固体光学第二章2

T（ ） ω在ω=0时，响应函数
T（ ） ω 在ω= 0处有奇点。要解决此问题，可定义一个新函数
ω ' T (ω ' ) f (ω ' ) = ω '− ω r
T (ω ' ) = Ne
2
/mε
(2.52)
0
− ω ' 2 − i ωγ
其中函数ωT（ω）在上半复平面包括实轴是解析的，而且当 时收敛，因此可以对其直接使用KK公式，得
♠ n 同ε一样，在ω的上半复平面无极点。
T (ω ) n −1 →1/ ω2 →0 n ♠ 当时 ω → ∞ ， → 1 + 2 ，因而 ， 是收敛的；其次n的奇偶关系也与ε相同。因此可以直接
写出 n 和κ之间的KK关系
n (ω r ) − 1 =
2
+∞
π
2ω
P
r
∫
0
ω ' κ (ω ' ) dω ' 2 2 ω ' −ω
因为根据定义n≥0,κ≥0。
(2.59)
其中r是ω的解析函数，除非n = nr + iκ = -1，但这不可能，
ω → ∞, κ → 0, n → 1 ， 所以 r →0。 r r r r E r = rE i , 没有 Ei , 则没有 E r , 因此 r 是一个线性响应函数，
因为 满 足 KK 变换的条件。 反射光谱R（ω）易测，r0(ω)=[R(ω)]1/2 。 如果 θ 能通过 r0变换得到，测R（ω）, 即可求 t 和 n , κ 等。 R , 分析lnr = lnr + iθ 的解析性。 因r（ω）解析，ln r（ω）无极点。 当
λj与吸收强度Aj分别为
λj 0.0347 Aj 0.052 0.1085 1.005 0.1584 0.271 61.67(µm) 3.535
利用公式(2.51)可以得到静态介电常数ε(0)=5.86， 用其它实验方法测量得ε(0)=5.90。 对于金属中自由电子，固有频率ω0=0,公式(2.47)需要加以 修正。因为当ω0=0时，响应函数
(2.55)
假设一个以t和x为变数的平面电磁波，一般可以表示为
r E ( x, t) =
+∞
r 由因果关系，若t <0, E（t ,0) =0; 另一方面，当t <0,
由(2.56)式得
−∞
∫
r E ( ω ) e − i ω ( t − xn
/ c)
dω
(2.56)
E (t ,0 ) =
+∞
−∞
2.4 克喇末 克喇末(Kramas-Kronig)-克朗尼格（KK）变换 克朗尼格（ ） 克朗尼格 凡是由因果关系决定的光学响应函数，其实部和虚部 之间并不完全独立，由此得出一系列关系式描述光学常数 之间的内在联系，这些关系被称为克喇末-克朗尼格（ Kramas-Kronig）关系，简称KK关系。 2.4.1 光学响应函数及其性质 KK关系的物理基础是因果性原理，其内函是物理结果 只能发生在作用之后，而不是在其前。在常用光强范围内， 可以假定极化响应是线性的，即
∫ F ( t ' ) cos
0 ∞
ω t ' dt '
(2.39a) (2.39b)
ε i (ω ) − 1 =
∞
∫
0
F ( t ' ) sin ω t ' dt '
式(2.38)的傅里叶反变换为
1 F (t ) = 2π
讨论：
−∞
∫ [ε (ω ) − 1] exp( − i ω t ) d ω (2.40)
σ r (λ ' )dλ ' ε r (λ ) − 1 = 2 ∫ 1 − (λ ' / λ ) 2 π ε 0c
1
(2.49)
对于多个吸收峰的情况，设每个吸收峰的平均波长为λj， 它们对光学响应的贡献可以看成σr(λj)积分强度的加权 求和，于是上述积分化为
ε r (λ ) − 1 =
∑
i
A jλ2
r r X ( t ) = T (ω ) F (ω , t )
我们来讨论线性响应函数T(ω)的性质。
(2.30)
r r 广义作用力 F (ω , t ) 和广义位移 X(ω) 可以表示为 r r X (ω , t ) = X ω exp(−iωt ) r F (ω , t ) = Fω exp(−iωt ) (2.31)
∫ E (ω )e
iω t
dω = 0
(2.57)
