专题14 坐标系与参数方程、不等式选讲(解析版)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编

专题14
坐标系与参数方程、不等式选讲考点三年考情（2022-2024）命题趋势
考点1：不等式选讲之面积问题2023年高考全国甲卷数学（理）真题
2023年高考全国乙卷数学（理）真题
高考对选做题的考查相对稳定，
考查内容、频率、题型、难度均
变化不大．不等式选讲主要以证
明不等式为主，坐标系与参数方
程主要以考察直角坐标方程与极
坐标方程互化为主.
考点2：不等式选讲之证明不等式、范围问题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2022年高考全国甲卷数学（理）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题
考点3：直角坐标方程与极坐标方程互化2023年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2022年高考全国甲卷数学（理）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题
考点4：的几何意义2024年高考全国甲卷数学（理）真题
考点1：不等式选讲之面积问题
1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设0a >，函数()2f x x a a =--．(1)求不等式()f x x <的解集；
(2)若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．【解析】（1）若x a ≤,则()22f x a x a x =--<,即3x a >,解得3a x >
,即3
a
x a <≤,若x a >,则()22f x x a a x =--<,解得3x a <,即3a x a <<,综上,不等式的解集为,33a a ⎛⎫
⎪⎝⎭.
（2）2,()23,x a x a
f x x a x a
-+≤⎧=⎨
->⎩.画出()f x 的草图,则()f x 与x 轴围成ABC ,ABC 的高为3,,0,,022a a a A B ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,所以||=AB a ,
所以211
||222
ABC S AB a a =
⋅== ,解得2a =
.2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知()22f x x x =+-.(1)求不等式()6f x x ≤-的解集；
(2)在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60
f x y
x y ≤⎧⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积.
【解析】（1）依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x ->⎧⎪
=+≤≤⎨⎪-+<⎩
，
不等式()6f x x ≤-化为：2326x x x >⎧⎨-≤-⎩或02
26x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩或0326x x x
<⎧⎨-+≤-⎩，
解2326x x x >⎧⎨-≤-⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩
，得02x ≤≤，解0
326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，得20x -≤<，因此22x -≤≤，
所以原不等式的解集为：[2,2]
-（2）作出不等式组()60
f x y x y ≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC ，
由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A -，由2
6y x x y =+⎧⎨+=⎩
,解得(2,4)C ，又(0,2),(0,6)B D ，
所以ABC 的面积11
|||62||2(2)|822
ABC C A S BD x x =
⨯-=-⨯--= .考点2：不等式选讲之证明不等式、范围问题
3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知实数,a b 满足3a b +≥．(1)证明：2222a b a b +>+；
(2)证明：22
226a b b a -+-≥．
【解析】（1）因为()()2
222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥，当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+;
（2）222222
222222()
a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326
a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=4．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明：(1)23a b c ++≤；(2)若2b c =，则
11
3a c
+≥．【解析】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式
由柯西不等式有()()()22
2222221112a b c a b c ⎡⎤++++≥++⎣⎦
，所以23a b c ++≤，当且仅当21a b c ===时，取等号，所以23a b c ++≤.[方法二]：基本不等式
由222a b ab +≥，2244b c bc +≥，2244a c ac +≥，
()
()
2
22222224244349a b c a b c ab bc ac a b c ++=+++++≤++=，
当且仅当21a b c ===时，取等号，所以23a b c ++≤.
（2）证明：因为2b c =，0a >，0b >，0c >，由（1）得243a b c a c ++=+≤，即043a c <+≤，所以
11
43
a c ≥+，由权方和不等式知()2
22
12111293444a c a c a c a c
++=+≥
=≥++，
当且仅当12
4a c
=，即1a =，12c =时取等号，
所以
11
3a c
+≥.5．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知a ，b ，c 都是正数，且3
3
3
2221a b c ++=，证明：(1)1
9
abc ≤；(2)
2a b c b c a c a b abc
+++++；【解析】（1）证明：因为0a >，0b >，0c >，则3
20a >，3
20b >，3
20c >，
所以333333
2
2
2
32223
a b c a b c ++≥⋅⋅，
即()12
13abc ≤
，所以19abc ≤，当且仅当333222a b c ==，即31
9
a b c ==（2）证明：因为0a >，0b >，0c >，所以2b c bc +≥2a c ac +≥2a b ab +≥所以32
22a b c bc abc ≤=+32
22b a c ac abc ≤=+32
22c a b ab abc ≤=+3
333332
2
2
2
2
2
22222a b c a b c a c a b abc abc abc abc abc
++≤==+++当且仅当a b c ==时取等号．
考点3：直角坐标方程与极坐标方程互化
6．
（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知点(2,1)P ，直线2cos :1sin x t l y t α
α=+⎧⎨=+⎩
（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，且||||4PA PB ⋅=．(1)求α；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．【解析】（1）因为l 与x 轴，y 轴正半轴交于,A B 两点，所以π
π2
α<<，令0x =，12cos t α=-
，令0y =，21
sin t α
=-，所以2124
4sin cos sin 2PA PB t t ααα
====，所以sin 21α=±，
即π2π2k α=+，解得π1
π,42
k k α=+∈Z ，因为
π
π2α<<，所以3π4
α=．（2）由（1）可知，直线l 的斜率为tan 1α=-，且过点()2,1，所以直线l 的普通方程为：()12y x -=--，即30x y +-=，
由cos ,sin x y ρθρθ==可得直线l 的极坐标方程为cos sin 30ρθρθ+-=．
7．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为π
π2sin 42⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ρθθ，曲线2C ：2cos 2sin x y αα
=⎧⎨=⎩（α为参数，
2
απ
<<π）.(1)写出1C 的直角坐标方程；
(2)若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.【解析】（1）因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=，整理得()2
211x y +-=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，
又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======-ρθθθθρθθθ，且
ππ
42
θ≤≤，则π2π2≤≤θ，则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=-∈θθ，
故()[][
]2
21:11,0,1,1,2C x y x y +-=∈∈.（2）因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩
（α为参数，π
π2α<<），
整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；
若直线y x m =+，即0x y m -+=与2C 相切，则220m
=>⎩
，解得2m =，
若直线y x m =+与12,C C 均没有公共点，则2m >0m <，即实数m 的取值范围()()
,02,-∞+∞ .
