2020版高考数学(浙江专用)一轮总复习检测：5.3 正弦、余弦定理及解三角形 Word版含解析

5.3正弦、余弦定理及解三角形
挖命题
【考情探究】
分析解读 1.主要考查正弦定理和余弦定理,以及利用正弦、余弦定理和三角形面积公式解三角形.
2.高考命题仍会以三角形为载体,以正弦定理和余弦定理为框架综合考查三角知识.
3.预计2020年高考中,仍会对解三角形进行重点考查,复习时应高度重视.
破考点
【考点集训】
考点一正弦、余弦定理
1.(2018浙江绍兴高三3月适应性模拟,6)在△ABC中,内角C为钝角,sin C=,AC=5,AB=3,则BC=()
A.2
B.3
C.5
D.10
答案A
2.(2018浙江嵊州高三期末质检,14)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos(A+C)=,a=2,b=4,则sin A=,c=.
答案;3
考点二解三角形及其综合应用
1.(2018浙江湖州、衢州、丽水第一学期质检,15)在锐角△ABC中,AD是BC边上的中线,若AB=3,AC=4,△ABC 的面积是3,则AD=.
答案
2.(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.
答案100
炼技法
【方法集训】
方法有关三角形面积的计算
1. (2018浙江杭州高三教学质检,13)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=,b=3,sin C=2sin A,则sin A= ;设D为AB边上一点,且=2,则△BCD的面积为.
答案;2
2.(2018浙江金华十校高考模拟(4月),18)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin
A=sin(B-C)+2sin 2B,B≠.
(1)证明:c=2b;
(2)若△ABC的面积S=5b2-a2,求tan A的值.
解析(1)证明:由sin A=sin(B-C)+2sin 2B,知sin(B+C)=sin(B-C)+4sin Bcos B,
展开化简得,cos Bsin C=2sin Bcos B,
又因为B≠,所以sin C=2sin B,由正弦定理得,c=2b.
(2)因为△ABC的面积S=5b2-a2,所以有bcsin A=5b2-a2,
由(1)知c=2b,代入上式得b2sin A=5b2-a2,①
所以a2=b2+c2-2bccos A=5b2-4b2cos A,
代入①得b2sin A=4b2cos A,∴tan A=4.
过专题
【五年高考】
A组自主命题·浙江卷题组
考点一正弦、余弦定理
(2018浙江,13,6分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sin
B=,c=.
答案;3
考点二解三角形及其综合应用
1.(2017浙江,11,4分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.
答案
2.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.
(1)证明:A=2B;
(2)若△ABC的面积S=,求角A的大小.
解析(1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,
故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,
于是sin B=sin(A-B).
又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B,
因此A=π(舍去)或A=2B,
所以A=2B.
(2)由S=得absin C=,故有sin Bsin C=sin 2B=sin Bcos B,
因sin B≠0,得sin C=cos B.
又B,C∈(0,π),所以C=±B.
当B+C=时,A=;
当C-B=时,A=.
综上,A=或A=.
评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.
3.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.
(1)求tan C的值;
(2)若△ABC的面积为3,求b的值.
解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos 2B=sin2C.
又由A=,即B+C=π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,
解得tan C=2.
(2)由tan C=2,C∈(0,π)得sin C=,cos C=.
又因为sin B=sin(A+C)=sin,所以sin B=.
由正弦定理得c=b,
又因为A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.
评析本题主要考查三角函数、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.
4.(2015浙江文,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan=2.
(1)求的值;
(2)若B=,a=3,求△ABC的面积.
解析(1)由tan=2,得tan A=,
所以==.
(2)由tan A=,A∈(0,π),得
sin A=,cos A=.
又由a=3,B=及正弦定理得b=3.
由sin C=sin(A+B)=sin得sin C=.
设△ABC的面积为S,则S=absin C=9.
评析本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.
5.(2014浙江,18,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B.
(1)求角C的大小;
(2)若sin A=,求△ABC的面积.
解析(1)由题意得
-=sin 2A-sin 2B,
即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B,
sin=sin.
由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得
2A-+2B-=π,
即A+B=,
所以C=.
(2)由c=,sin A=,=,得a=,
由a<c,得A<C.从而cos A=,
故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,
所以△ABC的面积S=acsin B=.
评析本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.
B组统一命题、省(区、市)卷题组
考点一正弦、余弦定理
1.(2018课标全国Ⅱ理,6,5分)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()
A.4
B.
C.
