江西省上饶市四校2016-2017学年高二数学下学期联考试题 文(含解析)

江西省上饶市四校2016-2017学年高二数学下学期联考试题文（含
解析）
选择题（本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）
1. 设，则“”是“”的（）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，，故为充分不必要条件.
2. 抛物线的准线方程是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】抛物线的标准方程为：，则抛物线的直线方程为： .
本题选择C选项.
3. 命题“”的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】全称命题的否定为特称命题，则命题“”的否定是
.
本题选择B选项.
点睛：正确区别命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．
命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真．
4. 若复数满足z=，则=（）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】由题意可得：，
则：， .
本题选择B选项.
5. 已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得： ,
据此可得：.
本题选择D选项.
点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．
6. 已知函数的定义域为，对任意都有，且当时，
，则的值为（）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】根据可知，函数的周期为，故
.
点睛：本题主要考查函数的周期性.常见表示周期的形式有；
；；等等，简而言之，如果两个变量的差为常数，这个函数即为周期函数，要熟记常见的表示形式.
7. 双曲线的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】双曲线的渐近线方程满足：，整理可得：.
本题选择A选项.
8. 已知命题：；命题：函数有一个零
点，则下列命题为真命题的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ,命题p为假命题；
函数有一个零点，命题q为真命题；
据此可得题中所给的真命题为 .
本题选择B选项.
9. 若是圆上任一点，则点到直线距离的最大值（）
A. B. C. D.
【答案】B
点P到直线的距离：，
整理可得：，
当时，，此时点到直线的距离的最大值为4；
否则，，解得：，
此时点到直线的距离的最大值为6；
综上可得点P到直线距离的最大值是6.
本题选择B选项.
10. 函数的大致图象为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【解析】函数为偶函数，所以去掉A,D.又当时，，所以选C.
11. 已知，是双曲线：的左、右焦点，若直线与双曲线
交于两点，且四边形是矩形，则双曲线的离心率为（）
B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，矩形的对角线长相等，
代入双曲线方程，
可得，
∴，
∴4a2b2=(b2−3a2)c2，
∴4a2(c2−a2)=(c2−4a2)c2，
∴e4−8e2+4=0，
∵e>1,∴，
∴ .
本题选择C选项.
点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
12. 若对任意的,都有成立,则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设 ,则f min(x)⩾g max(x)，
g′(x)=3x2−2x=x(3x−2)，
∴当时,g′(x)<0,当时,g′(x)>0，
∴g(x)在上单调递减,在上单调递增，
又，
∴g(x)在上的最大值为g max(x)=1.
∴f min(x)⩾1，
∴f(1)⩾f min(x)⩾1，即a⩾1，
排除B，C，D，
本题选择A选项.
填空题(本题共4小题，每题5分，共20分.)
13. 计算__________．（为虚数单位）
【答案】
【解析】
14. 函数的单调递增区间是_________.
【答案】
【解析】解：函数有意义，则：，解得：，
结合二次函数的性质和复合函数单调性同增异减可知：
函数的单调递增区间为： .
点睛：复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数．
15. 若, , 且函数在处有极值，则的最小值
等于__________.
【答案】
【解析】函数的导函数：，
由函数的极值可得：，解得：，则：
，
当且仅当时等号成立，
即的最小值等于.
16. 已知抛物线，点，点在抛物线上，当点
到抛物线准线的距离与点到点的距离之和最小时，延长交抛物线于点B，则
的面积为__________．
【答案】
【解析】由题可知：当点到抛物线准线的距离与点到点的距离之和最小时，根据抛物线性质抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离，所以当三点共线时达到最小值，由，可得，联立抛物线方程可得：，设点
,故，原点到直线的距离为
，所以的面积为
点睛：本题主要运用抛物线的性质，根据性质可得出三点共线时和最小，然后根据抛物线焦点弦长公式和点到直线距离公式便可求得三角想面积.
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17. 已知函数的定义域为，函数（）的值域为. （Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，且，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）
【解析】本试题主要是考查了集合的运算，以及不等式的求解的综合运用。

