高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教案 新人教版选修2-3

§1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质
教学目标：
知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。

过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。

情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。

教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教学过程：
一、复习引入：
1．二项式定理及其特例：
（1）01()()n n n
r n r r n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，
（2）1
(1)1n r r
n n n x C x C x x +=++
++
+.
2．二项展开式的通项公式：1r n r r
r n T C a b -+=
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
二、讲解新课：
二项式系数表（杨辉三角）
()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行
两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
2．二项式系数的性质：
()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r
n C 可以看成以r 为自
变量的函数()f r
定义域是{0,1,2,
,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）．
直线2
n
r =
是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k
k n n n n n n k n k C C k k
----+-+=
=⋅，
∴k n C 相对于1
k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112
n k n k k -++>⇔<，
当12
n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；
当n 是偶数时，中间一项2n
n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n
C -，12n n
C
+取得最大值．
（3）各二项式系数和：
∵1
(1)1n r r n n n x C x C x x +=++
++
+，
令1x =，则012
2n r n
n n n n n C C C C C =+++
++
+
三、讲解范例：
例1．在()n
a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
证明：在展开式01()()n n n
r n r r n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，令1,1a b ==-，
则0123
(11)(1)n n n
n n n n n C C C C C -=-+-+
+-，
即02
13
0()()n n n n C C C C =++-++
，
∴02
13n n n n C C C C ++
=++
，
即在()n
a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
说明：由性质（3）及例1知02
1312n n n n n C C C C -++
=++
=.
例2．已知72
70127(12)x a a x a x a x -=+++
+，求：
（1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a ++
+.
解：（1）当1x =时，7
7
(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为
0127a a a a +++
+
∴0127a a a a +++
+1=-，
当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-，
（2）令1x =， 0127a a a a +++
+1=- ①
令1x =-，7
012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②
①-② 得：7
13572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7
132
+-.
（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，
∴由（2）中①+② 得：7
02462()13a a a a +++=-+，
∴ 7
0246132
a a a a -++++=，
∴017||||||a a a ++
+=01234567a a a a a a a a -+-+-+-
702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=
例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3
的系数
解：)
x 1(1]
)x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(1010
2
+-+-+=+++++）（
=x
x x )1()1(11+-+，
∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为7
C
例4.在(x 2+3x+2)5
的展开式中，求x 的系数
解：∵5
552)2x ()1x ()2x 3x (++=++
∴在(x+1)5
展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 1
5=，
在(2+x)5
展开式中，常数项为25
=32，含x 的项为x 80x 2C 4
15=
∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅， ∴此展开式中x 的系数为240
例5.已知n
2
)x 2x (-
的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项 解：依题意2
n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =⇒= ∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10
设第r+1项为常数项，又 2
r 510r 10r r 2r
10r 10
1r x C )2()x
2()x (C T --+-=-=
令
2r 02
r
510=⇒=-， .180)2(C T 22
1012=-=∴+此所求常数项为180
例6． 设()()()()2
3
1111n
x x x x ++++++++=2012n n a a x a x a x +++
+，
当012254n a a a a +++
+=时，求n 的值
解：令1x =得：
23
0122222n
n a a a a +++
+=+++
+2(21)25421
n -==-，
∴2128,7n
n ==，
点评：对于1
01()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-+
+，令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和
012n a a a a +++
+的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系
例7．求证：123
1232n
n n n n n C C C nC n -++++=⋅．
证（法一）倒序相加：设S =123
23n
n n n n C C C nC ++++ ①
又∵S =12
21
(1)(2)2n n n n n n n n nC n C n C C C --+-+-+
++ ②
∵r n r n n C C -=，∴011
,,
n n n n n n C C C C -==，
由①+②得：(
)012
2n n n n n S n C C C C =+++
+，
∴11222
n n S n n -=
⋅⋅=⋅，即123
1232n
n n
n n n C C C nC n -++++=⋅．
（法二）：左边各组合数的通项为
r n rC 1
1!(1)!!()!(1)!()!
r n n n n r nC r n r r n r --⋅-=⋅
==---，
∴ ()123