D.2
答案A
2.(2017山东理,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin
B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是()
A.a=2b
B.b=2a
C.A=2B
D.B=2A
答案A
3.(2018课标全国Ⅰ文,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为.
答案
4.(2017课标全国Ⅱ文,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则
B=.
答案
5.(2018课标全国Ⅰ理,17,12分)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.
(1)求cos∠ADB;
(2)若DC=2,求BC.
解析(1)在△ABD中,由正弦定理得=.
由题设知,=,所以sin∠ADB=.
由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB==.
(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.
在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2×=25.
所以BC=5.
方法总结正、余弦定理的应用原则
(1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其中一对的比值或等量关系就可以通过该定理解决问题,在解题时要学会灵活运用.
(2)运用余弦定理时,要注意整体思想的应用.
(3)在利用正、余弦定理判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.
(4)在利用正弦定理求三角形解的个数问题时,可能会出现一解、两解或无解的情况,所以解答此类问题时需要进行分类讨论,以免漏解或增解.
6.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.
(1)求;
(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.
解析(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,
S△ADC=AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,
所以AB=2AC.
由正弦定理可得==.
(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=.
在△ABD和△ADC中,由余弦定理知
AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,
AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.
故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.
由(1)知AB=2AC,所以AC=1.
考点二解三角形及其综合应用
1.(2018课标全国Ⅲ文,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=()
A. B.
C. D.
答案C
2.(2014课标Ⅱ,4,5分)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()
A.5
B.
C.2
D.1
答案B
3.(2018北京文,14,5分)若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B=;的取值范围是.
答案;(2,+∞)
4.(2015课标Ⅰ,16,5分)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围
是.
答案(-,+)
5.(2018天津文,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos. (1)求角B的大小;
(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.
解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.
(1)在△ABC中,由正弦定理可得bsin A=asin B,又由bsin A=acos,得asin B=acos,即sin B=cos,可得tan B=.又因为B∈(0,π),可得B=.
(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=.
由bsin A=acos,可得sin A=.
因为a<c,故cos A=.
因此sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=2cos2A-1=.
所以sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=×-×=.
6.(2017课标全国Ⅲ理,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos
A=0,a=2,b=2.
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.
解析本题考查解三角形.
(1)由已知可得tan A=-,所以A=.
在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0.
解得c=-6(舍去)或c=4.
(2)由题设可得∠CAD=,
所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.
故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.
又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2,
所以△ABD的面积为.
思路分析(1)由sin A+cos A=0,可求得tan A=-,注意到A是三角形内角,得A=,再由余弦定理求c.(2)由题意知∠CAD=,∠BAD=,于是可求得的值,再由S△ABC=×4×2sin∠BAC=2得解.
一题多解(2)1题多解1:由余弦定理得cos C=,在Rt△ACD中,cos
C=,∴CD=,∴AD=,DB=CD=,∴S△ABD=S△ACD=×2××sin C=×=.
1题多解2:∠BAD=,由余弦定理得cos C=,∴CD=,
∴AD=,∴S△ABD=×4××sin∠DAB=.
1题多解3:过B作BE垂直AD,交AD的延长线于E,在△ABE中,∠EAB=-=,AB=4,∴BE=2,∴BE=CA,从而可得△ADC≌△EDB,∴BD=DC,即D为BC中点,∴S△ABD=S△ABC=××2×4×sin∠CAB=.
C组教师专用题组
考点一正弦、余弦定理
1.(2017课标全国Ⅰ文,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos
C)=0,a=2,c=,
则C=()
A. B. C. D.
答案B
2.(2016天津,3,5分)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=()
A.1
B.2
C.3
D.4
答案A
3.(2016课标全国Ⅱ,13,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则
b=.
答案
4.(2015天津,13,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则a的值为.
答案8
5.(2015福建,12,4分)若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于.
答案7
6.(2015广东,11,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b=.
答案 1
7.(2015重庆,13,5分)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=.
答案
8.(2014天津,12,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A 的值为.
答案-
9.(2014广东,12,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则=.
答案 2
10.(2014福建,12,4分)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于.
答案2
11.(2014江苏,14,5分)若△ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C,则cos C的最小值是.
答案
12.(2014课标Ⅰ,16,5分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin
B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.
答案
13.(2017山东文,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,·=-6,S△ABC=3,求A和
a.
解析本题考查向量数量积的运算及解三角形.
因为·=-6,所以bccos A=-6,
又S△ABC=3,所以bcsin A=6,
因此tan A=-1,又0<A<π,所以A=.
