则O2E⊥BD，根据∠C=90°，得出
O2E=O2C，DC=DE=a，最后根据O2B2=BE2+O2E2，得出（b﹣EO2）2=（﹣a）2+O2E2，求出EO2即可，
（2）①小明的错误是“O1O2=2x”，②要使小明解得的答案是正确的，就要半圆O1与半圆O2外切即可
解答：解：（1）如图，设半圆O2与BD 的切点为E，连接O2E，则O2E⊥BD，∵半圆O2与CD 相切，且∠C=90°，
∴O2E=O2C，DC=DE=a．
在Rt△BEO2中，O2B2=BE2+O2E2，
∴（b﹣EO2）2=（﹣a）2+O 2E2，
解得EO2=，
∴最终拼接成的圆形桌面的半径为=m；
（2）①小明的错误是半圆O1与半圆O2不能保证外切，即“O1O2=2x”是错误的，②要使小明解得的答案是正确的，就要半圆O1与半圆O2外切．
此时半圆O1与BD 的切点、半圆O2与BD的切点以及O1O2与BD 的交点重合．
所以﹣a=a，
解得b=a．
点评：此题考查了圆的综合，用到的知识点是切线长定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是综合应用有关性质列出关于半径的方程．
27．（12分）（2013•白下区一模）实际情境
王老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个车站．由于摩托车后座只能坐1人，为了节约时间，王老师骑摩托车先带着乙出发，同时，甲步行出发．
已知甲、乙的步行速度都是5km/h，摩托车的速度是45km/h．
方案预设
（1）预设方案1：王老师将乙送到车站后，回去接甲，再将甲送到车站．图①中折线A﹣B ﹣C﹣D、线段AC分别表示王老师、甲在上述过程中，离车站的路程y（km）与王老师所用时间x（h）之间的函数关系．
①学校与车站的距离为15 km；
②求出点C的坐标，并说明它的实际意义；
（2）预设方案2：王老师骑摩托车行驶ah后，将乙放下，让乙步行去车站，与此同时，王老师回去接甲并将甲送到车站，王老师骑摩托车一共行驶h．图②中折线A﹣B﹣C﹣D、线段AC、线段BE分别表示王老师、甲、乙在上述过程中，离车站的路程y（km）与王老师所用时间x（h）之间的函数关系．求a的值．
优化方案
（3）请设计一种方案，使甲、乙两位学生在出发50min内（不含50min）全部到达车站．（要求：1．不需用文字写出方案，在图③中画出图象即可；2．写出你所画的图象中y与x 的含义；3．不需算出甲、乙两位学生到达车站的具体时间！）
考
点：
一次函数的应用．
分析：（1）①由函数图象可以得出学校与车站的距离为15km；
②设王老师把乙送到车站后，再经过mh与甲相遇．关键条件建立方程求出其解就可以得出结论；
（2）设王老师把乙放下后，再经过nh与甲相遇．将n用含a的代数式表示出来，根据相遇时乙离车站的距离=老师从车站返回时行驶的距离建立方程就可以求出结论．（3）如图，先将甲同学送到B处，再返回接乙同学，这时甲同学步行前往车站，只要满足王老师一共行驶的时间少于50分钟即可．
解答：解：（1）预设方案1：①由函图象，得
学校与车站的距离：15；
②设王老师把乙送到车站后，再经过mh与甲相遇．
（45+5）m=15﹣5×，
解得：m=．
∵老师行驶的时间为：+=，
老师与甲相遇时甲离车站的路程为：15﹣5×=12，
∴C（，12）．表示的意义为老师走小时时将乙送往车站并回来与甲相遇时离车站12千米；
（2）预设方案2：设王老师把乙放下后，再经过nh与甲相遇．
（45+5）n=45a﹣5a．
解得n=a．（7分）
由于王老师骑摩托车一共行驶h，可得方程：
15﹣5（a+a）=45×[﹣（a+a）]，
解得：a=．
（3）本题答案不唯一，以下方法供参考．
图中折线A﹣B﹣C﹣D、线段AC、线段BE分别表示王老师、甲、乙离车站的路程y （km）与王老师所用时间x（h）之间的函数图象．
点本题是一道关于行程问题的函数试题，考查根据函数图象建立一元一次方程求解的
评：运用，方案设计的运用，结论开放性试题的运用，解答时理解函数图象的意义是关键．。