2018-2019学年高考数学(理科)一轮复习达标检测(五十七) 坐标系

高考达标检测（五十七） 坐标系
1．在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求实数a 的值．
解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x －y ＋a ＝0， 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5， 所以圆心C 的坐标为(1，－2)，半径r ＝5， 所以圆心C 到直线的距离为 |1＋2＋a |
2
＝ r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22
＝2，
解得a ＝－5或a ＝－1. 故实数a 的值为－5或－1.
2．在极坐标系中，求直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π
6＝1与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标． 解：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π
6＝1化为直角坐标方程为3x －y ＝2， 即y ＝3x －2.
ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ， 把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ， 得4x 2－83x ＋12＝0， 即x 2－23x ＋3＝0， 所以x ＝3，y ＝1.
所以直线与圆的交点坐标为(3，1)， 化为极坐标为⎝⎛⎭
⎫2，π
6. 3．(2018·长春模拟)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－ 22ρcos ⎝⎛⎭
⎫θ－π
4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4； 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭
⎫θ－π
4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π
4＝2， 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.
化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22
. 4．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2＋5cos α，
y ＝1＋5sin α
(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C 的极坐标方程；
(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π
3，若l 1，l 2与曲线C 相交于异于原点的两点 A ，B ，求△AOB
的面积．
解：(1)∵曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2＋5cos α，
y ＝1＋5sin α
(α为参数)，
∴曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5，
将⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
代入并化简得ρ＝4cos θ＋2sin θ， 即曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ. (2)在极坐标系中，C ：ρ＝4cos θ＋2sin θ， ∴由⎩⎪⎨⎪⎧
θ＝π6，ρ＝4cos θ＋2sin θ，得|OA |＝23＋1，
同理：|OB |＝2＋ 3.
又∵∠AOB ＝π6，∴S △AOB ＝1
2|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝8＋534，
即△AOB 的面积为8＋53
4
.
5．在坐标系中，曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，直线l ：ρcos θ－π3＝3
2，C 与l 有且只有一个
公共点．
(1)求a 的值；
(2)若原点O 为极点，A ，B 为曲线C 上两点，且∠AOB ＝π
3，求|OA |＋|OB |的最大值．
解：(1)由已知在直角坐标系中，
C ：x 2＋y 2－2ax ＝0⇒(x －a )2＋y 2＝a 2(a >0)； l ：x ＋3y －3＝0.
因为C 与l 只有一个公共点，所以l 与C 相切， 即
|a －3|
2
＝a ，则a ＝1.
(2)设A (ρ1，θ)，则B ⎝
⎛⎭⎫ρ2，θ＋π
3， ∴|OA |＋|OB |＝ρ1＋ρ2＝2cos θ＋2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝3cos θ－3sin θ＝23cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π
6. 所以，当θ＝－π
6
时，(|OA |＋|OB |)max ＝2 3.
6．在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1：3x ＋y －4＝0，曲线C 2：x 2＋(y －1)2＝1，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C 1，C 2的极坐标方程；
(2)若曲线C 3的极坐标方程为θ＝α⎝⎛⎭⎫ρ>0，0<α<π
2，且曲线C 3分别交C 1，C 2于点A ，B ，求|OB |
|OA |
的最大值． 解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
∴C 1：3ρcos θ＋ρsin θ－4＝0，C 2：ρ＝2sin θ. (2)曲线C 3为θ＝α⎝⎛⎭⎫ρ>0，0<α<π
2， 设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，ρ1＝4
3cos α＋sin α
，ρ2＝2sin α，
则
|OB ||OA |＝ρ2ρ1＝14×2sin α(3cos α＋sin α)＝142sin2α－π
6
＋1， ∴当α＝π3
时，⎝⎛⎭⎫|OB | |OA |max ＝34. 7．平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为x 23＋y 2
＝1，以坐标原点O 为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π
3，射线OM 的极坐标方程为θ＝α0(ρ≥0)．
(1)写出曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；
(2)若射线OM 平分曲线C 2，且与曲线C 1交于点A ，曲线C 1上的点满足∠AOB ＝π
2，求
|AB |.
解：(1)曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝3
1＋2sin 2θ，
曲线C 2的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4. (2)曲线C 2是圆心为(3，1)，半径为2的圆， ∴射线OM 的极坐标方程为θ＝π
6 (ρ≥0)，
代入ρ2＝
31＋2sin 2θ
，可得ρ2
A ＝2.
又∠AOB ＝π2，∴ρ2B ＝6
5
， ∴|AB |＝|OA |2＋|OB |2＝ρ2A ＋ρ2B ＝
45
5
. 8．已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝⎛⎭
⎫2，π3. (1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形； (2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．
解：(1)作出图形如图所示， 设圆C 上任意一点A (ρ，θ)， 则∠AOC ＝θ－π3或π
3
－θ.
由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcos θ－π
3＝4，
∴圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3. (2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)， 可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)， 设M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点， 得点M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝6＋2cos α
2
，y ＝2sin α
2
(α为参数)，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋cos α，
y ＝sin α(α为参数)， ∴点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1.。