8．
（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为26t x y t +⎧=
⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为26s x y s +⎧
=-
⎪⎨⎪=⎩
（s 为参数）．
(1)写出1C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为2cos sin 0θθ-=，求3C 与1C 交点的直角坐标，及3C 与2C 交点的直角坐标．
【解析】（1）因为26t x +=，y t ，所以226
y x +=，即1C 的普通方程为()2
620y x y =-≥．
（2）因为2,6
s
x y s +=-
=262x y =--，即2C 的普通方程为()2620y x y =--≤，由2cos sin 02cos sin 0θθρθρθ-=⇒-=，即3C 的普通方程为20x y -=．联立()262020y x y x y ⎧=-≥⎨-=⎩，解得：121
x y ⎧
=⎪⎨⎪=⎩或12x y =⎧⎨=⎩，即交点坐标为1,12⎛⎫
⎪⎝⎭，()1,2；
联立()262020y x y x y ⎧=--≤⎨-=⎩，解得：121
x y ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩，即交点坐标为1,12⎛⎫
-- ⎪⎝⎭，()1,2--．
9．
（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为322sin x t
y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为
sin 03m πρθ⎛
⎫ ⎪⎝
+⎭+=．
(1)写出l 的直角坐标方程；
(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．
【解析】（1）因为l ：sin 03m πρθ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=，所以13
sin cos 022ρθθ⋅+⋅+=m ，
又因为sin ,cos y x ρθρθ⋅=⋅=，所以化简为13
022
+=y x m ，
整理得l 320++=y m （2）[方法一]：【最优解】参数方程
联立l 与C 的方程，即将32=x t ，2sin y t =320++=x y m 中，可得23cos 22sin 203(12sin )2sin 20t t m t t m ++=⇒-++=，化简为26sin 2sin 320-+++=t t m ，
要使l 与C 有公共点，则226sin 2sin 3=--m t t 有解，令sin =t a ，则[]1,1a ∈-，令2()623=--f a a a ，(11)a -≤≤，对称轴为1
6
a =
，开口向上，()(1)6235max f f a =-=+-=∴，min 11219
(()36666==--=-f f a ，
19256
m ∴-
≤≤，即m 的取值范围为195,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.
[方法二]：直角坐标方程
由曲线C 的参数方程为322sin x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，t 为参数，消去参数t ，可得223
23y =+，联立2320
23
23x y m y x ++=⎨=+⎪⎩
，得232460(22)y y m y ---=-≤≤，即2
2119
4326333
m y y y ⎛⎫=--=--
⎪⎝⎭，即有194103m -
≤≤，即195122
-≤≤m ，m ∴的取值范围是195,122⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦．【整体点评】方法一：利用参数方程以及换元，转化为两个函数的图象有交点，是该题的最优解；方法二：通过消参转化为直线与抛物线的位置关系，再转化为二次函数在闭区间上的值域，与方法一本质上差不多，但容易忽视y 的范围限制而出错．
考点4：t 的几何意义
10．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；
(2)设直线l ：x t
y t a =⎧⎨
=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a .【解析】（1）由cos 1ρρθ=+，将22
x y ρρθ⎧⎪=+⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，
221x y x +=+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.
（2）对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+.法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为
π4
，故直线的参数方程可设为2
2
22x s y a s ⎧=
⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，s ∈R .
将其代入221y x =+中得()22
22(1)210
s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s ，则)()2
121221,21s s a s s a +=--=-，
且()()
2
2
Δ818116160a a a =---=->，故1a <，
()
2
1212124AB s s s s s s ∴=-=+-()2
2818(1)2a a =---=，解得34
a =
.法2：联立221
y x a
y x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +-+-=，
()
22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，
设()()1122,,,A x y B x y ,2
121222,1x x a x x a ∴+=-=-，
则()
2
21212114AB x x x x =++-()
22
2(22)41a a =---2=，
解得34
a =。