保险精算 第4章2 人寿保险的精算现值
保险精算第二版习题及答案
该趸交纯保费为：
3000
A1 50:20
1500
A1 50:20
其中
查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
试计算：
（1） A1 。 x:20
（2）
A1 x:10
。改为求
A
1 x:20
4． 试证在 UDD 假设条件下：
(1)
A1 x:n
i
A1 x:n
。
(2)
Ā x:n
A1 x:n
i
A1 x:n
。
5． (x)购买了一份 2 年定期寿险保险单，据保单规定，若(x)在保险期限内发生保险责任
范围内的死亡，则在死亡年末可得保险金 1 元， qx 0.5,i 0,Var z 0.1771 ，试求 qx1 。
（1）法一：1000 A1 35:5
4
v k 1 k pxqxk
k 0
1 l35
(
d35 1.06
d36 1.062
d37 1.063
d38 1.064
d39 1.06
5)
查生命表 l35 979738, d35 1170, d36 1248, d37 1336, d38 1437, d39 1549 代入计算：
法二：1000 A1 1000 M 35 M 40
35:5
D35
查换算表1000 A1 1000 M35 M 40 1000 13590.22 12857.61 5.747
第二章人寿保险的精算现值
2020年4月23日星期四
人身保险是以人的寿命和身体为保险标的的保险。
人寿保险是人身保险的一种。
人寿保险转嫁的是被保险人的生存或者死亡的风险 。它起源于古代的互助团体，其原理是通过集合具 有同质风险的大量被保险人，通过在这些被保险人 之间进行风险分散——即由所有的被保险人共同出 资给遭遇风险的少数被保险人——来达到降低突发 风险事故对遭遇风险事故的个体造成的财务冲击。
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
• 解 : 设 Zj 表示第 j 个被保险人的死亡给付在投保时的现值随机变量 , 则
勇于开始，才能找到成 功的路
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
设该项基金在最初时的数额至少是 h 元 , 依题意 , 则
勇于开始，才能找到成 功的路
即该项基金在最初时的数额至少要有 449.35 元 , 比所收取的 建缴纯保费建立的初始基金 400(=100 × 4) 元多出 49.35 元 , 即超过歪缴纯保费基金的 12.34% 。这说明 , 最初基 金 需有风险附加费 ( 即安全附加费 ) 的存在 , 即该基金超过保费 总额的那部分 (49.35 元 ) 是 安全附加基金。
1. 按算术数列续年递增的终身寿险 按算术数列{n} 续年递增的连续型的终身寿险 , 可分
称现值函数随机变量Z的数学期望为保险的精算现值，也是趸缴纯保费额
于是
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
则连续型的保险金额为 1 个单位的 n 年定期寿险
现值随机变量 ZT 的方差是
勇于开始，才能找到成 功的路
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
(荐)保险事务专业保险精算习题及答案(财经类)保险事务)
2014年保险事务专业保险精算习题及答案第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。
3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
6．设m ＞1，按从大到小的次序排列 ()222x x v b q e p +与δ。
7．如果0.01t t δ=，求10 000元在第12年年末的积累值。
8．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。
9．基金A 以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B 以利息强度6t tδ=积累，在时刻t (t=0)，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。
10. 基金X 中的投资以利息强度0.010.1t t δ=+(0≤t ≤20), 基金Y 中的投资以年实际利率i 积累；现分别投资1元，则基金X 和基金Y 在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y 的积累值。
11. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（ ）万元。
A. 7.19B. 4.04C. 3.31D. 5.2112.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为（ ）元。
保险精算习题及答案
第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。
第4章 寿险精算现值 2.ppt
A
1 x:20
和 A
1 x:20
◆关于
A
(m) x
的计算
把死亡发生年划分成m个相等的部分，死亡 给付在死亡发生的那部分期末进行。这时1单位元 的终身寿险现值以
