高中数学 第二章 参数方程 三 直线的参数方程检测(含解析)4-4

三、直线的参数方程
A 级 基础巩固
一、选择题
1．直线错误!(α为参数，0≤α〈π)必过点（ ）
A ．（1,－2）
B ．(－1，2)
C ．（－2，1）
D ．（2，－1)
解析:由参数方程可知该直线是过定点（1，－2)，倾斜角为α的直线．
答案：A
2．对于参数方程错误!和错误!下列结论正确的是（ )
A ．是倾斜角为30°的两平行直线
B ．是倾斜角为150°的两重合直线
C ．是两条垂直相交于点（1，2)的直线
D ．是两条不垂直相交于点(1,2）的直线
解析：因为参数方程错误!可化为标准形式错误!所以其倾斜角为150°.
同理,参数方程错误!
可化为标准形式错误!
所以其倾斜角也为150°。

又因为两直线都过点(1，2），故两直线重合．
答案：B
3．若直线
｛x ＝1－2t ，y ＝2＋3t （t 为参数）与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝（ ） A.83
B ．－6
C ．6
D ．－错误!
解析：由直线的参数方程可得直线的斜率为－错误!,
由题意得直线4x ＋ky ＝1的斜率为－错误!，
故－错误!×错误!＝－1，解得k ＝－6。

答案:B
4．直线错误!(t 是参数，0≤θ〈π)与圆错误!(α是参数)相切,则θ＝ （ ）
A.错误!
B.错误! C 。

错误!或错误! D.错误!或错误!
解析:直线为y ＝x tan θ,圆为(x －4)2＋y 2＝4，因为直线与圆相切，所以圆心(4，0）
到直线x tan θ－y＝0的距离等于半径2,即错误!＝2，解得tan θ＝±错误!，易知θ＝错误!或错误!.
答案：C
5．若圆的方程为错误!（θ为参数），直线的方程为错误!（t为参数），则直线与圆的位置关系是（)
A．相交过圆心B．相交而不过圆心
C．相切D．相离
解析：圆的圆心坐标是(－1，3）,半径是2，直线的普通方程是3x－y＋2＝0，圆心到直线的距离是错误!＝错误!＝错误!〈2，故直线与圆相交而不过圆心．
答案：B
二、填空题
6．若直线l的参数方程为错误!（t为参数)，则直线l的斜率为________．
解析：由参数方程可知,cos θ＝－错误!，sin θ＝错误!(θ为倾斜角），
所以tan θ＝－错误!,即为直线斜率．
答案：－错误!
7．已知直线l：错误!(t为参数）,圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ,则圆心C到直线l的距离为________．
解析:直线l的普通方程为2x－y＋1＝0，圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x2＋y2－2x ＝0,即（x－1）2＋y2＝1，圆心为（1，0）．
故圆心C到直线l的距离为错误!＝错误!。

答案:错误!
8．在平面直角坐标系xOy中,若直线l：错误!（t为参数)过椭圆C：错误!(φ为参数）的右顶点，则常数a的值为________．
解析:直线l：错误!消去参数t后得y＝x－a.
椭圆C：错误!消去参数φ后得错误!＋错误!＝1。

又椭圆C的右顶点为（3，0)，代入y＝x－a得a＝3.
答案：3
三、解答题
9．在直线坐标系xOy中，直线l的参数方程为错误!（t为参数),在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ。

（1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求｜PA||PB|的值．解:(1）直线l的普通方程为x－y＋3＝0,
因为ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ，
所以曲线C 的直角坐标方程为（x ＋1）2＋(y －2)2
＝5.
（2)将直线l 的参数方程错误!(t 为参数)代入曲线C ：(x ＋1）2＋（y －2）2＝5，得到t 2＋2错误!t －3＝0，
所以t 1t 3＝－3，
所以｜PA ｜｜PB |＝｜t 1t 2|＝3.
10．极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的直线与x 轴的交点为P ,与椭圆错误!(θ为参数）交于A ，B 两点，求|PA ｜·｜PB ｜。

解：直线ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的斜率为－1，令θ＝0，得ρ＝1，所以直线与x 轴交于点(1，0)[如令θ＝π，得ρ＝－1,将点的极坐标化为直角坐标还是(1，0）］，
所以直线的参数方程为错误!(t 为参数)．①
椭圆的普通方程为x 2＋4y 2
＝4,②
将①代入②中，得5t 2－2错误!t －6＝0,③
因为Δ＝128〉0,根据参数t 的几何意义知
｜PA |·｜PB ｜＝｜t 1·t 2｜＝错误!.
B 级 能力提升
1．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为错误!错误!和错误!（t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．
解析:曲线C 1和C 2的普通方程分别为 x 2＋y 2＝5，①
x －y ＝1，②
其中0≤x ≤错误!,0≤y ≤错误!，
联立①②解得错误!
所以C 1与C 2的交点坐标为(2,1）．
答案:(2，1）
2．已知直线C 1的参数方程错误!（t 为参数),曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ，设曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点，则|AB ｜＝________．
解析：曲线C 2的极坐标方程可变为ρ2＝4ρsin θ,化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0， 将C 1：错误!代入,得5t 2－6t －2＝0,
则t 1＋t 2＝65，t 1t 2＝－25
,则｜AB |＝错误!｜t 1－t 2｜＝错误!·错误!＝错误!× 错误!＝错误!。

答案：错误!
3．（2016·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x ＋6)2＋y 2＝25.
（1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；
(2）直线l的参数方程是错误!(t为参数），l与C交于A，B两点，｜AB｜＝错误!，求l的斜率．
解：（1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0。

(2)由直线l的参数方程错误!(t为参数），
消去参数得y＝x·tan α。

设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kx－y＝0。

由圆C的方程(x＋6）2＋y2＝25知,圆心坐标为(－6，0),半径为5.
又|AB|＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得
错误!＝错误!，即错误!＝错误!，
整理得k2＝错误!，解得k＝±错误!，
即l的斜率为±错误!。

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