012
1
112123n n n n n n n n n n C C C nC n C C C C -----+++
+=+++
+12
n n -=⋅．
例8．在10)32(y x -的展开式中,求:
①二项式系数的和; ②各项系数的和;
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.
分析:因为二项式系数特指组合数r n C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数
无关.
解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- (*), 各项系数和即为1010a a a +++ ,奇数项系数和为0210a a a ++
+,偶数项系数和为
9531a a a a ++++ ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++ ,x 的偶次项系数和10420a a a a ++++ .
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
①二项式系数和为101010110010
2=+++C C C . ②令1==y x ,各项系数和为1)1()32(1010=-=-.
③奇数项的二项式系数和为910
10210010
2=+++C C C , 偶数项的二项式系数和为9910310110
2=+++C C C . ④设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- , 令1==y x ,得到110210=++++a a a a …(1),
令1=x ,1-=y (或1-=x ,1=y )得101032105=++-+-a a a a a …(2) (1)+(2)得10102051)(2+=+++a a a , ∴奇数项的系数和为2
5110
+;
(1)-(2)得1093151)(2-=+++a a a , ∴偶数项的系数和为2
5110
-.
⑤x 的奇次项系数和为2
5110
9531-=++++a a a a ;
x 的偶次项系数和为2
5110
10420+=++++a a a a .
点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.
例9．已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992,求n x
x 2)12(-的展开式中:①
二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.
解：由题意992222=-n n ,解得5=n .
①10
1
(2)x x
-的展开式中第6项的二项式系数最大,
即8064)1()2(555
10156-=-⋅⋅==+x
x C T T .
②设第1+r 项的系数的绝对值最大,
则r r r
r r r r r x C x
x C T 2101010101012)1()1
()2(---+⋅⋅⋅-=-⋅⋅=
∴⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅--+-+---110110101011011010102222r r r r r r r r C C C C ,得⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-110
101
101022r r r r C C C C ,即⎩⎨⎧-≥+≥-r r r r 10)1(2211
∴3
1138≤≤r ,∴3=r ,故系数的绝对值最大的是第4项
例10．已知：2
23
(3)n
x x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项
解：令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2n n
+=， 又展开式中二项式系数和为2n
， ∴22
2992n
n -=，5n =．
（1）∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴223
22
6
335
()(3)90T C x x x ==，22232
23
33
45
()(3)270T C x x x ==， （2）设展开式中第1r +项系数最大，则2
1045233
15
5
()
(3)3r r
r
r r
r r T C x x C x
+-+==，
∴1155
11
55
33792233r r r r r r r r C C r C C --++⎧≥⎪⇒≤≤⎨≥⎪⎩，∴4r =， 即展开式中第5项系数最大，226424
3
3
55
()(3)405T C x x x ==．
例11．已知)(122
221
2211+---∈+⋅++++=N n C C C S n n n n n n n n ， 求证：当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除分析：由二项式定理的逆用化简n S ，再把14--n S n 变形，化为含有因数64的多项式
∵1122
122221(21)n n n n n n n n n S C C C ---=++++⋅+=+3n =，
∴14--n S n 341n n =--，∵n 为偶数，∴设2n k =（*
k N ∈）， ∴14--n S n 2381k
k =--(81)81k k =+--
011
1888181k k k k k k C C C k --=++
++-- 011
228(88)8k k k k C C C -=++
+ （*） ，
当k =1时，410n S n --=显然能被64整除，
当2k ≥时，（*）式能被64整除，
所以，当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除
三、课堂练习：
1．
)()4
5
1
1x +-展开式中4
x 的系数为 ，各项系数之和为 ．
2．多项式12233
()(1)(1)(1)(1)n n n n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++-（6n >）的展开式中，6x 的系数
为
3．若二项式2
3
1(3)2n x x
-
（n N *
∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8
4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ） A.低于5％ B.在5％～6％之间 C.在6％～8％之间 D.在8％以上
5．在(1)n
x +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)n
x -等于（ ） A.0 B.pq C.2
2
p q + D.2
2
p q -
6．求和：
()23410123
11111111111n n
n
n n n n n a a a a a C C C C C a a a a
a
+------+-++------．
7．求证：当n N *
∈且2n ≥时，()1
32
2n n n ->+．
8．求()10
2x +的展开式中系数最大的项
答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：()(16n
f x x n =->
3. B
4. C
5. D
6. ()
1
1n a a ---
7. (略) 8. 3
3115360T x +=
四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用 五、课后作业：P36 习题1.3A 组5. 6. 7.8 B 组1. 2
1．已知2
(1)n
a +展开式中的各项系数的和等于5
216
5x ⎛ ⎝的展开式的常数项，而2(1)n
a + 展开式的系数的最大的项等于54，求a 的值(a R ∈
答案：a =2．设()()()()()5
9
14
13
011314132111x x a x a x a x a -+=++++
+++
求：① 0114a a a +++ ②1313a a a ++
+．
答案：①9
3
19683=； ②
()
9
53
32
+=
3．求值：0123456789
999999999922222C C C C C C C C C C -+-+-+-+-．
答案：8
2=
4．设296
()(1)(21)f x x x x =+-+，试求()f x 的展开式中： （1）所有项的系数和；
（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和答案：（1）6
3729=；
（2）所有偶次项的系数和为631
3642-=； 所有奇次项的系数和为631
2
+= 六、板书设计（略）
七、教学反思：
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。