又b=3,所以c=2.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
得a2=9+8-2×3×2×=29,
所以a=.
14.(2016江苏,15,14分)在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.
(1)求AB的长;
(2)求cos的值.
解析(1)因为cos B=,0<B<π,所以sin B===.
由正弦定理知=,所以AB===5.
(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),
于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos Bcos +sin B·sin,
又cos B=,sin B=,故cos A=-×+×=-.
因为0<A<π,所以sin A==.
因此cos=cos Acos+sin Asin=-×+×=.
评析本题主要考查正弦定理、同角三角函数的基本关系式与两角和(差)的三角函数,考查运算求解能力.
15.(2016四川,17,12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.
(1)证明:sin Asin B=sin C;
(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.
解析(1)证明:根据正弦定理,可设===k(k>0).
则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.
代入+=中,有+=,变形可得
sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).
在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
所以sin Asin B=sin C.
(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有
cos A==.
所以sin A==.
由(1)可知sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,
所以sin B=cos B+sin B,
故tan B==4.
评析本题考查的知识点主要是正、余弦定理以及两角和的正弦公式. 16.(2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.
(1)求cos∠CAD的值;
(2)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的长.
解析(1)在△ADC中,由余弦定理,得
cos∠CAD===.
(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.
因为cos∠CAD=,cos∠BAD=-,
所以sin∠CAD===,
sin∠BAD===.
于是sin α=sin(∠BAD-∠CAD)
=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD
=×-×=.
在△ABC中,由正弦定理,得=,
故BC===3.
考点二解三角形及其综合应用
1.(2014江西,4,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是()
A.3
B.
C.
D.3
答案C
2.(2014重庆,10,5分)已知△ABC的内角A,B,C满足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是()
A.bc(b+c)>8
B.ab(a+b)>16
C.6≤abc≤12
D.12≤abc≤24
答案A
3.(2017课标全国Ⅲ文,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则
A=.
答案75°
4.(2015北京,12,5分)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=.
答案 1
5.(2014山东,12,5分)在△ABC中,已知·=tan A,当A=时,△ABC的面积为.
答案
6.(2018北京理,15,13分)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-.
(1)求∠A;
(2)求AC边上的高.
解析(1)在△ABC中,因为cos B=-,所以sin B==.
由正弦定理得sin A==.
由题设知<∠B<π,所以0<∠A<.所以∠A=.
(2)在△ABC中,
因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,
所以AC边上的高为asin C=7×=.
方法总结处理解三角形相关的综合题目时,首先要掌握正弦、余弦定理,其次结合图形分析哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过解方程求出边或角.
7.(2017课标全国Ⅰ理,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.
(1)求sin Bsin C;
(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长.
解析本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换,考查学生利用三角形面积公式进行运算求解的能力.
(1)由题设得acsin B=,即csin B=.
由正弦定理得sin Csin B=.
故sin Bsin C=.
(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,
即cos(B+C)=-.
所以B+C=,故A=.
由题设得bcsin A=,即bc=8.
由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.
故△ABC的周长为3+.
思路分析(1)首先利用三角形的面积公式可得acsin B=,然后利用正弦定理,把边转化成角的形式,即可得出sin Bsin C的值;(2)首先利用sin Bsin C的值以及题目中给出的6cos Bcos C=1,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角形的面积公式和a的值求出bc的值,最后利用余弦定理求出b+c 的值,进而得出△ABC的周长.
方法总结解三角形的综合应用.
(1)应用正弦定理、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式,以便进一步化简计算,例如:将
csin B=变形为sin Csin B=.
(2)三角形面积公式:S=absin C=acsin B=bcsin A.
(3)三角形的内角和为π.这一性质经常在三角化简中起到消元的作用,例如:在△ABC中,sin(B+C)=sin A.
8.(2017课标全国Ⅱ理,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.
(1)求cos B;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
解析本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.
(1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).
上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,
解得cos B=1(舍去),cos B=.
(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=acsin B=ac.
又S△ABC=2,则ac=.
由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2××=4.
所以b=2.
解后反思在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中,要重视“整体运算”的技巧.如本题中b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)中的转化就说明了这一点.
9.(2017北京理,15,13分)在△ABC中,∠A=60°,c=a.
(1)求sin C的值;
(2)若a=7,求△ABC的面积.
解析本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式.
(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,
所以由正弦定理得sin C==×=.