A
(m) x
表示。
当m趋于无穷大时，有
Ax lim A
m
( m) x
A
( m) x
E (v
E (v i i
(m)
K S( m)
0, K 0,1, 2,, m 1 Z K 1 v , K m, mx 表示，有
x 1
k m
A E ( Z ) x m
显然有
v
k 1
M xm k qx Dx
Ax A
1 x:m
m Ax
5.延期m年的n年定期寿险
例：计算保险金额为10000元的下列保单，在 30岁签发时的趸缴净保费。假设死亡给付发生 在保单年度末，利率为6%。 （1）终身寿险
（2）30年定期寿险
（3）30年两全保险。
作业：1、对于两年定期寿险，死亡年末给付保险金， 若在第一年内死亡，给付保险金5000元，第二年内死 亡给付保险金10000元，并给出如下生命表
例: 设（35）投保5年两全保险，保险金额为1 万元， 预定利率为6%，保险金死亡年末给付， 按附表1示例生命表计算其趸缴纯保费。
A35 : 5 A
4
1 35 : 5
A
k
1 35 : 5 5 5
v
k 0
k 1
q35 v
p35
1 4 k 1 5 ( v d35 k v l40 ) l35 k 0
●
第4章 人寿保险的精算现值
第4章 人寿保险的精算现值人寿保险的精算现值也称为趸交纯保费。
4.2 死亡年末给付的人寿保险死亡年末给付的人寿保险是指保险金的支付是在死亡发生的（保险期）年末进行的人寿保险。
4.2.1 定期寿险的趸交纯保费设)(x 投保n 年期定期寿险，保险金额为1元，保险金在死亡年度末给付。
设K = ][T ,即取整余命随机变量，给付函数用b K 1+表示，则有 b K 1+ = 1，当K = 0，1，2，…，n-10, 其它相应的贴现因子用v K 1+表示，保险金给付额折换成购买保险合同签单时的现值用随机变量Z 表示。
Z 的可能取值为z K 1+（K = 0，1，2，…，n-1）z K 1+ = v b K K 11++⋅ = vK 1+定期寿险的趸交纯保费用统一的精算符号1x n A 表示，那么1x nA= )(Z E =∑-=++⋅⋅11n k kx xk qp vk)(Z Var = )]([22)(ZE Z E -=2211()x nx nAA-其中 21x nA= )(2Z E = ∑-=++⋅⋅1)1(2n k kx xk qp vk4.2.2 生存保险n 年期生存保险是当被保险人生存至n 年期满时，保险人在第n 年年末支付保险金的保险。
设)(x 投保n 年期生存寿险，保险金额为1元，保险金在第n 年年末给付。
精算中用1x nA表示该生存保险的趸交纯保费。
可以推出1x nA=pvnxn⋅相应的方差为)(Z Var = )]([22)(Z E Z E - = 2112()x nx n A A-= q pvn nxxn⋅⋅24.2.3 终身寿险的趸交纯保费Ax=1lim x nn A→∞=∑∞=++⋅⋅1k kx xk qp vk相应的方差为)(Z Var = )]([22)(ZE Z E -= )(22A Ax x-4.2.4 两全保险的趸交纯保费设)(x 投保n 年期两全保险，保险金额为1元，若)(x 在n 年内死亡，则在死亡年末给付保险金，若)(x 生存满n 年，则在第n 年年末支付满期保险金。
第四章 人寿保险的精算现值(.3.27)共91页文档
E(Zt)E(bK1vK1)＝ Zt.kqx E(Zt)E(bTvT) Zt.fT(t)dt
寿险精算
8
这个期望给付就等于被保险人的趸缴纯保费 也就是精算现值，即
精算现值＝ E ( Z t )
净均衡原理并不是指每个被保险人个人缴 纳的净保费恰好等于他个人得到的保险给 付金额。它的实质是把相同风险的人视作 一个总体，这个总体在统计意义上的收支 平衡
寿险精算
9
§4.1 死亡即付的人寿保险
• 死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障 期内发生保险责任范围内的死亡，保险公 司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险 赔付。它是在实际应用场合，保险公司通 常采用的理赔方式。
• 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的 任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个 连续随机变量，它距保单生效日的时期长 度就等于被保险人签约时的剩余寿命。
连续型寿险
寿险精算
10
主要险种的精算现值（趸缴纯保费）的厘定 1.n年定期保险 2.终身保险 3.生存保险 4.n年期两全保险 5.延期寿险 ——延期m年的终身保险 ——延期m年的n年定期保险 ——延期m年的n年期两全保险
寿险精算
11
一、n年定期保险的精算现值
1.定义——什么是定期保险
2.基础模型假定条件
寿险精算
5
• 为了解决以上问题，趸缴净保费的厘定给 出了以下三条假设：
假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保 险人的剩余寿命独立同分布 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经 验生命表进行拟合 假定三：保险人可以预测将来的投资收益
这三条假定将单个被保险人的风险事故转 化为一个同质总体的风险事故