如果0 < t < xn / c，则
exp[−iω(t − nx / c)] = exp[ ωr (nx / c − t) − ωi (nx / c − t)] i
(2.58)
因为假设nx /c – t > 0，在这种情况下，式(2.56)积分仍在ω r 的上半复平面进行，则 E（t ,0) = 0。
r r P (t ) = ε 0 χ E (t )
χ = ( ε − 1)
(2.28)
r r r r E E P(t ) ， (t ) 的傅里叶(Fourier)成分 P(ω ) ， (ω ) ，具有相同的光
r 学响应规律。令P(t ) 表示在主轴方向的极化分量, 它是时间的
r r r E 函数， (t )表示与P(t ) 相同方向上 E (t ) 的分量 ，上述因果关
+∞
+∞
(2.45)
r r r r r ∞ f ( x) x[ f ( x ) − f ( − x )] + a[ f ( x ) + f ( − x )] P dx = P dx 2 2 x−a x −a −∞ 0
+∞
r 利用 T（ω） 的奇偶性以及积分换域公式，
∫率和电介函数KK关系
ω → ∞, n → 1, ln r0 (ω ) → −∞ ，积分不为0，KK关
系不能直接套用。
定义新函数 1 + ω r ω ' lnr (ω ' ) f (ω ' ) = 1 + ω ' 2 ω '-ω r
∫
ω '− µ → 0 r r f (ω ' )dω ' = f (ω ')dω '+
−∞
∫
∫µ ω
'+
+∞
r f (ω ') dω
(2.44)
→0
将 ε (ω ) − 1 = T（ω） Tr (ω ) + iTi (ω ) ，有 =
T i (ω ' ) T r (ω ) = P ∫ dω ' π − ∞ ω '− ω 1 T r (ω ' ) T i (ω ) = P ∫ dω ' π − ∞ ω '− ω 1
r r 由式(2.30)得过且过 X ω = T ( ω ) F ω
(2.32)
叫做响应函数。对于一个线性无源系统，根据Lorentz理 T（ω） 论，T(ω)可以表示为一组阻尼谐振子响应的叠加
T (ω ) =
∑
fi
ω
2 j
−ω
2
− iγ jω
(2.33)
响应函数有如下性质； ①解析性，引进ω的复平面ω = ωr + iωi，则上响应 函数在上半复平面是解析的，极点在下半复平面，即
(2.37)
ω r = ε 0 E0 exp(−iωt ) F (t ' ) exp(iωt ' )at '
∫
0
由
r r P(t) = ε0 (ε −1) E (t )
∞
得 (2.38)
ε (ω ) − 1 =
∫
0
F ( t ' ) exp( i ω t ' ) dt '
∞
ε r (ω ) − 1 =
ω' ε i (ω' ) χ r (ω) = ε r (ω) −1 = Tr (ω) = P∫ 2 2 dω' π 0 ω' −ω ∞ 2 ω[ε i (ω' ) −1] χi (ω) = ε i (ω) = Ti (ω) = − P∫ dω' 2 2 π 0 ω' −ω
2
利用光电导谱σr(ω)代替εi(ω)谱更为方便，由 εi(ω)=σr(ω)ε0ω得
∫
c
f (ω ' ) d ω '
（2.42）
采取如图2.11所示的积分线路，容易得到
T (ω ) = 1 2π i
∫ ∫
c
f (ω ' ) d ω ' + f ( ω ') d ω '
1 2π j
∫
c
f (ω ' ) d ω '
1 = P πi
+∞
(2.44)
−∞
其中科西积分的主值定义为
+∞
P
−∞
ε r (ω ) − 1 = χ r (ω ) =
2
+∞
1
πω r
ω ' ε i (ω ' ) p∫ dω ω '− ω −∞
+∞
ω ' ε i (ω ' ) = P∫ dω ' 2 2 π 0 ω ' −ω
ω ' ε i (ω ' ) ε i (ω ) = χ i (ω ) = − ∫∞ ω '−ω dω ' πω r −