(2)因为a=7,所以c=×7=3.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b×3×,
解得b=8或b=-5(舍).
所以△ABC的面积S=bcsin A=×8×3×=6.
解后反思根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.在求解面积
时,经常用余弦定理求出两边乘积.
10.(2016课标全国Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.
(1)求C;
(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
解析(1)由已知及正弦定理得,
2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分)
2cos Csin(A+B)=sin C.
故2sin Ccos C=sin C.(4分)
可得cos C=,所以C=.(6分)
(2)由已知,得absin C=.
又C=,所以ab=6.(8分)
由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.
故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.(10分)
所以△ABC的周长为5+.(12分)
评析本题重点考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,同时,对三角恒等变换的公式也有所考查.
在解题过程中,要注意先将已知条件中的“边”与“角”的关系,通过正弦定理转化为“角”之间的关系,再运用三角函数知识求解.
11.(2016北京,15,13分)在△ABC中,a2+c2=b2+ac.
(1)求∠B的大小;
(2)求cos A+cos C的最大值.
解析(1)由余弦定理及题设得cos B===.
又因为0<∠B<π,所以∠B=.(6分)
(2)由(1)知∠A+∠C=.
cos A+cos C=cos A+cos
=cos A-cos A+sin A
=cos A+sin A
=cos.(11分)
因为0<∠A<,
所以当∠A=时,cos A+cos C取得最大值1.(13分)
思路分析第(1)问条件中有边的平方和边的乘积,显然应选用余弦定理求解.第(2)问用三角形内角和定理将原三角函数式化为只含一个角的三角函数式,再注意角的取值范围,问题得解.
评析本题考查余弦定理、三角恒等变换及三角函数的性质.属中档题.
12.(2015四川,19,12分)如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.
(1)证明:tan=;
(2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值.
解析(1)证明:tan===.
(2)由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B.
由(1),有tan+tan+tan+tan
=+++
=+.
连接BD.
在△ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A,
在△BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C,
所以AB2+AD2-2AB·ADcos A=BC2+CD2+2BC·CDcos A. 则cos A===.
于是sin A===.
连接AC.同理可得
cos B===,
于是sin B===.
所以tan+tan+tan+tan
=+
=+
=.
评析本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想.
13.(2015安徽,16,12分)在△ABC中,∠A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.
解析设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3)2+62-2×3×6×cos=18+36-(-36)=90,
所以a=3.
又由正弦定理得sin B===,
由题设知0<B<,所以cos B===.
在△ABD中,由正弦定理得AD==
==.
14.(2015湖南,17,12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.
(1)证明:B-A=;
(2)求sin A+sin C的取值范围.
解析(1)证明:由a=btan A及正弦定理,得==,所以sin B=cos A,即sin B=sin.
又B为钝角,因此+A∈,故B=+A,即B-A=.
(2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-=-2A>0,
所以A∈.
于是sin A+sin C=sin A+sin
=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1
=-2+.
因为0<A<,所以0<sin A<,
因此<-2+≤.
由此可知sin A+sin C的取值范围是.
评析本题以解三角形为背景,考查三角恒等变换及三角函数的图象与性质,对考生思维的严谨性有较高要求.
15.(2015陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.
(1)求A;
(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.
解析(1)因为m∥n,所以asin B-bcos A=0,
由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,
又sin B≠0,从而tan A=,
由于0<A<π,所以A=.
(2)解法一:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A及a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,
因为c>0,所以c=3.
故△ABC的面积为bcsin A=.
解法二:由正弦定理,得=,
从而sin B=,
又由a>b,知A>B,所以cos B=.
故sin C=sin(A+B)=sin
=sin Bcos+cos Bsin=.
所以△ABC的面积为absin C=.
16.(2014陕西,16,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);
(2)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.
解析(1)证明:∵a,b,c成等差数列,
∴a+c=2b.
由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.
∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),
∴sin A+sin C=2sin(A+C).
(2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.
由余弦定理得
cos B==≥=,
当且仅当a=c时等号成立.
∴cos B的最小值为.
评析本题考查了等差、等比数列,正、余弦定理,基本不等式等知识;考查运算求解能力.
17.(2014大纲全国,17,10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B.
解析由题设和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A.
故3tan Acos C=2sin C,
因为tan A=,所以cos C=2sin C,
tan C=.(6分)
所以tan B=tan[180°-(A+C)]
=-tan(A+C)
=(8分)
=-1,
即B=135°.(10分)
18.(2014北京,15,13分)如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=.