保险精算第二版习题及答案
第四章：人寿保险的精算现值练 习 题1. 设生存函数为()1100xs x =- (0≤x ≤100)，年利率i =0.10，计算(保险金额为1元)： (1)趸缴纯保费130:10Ā的值。
(2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z 的方差Var(Z)。
1010130:101010211222230:1030:10()1()1100()100110.0921.17011()()0.0920.0920.0551.2170t x x t tt t x x t tt t x x t x s x t s x p s x xA v p dt dt Var Z A A v p dt dt μμμ+++'+=-⇒=-=-⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰2． 设年龄为35岁的人，购买一张保险金额为1 000元的5年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡的保单年度末给付，年利率i=0.06，试计算： (1)该保单的趸缴纯保费。
(2)该保单自35岁～39岁各年龄的自然保费之总额。
(3)(1)与(2)的结果为何不同？为什么？ （1）法一：4113536373839234535:53511000()1.06 1.06 1.06 1.06 1.06k k x x k k d d d d d Av p q l ++===++++∑ 查生命表353536373839979738,1170,1248,1336,1437,1549l d d d d d ======代入计算：4113536373839234535:53511000() 5.7471.06 1.06 1.06 1.06 1.06k k x x k k d d d d d Av p q l ++===++++=∑ 法二：1354035:53510001000M M A D -=查换算表1354035:53513590.2212857.61100010001000 5.747127469.03M M A D --===（2）1353535:1351363636:1361373737:1371383838:138143.581000100010001000 1.126127469.03144.471000100010001000 1.203120110.22145.941000100010001000 1.29113167.06100010001000100C p A D C p A D C p A D C p A D ===============1393939:1393536373839148.050 1.389106615.43150.551000100010001000 1.499100432.541000() 6.457C p AD p p p p p =====++++=（3）1112131413523533543535:535:136:137:138:139:11353637383935:5A A vp A v p A v p A v p A Ap p p p p =++++∴<++++3. 设0.25x =A , 200.40x +=A , :200.55x =A , 试计算： （1） 1:20x A 。
保险精算中的人寿保险的精算现值的模型
保险精算中的人寿保险的精算现值的模型一、人寿保险简介保险精算学主要分为两大类：一个是所谓的人寿保险（寿险精算），另一个是非人寿保险。
前者主要以人的寿命、身体或健康为“保险标的”的保险。
非人身保险主要包括：汽车保险、屋主保险、运输保险、责任保险、信用保险、保证保险等。
而这次我们主要讨论人寿保险。
狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险。
广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。
它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标底的生存保险和两全保险。
人寿保险的分类根据不同的标准，人寿保险有不同的分类：（1）以被保险人的受益金额是否恒定进行划分，可分为：定额受益保险，变额受益保险。
（2）以保障期是否有限进行划分，可分为：定期寿险和终身寿险。
（3）以保单签约日和保障期是否同时进行划分分为：非延期保险和延期保险。
（4）以保障标的进行划分，可分为：人寿保险（狭义）、生存保险和两全保险。
人寿保险的特点1：保障的长期性这使得从投保到赔付期间的投资收益（利息）成为不容忽视的因素。
2：保险赔付金额和赔付时间的不确定性人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。
被保险人的死亡时间是一个随机变量。
这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。
3：被保障人群的大多数性保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。
人寿保险趸缴纯保费厘定的原理1、假定传统的人寿保险产品的趸缴纯保费是在如下假定下厘定的：假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命独立同分布。