对于实的ω， T（ω） 的实部Tr(ω)是偶函数，其虚部 Ti(ω)是奇函数。 为了说明上述因果关系，引入δ函数形式的作用场， 一个δ函数形式的作用场引起的极化可以表示为
∞ r r r r P(t ) = ε 0 ∫ F (t ' )δ (t − t ' )dt ' = F (t ) 0
(2.36)
2.4.4 反射系数的KK变换 反射法包括两类：一是通过两个参数的独立测量，来确定n 和 κ 这两未知数；二是通过一个参数在一个尽可能宽领域 内的测量，然后通过积分得到另一个参数以及其它所有光 学常数。 讨论： 在正入射下的振幅反射系数为
n −1 = r0 e i θ r = rr + ir i = n +1
ω ω
r
= ± = −
ω γ
2
j
2 j
γ j − 2
2
(2.34)
i
②收敛性，当时， T（ω）/ ω一致地趋近于0，
T 因此， （ω） ω沿着ω的上半复平面的一个无限半圆上的 /
积分为零。
③奇偶性，由于T（ω） 在时间和空间上的均匀性，不显含 t 和 r (或波矢κ)，它仅仅是频率的函数。可以证明 T*(-ω)=T(ω) (2.35)
系可以表示为 r r ∞ r (2.29) P (t ) = ε 0 F (t ' ) E (t − t ' ) dt ' 0 r r 上式的意思是 P(t ) 与 t 时刻之前所有的 E (t ) 有关。
∫
r r 一般地说，一个广义作用力 F (ω , t )引起的广义位移 X(ω) ，
由以下运动方程决定
∞
(2.47)
σ r (ω ' ) d ω ' ε r (ω ) − 1 = P∫ πε 0 0 ω ' 2 −ω 2
2
∞
(2.48)
εr(ω)
εr(ω)
图2.12 （a）Te（碲）晶体的光电导谱 ,(b)虚线为计算的εr(ω) 谱，实线为测得的εr(ω) 谱
Te（碲）晶体的光电导谱如图2.12(a)所示，由(2.48)式表示 的KK关系，计算出εr(ω)谱以虚线示于图2.12(b)，同时给 出实验曲线。用波长代替频率，式(2.8)变为
κ (ω r ) = −
+∞
π
P
∫
0
n (ω ' ) dω ' 2 2 ω ' −ω
（2.54）
由吸收系数α=4πκ/λ，可以将上述关系式化为更简洁的形式：
α (λ ' ) n(λ ) − 1 = dλ ' 2 ∫ 2 2π 1 − (λ ' / λ )
1 n(∞ ) − 1 = 1 2π 2
∫ α ( λ ' ) dλ '
1. 若t < 0 ，则(2.40)式积分域在 ω 上半复平面，结果等于零。 2. 若t > 0，函数ε（ω）-1在ω的下半复平面有奇异点，积分 不等于零。
2.4.2 极化率和介电系数的KK变换 定义复变函数
f (ω ' ) = T (ω ' ) ω '− ω
(2.41)
根据复变函数理论可得
T (ω ) = 1 2π i
1
+∞
(2.53a)
ω ' ε i (ω ' ) = P∫ dω ' 2 2 πω r 0 ω ' −ω
2
2
+∞
进一步可以得到
σ 0 2ω r +∞ ' ε r (ω ' ) ε r (ω ) = − P ∫ 2 2 dω ' ε 0ω π 0 ω ' −ω
(2.53b)
另一种处理办法是将εi(ω)的零点留数σ0/ε0ω从中扣除， 可以得到(2.53b)式。其中σ0=Ne2/mγ为静态光电导。 2.4.3 折射率和消光系数的KK变换
F(t) 是δ函数形式作用场，也就是单位作用场引起的极 r 化，对于任意形式的作用场 E (t )，例如简谐形式的作用场，
r r E ( t ) = E 0 exp( − i ω t )
引起的极化可以表示为
∞ r r P (t ) = ε 0 F (t ' ) E (t − t ' )dt '
∫
0
λ 2 − λ 2j
r
(2.50)
Aj =
1
(2.50)式也叫做四参量 [λ j , λ , A j , ε r (λ )] 公式 。 对于长波区，可进一步简化为
π ε0
2
∫σ c
(λ ' ) dλ '
ε r (0 ) − 1 =
∑
i
Ai
(2.51)
对NaCl晶体，在可见光区有4个吸收峰，每个吸收峰的波长