(1)求sin∠BAD;
(2)求BD,AC的长.
解析(1)在△ADC中,因为cos∠ADC=,
所以sin∠ADC=.
所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)
=sin∠ADCcos∠B-cos∠ADCsin∠B
=×-×=.
(2)在△ABD中,由正弦定理得
BD===3.
在△ABC中,由余弦定理得
AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠B
=82+52-2×8×5×=49.
所以AC=7.
评析本题考查了正、余弦定理等三角形的相关知识;考查分析推理、运算求解能力.
19.(2014安徽,16,12分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.
(1)求a的值;
(2)求sin的值.
解析(1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.
由正、余弦定理得a=2b·.
因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.
(2)由余弦定理得cos A===-.
由于0<A<π,所以sin A===.
故sin=sin Acos+cos Asin=×+×=.
评析本题考查正、余弦定理,三角恒等变换等知识;考查基本运算求解能力;属容易题.
【三年模拟】
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2019届浙江名校协作体高三联考,3)在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,已知
A=45°,B=60°,b=,则a=()
A. B. C. D.
答案A
2.(2019届浙江嘉兴9月基础测试,8)在△ABC中,已知cos A=,cos B=,c=4,则a=()
A.12
B.15
C.
D.
答案D
3.(2018浙江镇海中学期中,10)若△ABC沿着三条中位线折起后能够拼接成一个三棱锥,则称这样的△ABC 为“和谐三角形”,设△ABC的三个内角分别为A,B,C,则下列条件不能够确定该△ABC为“和谐三角形”的是()
A.A∶B∶C=7∶20∶25
B.sin A∶sin B∶sin C=7∶20∶25
C.cos A∶cos B∶cos C=7∶20∶25
D.tan A∶tan B∶tan C=7∶20∶25
答案B
4.(2018浙江台州第一次调考(4月),7)在△ABC中,边a,b,c所对的角分别为A,B,C,若a2=b2+c2-bc,sin C=2cos B,则()
A.A=
B.B=
C.c= b
D.c=2a
答案D
二、填空题(单空题4分,多空题6分,共24分)
5.(2019届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,14)已知△ABC的面积为,∠A=60°,D是边AC上一点,AD=2DC,BD=2,则AB=,cos C=.
答案2;
6.(2019届浙江名校新高考研究联盟第一次联考,14)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,A=60°,且△ABC外接圆的半径为,则a=,若b+c=3,则△ABC的面积为.
答案3;
7.(2018浙江名校协作体,14)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=2b,sin C=,则sin
B=;若2a2+b2+c2=4,则△ABC面积的最大值是.
答案;
8.(2018浙江嘉兴教学测试(4月),14)设△ABC的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,已知a2+2b2=c2,则
=;tan B的最大值为.
答案-3;
三、解答题(共20分)
9.(2019届金丽衢十二校高三第一次联考,18)如图,在△ABC中,已知点D在边AB上,AD=3DB,cos
A=,cos∠ACB=,BC=13.
(1)求cos B的值;
(2)求CD的长.
解析(1)在△ABC中,cos A=,A∈(0,π),
所以sin A===.
同理可得sin∠ACB=.
所以cos B=cos[π-(∠A+∠ACB)]=-cos(∠A+∠ACB)
=sin Asin∠ACB-cos Acos∠ACB
=×-×=.
(2)在△ABC中,由正弦定理得AB===20.
又AD=3DB,所以BD=AB=5.
在△BCD中,由余弦定理得CD=
=
=9.
10.(2018浙江杭州二中期中,18)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知tan C=.
(1)求角C的大小;
(2)若△ABC的外接圆直径为1,求a2+b2的取值范围.
解析(1)∵tan C=,即=,
∴sin Ccos A+sin Ccos B=sin Acos C+sin Bcos C,
更多内容请到主页下载即sin Ccos A-sin Acos C=sin Bcos C-sin Ccos B,
即sin(C-A)=sin(B-C),
∴C-A=B-C或C-A=π-(B-C)(舍去),
∴2C=A+B,∴C=.
(2)由(1)知C=,故设A=α+,B=-α+,其中-<α<,外接圆半径为R,
a=2Rsin A=sin A,b=2Rsin B=sin B.
故a2+b2=sin2A+sin2B= (1-cos 2A)+ (1-cos 2B)
==1+cos 2α.
∵-<α<,
∴
-<2α<,
∴-<cos 2α≤1, ∴<a2+b2≤.。