假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。
假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。
2、原理保险公司在上面三个假定条件下，按照净均衡的原则来厘定趸缴纯保费的数额。
而趸缴纯保费是指在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值。
保险精算 第4章 年金精算现值
d
38
Actuarial Science
期末付年金的精算现值
保险精算
39
期末付年金的精算现值
终身生存年金：
a x v k k p x a x 1 k 1 1 Ax 1 d 1 d Ax d 1 i [1(1i)Ax]
1iax(1i)Ax
A
x
解
P
a T
ax
1vT
P
15.38
1e0.05T
P
0.05
15.38Pe0.05T0.231
P 0.05 T 1.4653 PT29.31 29.310.015e0.015tdt 0.3557 0
21
2a )(a )2
x:n
x:n
27
Actuarial Science
年金的精算累积值
保险精算
28
年金的精算累积值
s x :n
1a E x:n
nx
1 a (1i)n lx a
vn n p x x:n
l x:n xn
lxnsx:n(1i)nlxax:n
29
Actuarial Science
以两个或两个以上的被保险人作为年金受领 人，并且以其生命作为年金给付条件
6
生存年金的种类
定额年金： 每次按固定数额给付的年金
给付年金的
额度
变额年金：
年金支付额是变动的，依据是各时期物价上 涨情况或股票投资收益状况
7
生存年金的种类
即付年金：
在保险合同订立后就立即开始按期给付的 年金
给付开始的
日期
延付年金：
保险精算 第4章2 人寿保险的精算现值
例6
55岁的男性投保5年期的定期保险，保险金额为 1000元，保险金在死亡年末给付，按中国人寿保险 业 经验生命表 （2000-2003年）非养老业务男表和利率 6%计算趸缴纯保费。 4 d 55k 1 k 1 1000 v 解：A55: 5| l k 0
55
vd55 v d 56 v d 57 v d 58 v d 59 1000 l55
2 3 4 5
26.981485(元)
注：
令n 1, 在符号Ax1: n|中， Ax1: 1| 在人寿保险中又称为自然保费， 或记作符号 c x
根据每一保险年度，每一被保险人当年年龄的预 定死亡率计算出来的该年度的死亡纯保费。 1 dx cx vqx 1 i lx “均衡保费制”
n年定期寿险的趸缴纯保费
基本函数关系 记 K ( x) [T ] k 为被保险人的取整余命，则
保险金给付在签单时的现值随机变量为
v , Z bK vK 0,
K 1
K 0,1,, n 1 其他
A1 x:n 表示其趸缴纯保费。
则
E ( Z ) v k p x q xk
T v , T n 0, T n 其中Z1 , Z2 n 0, T n v , T n
Z1 Z 2 0
1 Var(Z ) Var(Z1 ) Var(Z2 ) A1 A x：n| x：n|
延期m年的n年期两全保险
定义 保险人对被保险人在投保m年后的n年期内发生保险 责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保 险人再生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金 的保险。 假定(x)投保延期m年的n年期两全保险，保额1元。 基本函数关系 0, t m 0 , t m bt t 1, t m z b v v , m t m n
保险精算第二版习题及答案
保险精算（第二版）第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。
保险精算-第4章1-人寿保险的精算现值
延期m年的终身寿险
定义 保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任 范围内的死亡均给付保险金的险种。
zt btvt vt , t 0
Z bv TT
vT
t0
Ax 表示终身寿险的趸缴纯保费。
Ax
E(Z)
z f (t)dt
0t
T
vt p dt e t p dt
0
tx
xt
0
tx
xt
方差为
Var(Z )
例2
设 (x)要投保终身寿险，保险金额1元，签单时其未
来寿命 T 的概率密度函数为
0
T
v e
1
A x:n
表示n年期死亡保险的精算现值。
方差公式：
Var(Z ) E(Z 2 ) [E(Z )]2 E(Z 2 ) (A1 )2 x: n|
E(Z 2 ) n z 2 f (t)dt 0t T
n
n
v2t f (t)dt e f 2 t (t)dt
0
T
0
T
记为
（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）
f T
(t)
1 60
，
0
t
60
0， 其他
利息强度为 ( 0) ，在签单时的保险金给付现值随机
变量为 Z，试计算： (1) A x
(2)Var(Z )
(3)满足P(Z ) 0.9的 .