二项式定理概念的引入，我们已经学过(a +b )2=a 2+2ab +b 2，(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3
，那么对一般情况；(a +b )n
展开后应有什么规律，这里n ∈N ，这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容.
选择实验归纳的研究方式，对(a +b )n
一般形式的研究与求数列{a n }的通项公式有些类似，大家想想，求a n 时我们用了什么方法，学生：先写出前n 项，再观察规律，猜测其表达式，最后用数学归纳法证明，
老师：大家说得很正确，现在我们用同样的方式来研究(a +b )4的展开，因(a +b )4=(a +b )3
(a +b )，我们可以
用(a +b )3展开的结论计算(a +b )4
(由学生板演完成，体会计算规律)然后老师把计算过程总结为如下形式：
(a +b )4=(a +b )3(a +b )=(a 3+3a 2b +3ab 2+b 3)(a +b )=a 4+3a 3b 2+ab 3+3a 2b 2+3ab 3+b 4=a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4
.
对计算的化算：对(a +b )n
展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？学生：a 的指数从n 逐次降到0，b 的指数从0逐次升到n ，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n 的(n +1) 项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用n
n n n a a a 10,来表示，它这样一来(a +b )n
的展开形式就可写成(a +b )n
=n
n n r r n r n n n n
n b a b a a b a
a a
a +++-- 110现在的问题就是要找r
n a 的表达形式.为此我们要采用抽象分析法来化简计算
2007年高考题
1．（2007年江苏卷）若对于任意实数x ，有32
3
0123(2)(2)(2
)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（B ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
2．（2007年湖北卷）如果n
x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-3223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为
A.3
B.5
C.6
D.10
【答案】：B. 【分析】：22()325132(3)(
)
3(2)3(2)r
n r r
r n r r n r r
r n r r n r
r n n n
T C x C x C x
x
-
---
-
-
+=-=-=-，
250n r -=，52
r
n =
（2,4,r =）。

m i
n 5n =. 【高考考点】：本题主要考查二项式定理的有关知识和整除的知识,以及分析问题和解决问题的能力.
【易错点】：注意二项式定理的通项公式中项数与r 的关系。

【高备考提示】：二项式定理是高考的常考内容，有时单独命题，有时与其它分支的知识相综合。

3．（2007年江西卷）已知
n
展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ C ）
Ａ．4 Ｂ．5
Ｃ．6
Ｄ．7
4．（2007年全国卷I ）21n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ D ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
5．（2007年全国卷Ⅱ）8
2
1(12)x x x ⎛
⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 42- ．（用数字作答）
6．（2007年天津卷）若6
21x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的二项展开式中2
x 的系数为52，则a = 2 （用数字作答）． 7．（2007年重庆卷）若n
x
x )1
(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B ）
A10 B.20 C.30 D.120
8．（2007年安徽卷）若(2x 3
+
x
1)a
的展开式中含有常数项,则最小的正整数n 等于 7 .
9．（2007年湖南卷）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 21n
- 行；第61行中1的个数是 32 ． 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1
…… ………………………………………。