（1）由题意得：故可得交集。

（2）对数参数a分类讨论得到对应包含关系的参数的范围。

解：（Ⅰ）由题意得：
∩6分
（Ⅱ）由(1)知：
18. 已知：方程表示焦点在轴上的椭圆，：双曲线的离心率，若有且只有一个为真，求实数的取值范围。

【答案】
【解析】试题分析：先将方程化成椭圆标准方程,再根据焦点在y轴上确定的取值范围;
由双曲线标准方程确定 ,再由确定的取值范围;由有且只有一个为真,得一真一假，分别求对应方程组的解，可得的取值范围.
试题解析：将方程改写为，
只有当即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，
所以命题p等价于；
因为双曲线的离心率，
所以，且，解得，
所以命题q等价于;
若p真q假，则；若p假q真，则
综上：的取值范围为
19. 已知过点的直线与椭圆交于两点，且（为坐标原点），求直线的方程。

【答案】
【解析】试题分析：
由向量关系可得M为线段AB的中点，然后利用点差法可得直线的方程为. 试题解析：
由题意可知是线段的中点，且，故直线的斜率存在。

设，则有，
故
所以直线的方程为
20. 已知函数（为实常数).
（1）当时，求函数在上的最大值及相应的值；
（2）若，且对任意的，都有，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）.
.....................
试题解析：（1），当时，.当时，，
，故，当时，取等号.
（2）当时，在时是增函数，又函数是减函数，不防设，则等价于.
即，故原题等价于函数在时是减函数，
恒成立，即在时恒成立.
在时是减函数.
点睛：本题考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了数学转化思想方法，训练了构造函数求变量的取值范围，此题是有一定难度题目；根据连续函数在闭区间内的最值要么在端点处，要么在极值点处取得，是解决最值最常见的理论知识，对于第二问主要是根据题目特征构造出函数即可，结合分离参数思想，利用函数单调性求即可.
21. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，，分别是椭圆的左、右顶点，，且（其中为坐标原点）的中点坐标为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于，两点，已知点，求证：是定值.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：
(1)利用中点坐标公式求得的值，利用向量关系求得，最后利用求得
的值即可得出椭圆方程为.
(2) 设，，联立直线与圆的方程，得到，，整理计算求得，即可证得是定值.
试题解析：
（Ⅰ）∵的中点坐标为，∴，则，
∵，
∴，解得，
∴，
∴椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）证明：设，，
将代入，得，
则，，，
∴
，
∴为定值.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

22. 选修4-4：参数方程与极坐标系
在极坐标系中，曲线的方程为，点．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系．
（1）求直线的参数方程的标准式和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于、两点，求的值．
【答案】（1）的参数方程为：,曲线：;（2）.
【解析】试题分析：
(1)求得点P的直角坐标和直线的倾斜角即可得到直线的标准方程；将极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程是：;
(2)利用直线的参数的几何意义可得的值是.
试题解析：
（1）∵化为直角坐标可得，，
∴直线的参数方程为：
∵，
∴曲线的直角坐标方程：，
（2）将直线参数方程代入圆方程
得：，∴，，
∴
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（I）解不等式；
（II）设，若关于的不等式解集非空，求的取值范围.
【答案】（I）;（II）.
【解析】试题分析：（I）通过讨论的范围，解不等式即可；（II）通过讨论的范围，去掉绝对值号，结合二次函数的性质求出的范围即可．
试题解析：（I），即，所以
由，解得，而的解集为.
所以原不等式的解集为.………（5分）
（II）解集非空，即有解.
注意到：当时，左边大于，右边小于等于，式子不成立，即不等式有解只能在区间上.
①当时，，
由（时，等号成立），即的最小值为.
所以；
②当时，不等式化为.
因为的最小值为，所以.
综上所述，的取值范围是.………（10分）
考点：绝对值不等式的解法.。