第四章 人寿保险的精算现值(2013327)
• 计算
1 （） 1 A30:10
(2)Var ( zt )
寿险精算
16
(1) A
1 30:10
v t f30 ( t )dt
0
10
10
0
S ( x t ) 1 fT ( t ) S( x) 100 x
寿险精算 11
主要险种的精算现值（趸缴纯保费）的厘定 1.n年定期保险 2.终身保险 3.生存保险 4.n年期两全保险 5.延期寿险 ——延期m年的终身保险 ——延期m年的n年定期保险 ——延期m年的n年期两全保险
寿险精算 12
一、n年定期保险的精算现值 1.定义——什么是定期保险 2.基础模型假定条件 1）投保年龄为x岁，保额为1单位元，保险期 1,t n 限n年，则
寿险精算 7
六、基本符号约定
在以上三个假定条件满足的情况下，趸缴净 保费是这样厘定的：
假定风险事故会在t时刻发生（t为余命），则 bt ——给付额 ——折现因子或贴现因子 t Zt ——给付额在保单签发之日的现值 那么给付额的现值函数为：
v
Zt bt vt
t取不同的值，现值函数有不同的表达式
寿险精算
6
• 为了解决以上问题，趸缴净保费的厘定给 出了以下三条假设： 假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保 险人的剩余寿命独立同分布 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经 验生命表进行拟合 假定三：保险人可以预测将来的投资收益
这三条假定将单个被保险人的风险事故转 化为一个同质总体的风险事故
1 , 0 t 60 fT (t) 60 , 其它 0
• 计算
第二章人寿保险的精算现值
100 j1
j 1,2,,100
100 j1
从而可得EZ EZ j 400， VarZ VarZ j 900
• 第二章 人寿保险的精算现值 12
设该项基金在最初时的数额至少是 h 元 , 依题意 , 则
ZE Z h E Z 0 P .95 , r Z Var Z Var h400 近似服从于标准正态分 布，则 1 .645 30 故 h400 30 1 .645 449.35( 元 )
2 T 2 2 1 x :n
1 2 x :n
对于投保连续型的保险 金额为 1 个单位的终身寿险， 其趸缴纯保费是 A t)t pxuxtdt x v t pxuxtdt exp(t 0 0
• 第二章 人寿保险的精算现值 7
记A t)t pxuxtdt x exp(-2
t h h 2 n 0 2
2 记 tt px uxtdt h A x exp
Zh A 其现值随机变量 Z 的方差是 Var x hA x
• 第二章 人寿保险的精算现值
2
15
表示连续型的保险金额为 1 个单位的延期 h 年的 n 年期定期寿险和延期 h 年的 n 年期两全保险的趸缴 纯保费分别为
• 第二章 人寿保险的精算1 , t n v , T n t b ,v v , t 0 ,Z t t T 0 , t n 0 , T n
对于 (x) 投保连续型的保险金额为 1 单位的 n 年期定期寿 险 , 其有关函数是
•
第二章 人寿保险的精算现值
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签单时保险金给付现值随机变量为
Z
bv TT
0,
vn
,
T n T n
离散型
1
A x:n
表示 n年期生存保险的精算现值。
E nx
1
Ax:n E(Z )
方差为
Var(Z )
n年定期两全保险
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围 内
的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生
存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。
1
2
30：10 |
30：10 |
0.0431
各种死亡即付趸缴纯保费的公式归纳
n
n
A 1 vt f (t)dt vt p dt
x: n| 0
T
0
tx
xt
Ax
vt p dt
0
tx
xt
m| Ax
m
vt
fT
t
dt
A A A m|
v f (t)dt 1
m1n t
1
x: n|
vK1, K 0,1, , n 1
Z
b K
v K
vn ,
K n, n 1,
表示n年期两全保险的精算现值。
方差为
A1 E x: n | n x
Var(Z )2A ( A )2
x
x
两全保险的趸缴纯保费
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内
的死亡，则在死亡年末给付保险金；如果被保险人
生存满n年，则在第n年末支付保险金的保险。
等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。
基本函数关系
b 1, k 0,1, k
vk1, k 0,1, , n 1
v k
vn ,
k n, n 1,
xk
v l l v l k0
x
xk
n1
k 1
xk
k 0
x
其中
Var(Z ) E(Z 2 ) [E(Z )]2
n1
v 2(k1) p q
kx
xk
k 0
例6
55岁的男性投保5年期的定期保险，保险金额为
1000元，保险金在死亡年末给付，按中国人寿保险 业
经验生命表 （2000-2003年）非养老业务男表和利率
c x
根据每一保险年度，每一被保险人当年年龄的预
定死亡率计算出来的该年度的死亡纯保费。
c vq 1 dx
x
x 1i l
x
“均衡保费制”
终身寿险的趸缴纯保费
n年定期保险的趸缴纯保费
n1
v k1 p q
kx
xk
k 0
n n年定期寿险即成为终身寿险。
A 表示终身寿险的趸缴纯保费。 x
方差为 Var(Z ) E(Z 2 ) [E(Z )]2 2A ( A )2
等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。
假定(x)投保n年定期两全保险，保额1元。
基本函v数t 关vv系tn
, ,
tn tn
bt 1 , t 0
zt
bt vt
vt , t n
v
n
,
tn
签单时保险金给付现值随机变量为
Z
bv TT
vT , vn,
T n T n
表示n年期两全保险的精算现值。
假定(x)投保延期m年的n年期两全保险，保额1元。
基本函数关系
0, t m
b t
1,
t
m
0, t m
z t
b t
v t
vt ,
mt mn
vt, m t m n
v t
vmn ,
t mn
vmn , t m n
A 表示延期m年的n年期两全保险的精算现值。
m| x : n|
看成是x岁的被保险人生存m年后，到x+m岁 时再获得一个n年期的两全保险。
Z
Z 1
Z 2
其中Z 1
vT 0,
, T n T n ,Z2
0, vn,
T n T n
A x:n
A1 x:n
A1 x:n
n 0
vt
tபைடு நூலகம்
px
xt dt
vn
n
px
方差？
方差
Var(Z ) Var(Z ) Var(Z ) Cov(Z , Z )
1
2
1
2
Var(Z ) Var(Z ) E(Z Z ) E(Z ) E(Z )
n年定期寿险的趸缴纯保费
基本函数关系
记 K(x) [T ] k 为被保险人的取整余命，则
保险金给付在签单时的现值随机变量为
vK1, K 0,1, , n 1
Z
b K
v K
0,
其他
A1 x:n
表示其趸缴纯保费。
则 n1
E(Z ) v k1 p q
kx
xk
k 0
方差为
n1
l d d k1 xk
6%计算趸缴纯保费。
A1
解： 55: 5|
1000
4
v d k1
55k
k 0
l 55
vd v2d v3d v4d v5d
1000 55
56
57
58
59
l
55
26.981 485(元)
注：
在符号 A1 中，令n 1, x: n|
A1 x: 1|
在人寿保险中又称为自然保费，或记作符号
A
m| x : n|
A A 1
x：m|
xm：n|
v p A m mx
xm：n|
例5（例1续）
设 S(x) 1 x , 0 x 100
100
i 0.1
计算
(2) Var(Z)
解：由例1已知
Var(Z ) 0.055 1
答案
(2) Var(Z ) 2
Var(Z) Var(Z ) Var(Z ) A1 A 1
mx：mn | T
x：m|
1
A x:n
vn p nx
A x:n
A1 x:n
A1 x:n
A A A m| x:n|
1
x：m|
xm：n|
4.2 死亡年末给付的人寿保险
死亡年末赔付的含义
指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内 的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生的当年年末 给予保险赔付。
由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末， 所以死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量， 它距保单生效日的时期长度等于被保险人签约时的 整值剩余寿命加一。 这正好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提供 的生命表函数。所以死亡年末赔付方式是保险精算 师在厘定趸缴保费时通常假定的理赔方式。
4.1.5 生存保险与两全保险的趸缴纯保费
n 年定期生存保险
定义
被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第n
年末支付保险金的保险。
假定: (x) 投保n年定期生存保险，保额1元。
基本函数关系
vt vn , t 0
vn , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt
btvt
0
,
tn
1
2
1
2
1
2
其中Z 1
vT 0,
, T n ,
T n
0, T n
Z 2
vn,
T
n
Z Z 0
1
2
Var(Z
)
Var(Z 1
)
Var(Z 2
)
A1 x：n|
A1 x：n|
延期m年的n年期两全保险
定义 保险人对被保险人在投保m年后的n年期内发生保险
责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保 险人再生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金 的保险。