1.3 反比例函数的应用--
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2S 所以 y= x
1 xy=S 2
因为函数图象过点（ ， ） 因为函数图象过点（3，4）
2S 所以 4= 3
解得 S=6（cm²） （ ²
12 答：所求函数的解析式为y= ABC的面积为6cm²。 的面积为6cm ∆ABC的面积为6cm x
【例1】设∆ABC中BC边的长为x（cm），BC上的高AD ABC中BC边的长为 边的长为x cm），BC上的高 ），BC上的高AD
例2、如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地 如图，在温度不变的条件下，
对汽缸顶部的活塞加压， 对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后汽缸内气体 的体积和气体对汽缸壁所产生的压强。 的体积和气体对汽缸壁所产生的压强。 （1）请根据表中的数据求出 压强p kPa）关于体积V(mL) 压强p（kPa）关于体积V(mL) 的函数关系式； 的函数关系式； 体积p(mL) 压强V(kPa) 体积p(mL) 压强V(kPa) 100 60 90 67 80 75 70 86 60 100
8 y=− x
的图象交于A 的图象交于A、B两点，且点A的横坐标 两点，且点A
A
y
（2）求△AOB的面积； AOB的面积； 的面积
O
B
x
3 < 2
y<6
２ ４ ６ ８
. . . .
探究活动： 探究活动： 如果例1 BC=6cm。你能作出∆ABC吗 如果例1中BC=6cm。你能作出∆ABC吗？ 能作出多少个？请试一试。 能作出多少个？请试一试。 如果要求∆ABC是等腰三角形呢？ 如果要求∆ABC是等腰三角形呢？ 是等腰三角形呢
练一练
p（kPa） kPa）
100 90 80 70 60
体积p 体积
（ml） ）
压强V 压强
（kPa） ）
100 90 80 70 60
60 67 75 86 100
60
70
80
90
100
V（ml） ml）
解（1）根据函数图象，可选择反比例函数进行尝试，设 根据函数图象，可选择反比例函数进行尝试， 解析式为p=k/V（k≠0），把点（60，100）代入， 解析式为p=k/V（k≠0），把点（60，100）代入，得： p=k/V ），把点
义务教育课程标准实验教科 浙江版《数学》 浙江版《数学》九年级上册
反比例函数的图象性质特征： 2. 反比例函数的图象性质特征： 形状 位置
图象是双曲线 当k>0时,双曲线分别位于第一,三象限内 k>0时 双曲线分别位于第一,
当k<0时, 双曲线分别位于第二,四象限内 k<0时 双曲线分别位于第二, k>0时 在每一象限内,y ,y随 增减性 当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小 k<0时 在每一象限内,y ,y随 当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大
200 80<p<90时 ∴当80<p<90时， ＜V＜75 3
2、某蓄水池的排水管每时排水8m3,6h可将满池水全部 某蓄水池的排水管每时排水8m ,6h可将满池水全部 排空.(1)如果准备在5h内将满池水排空, 排空.(1)如果准备在5h内将满池水排空,那么每时的排 .(1)如果准备在5h内将满池水排空 水量至少为多少? 水量至少为多少? 解:当t=5h时,Q=48/5=9.6m3.所以每时的排水量至少 t=5h时 为9.6m3. (2)已知排水管的最大排水量为每时12m3,那么最少 (2)已知排水管的最大排水量为每时12m 已知排水管的最大排水量为每时 多长时间可将满池水全部排空? 多长时间可将满池水全部排空? ,t=48/12=4(h).所以最少需5h可 所以最少需5h 解:当Q=12(m3)时,t=48/12=4(h).所以最少需5h可 将满池水全部排空. 将满池水全部排空. (3)画出函数图象,根据图象请对问题(1） (2)作 (3)画出函数图象,根据图象请对问题(1）和(2)作 画出函数图象 (1 出直观解释,并和同伴交流. 出直观解释,并和同伴交流.
6000 k=6000， k=6000，即： p = V
将点（70，86），（80，75），（90，67）， 将点（70，86），（80，75），（90，67）， ），（80 ），（90 （100，60）分别代入验证，均符合 100，60）分别代入验证，
6000 ∴压强p关于体积V的函数解析式为 p = 压强p关于体积V V
例2、如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地 如图，在温度不变的条件下，
对汽缸顶部的活塞加压， 对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后汽缸内气体 的体积和气体对汽缸壁所产生的压强。 的体积和气体对汽缸壁所产生的压强。 ⑵当压力表读出的压强为72kPa时，汽缸内气体的体 当压力表读出的压强为72kPa时 72kPa 积压缩到多少ml？ 积压缩到多少ml？ ml
6 的图象(第一象限)上 如图, 的图象(第一象限) 3、如图,点Q是反例函数 y = x 的一动点,过点Q 的一动点,过点Q作x轴的垂线,垂足为点P，连结OQ。当Q 轴的垂线,垂足为点P 连结OQ OQ。
的一动点,过点Q作x轴的垂线,垂足为点P，连结OQ。当Q 在图象上移动时，Rt△APQ的面积（ 在图象上移动时，Rt△APQ的面积（ 的面积 （A）逐渐增大 （C）保持不变 （B）逐渐减小 （D）无法确定
补充练习
1、反比例函数
k − 2 与正比例函数 y= y = kx 在 x
D ）
y
y
同一坐标系中的图象不可能的是（ 同一坐标系中的图象不可能的是（
y
y
x
x
x
x
（A ）
（B ）
（C ）
（D ）
2、已知一次函数 y = kx + b 的图象与反比例函
数 和点B 和点B的纵坐标都是 -2。 （1）一次函数的解析式； 一次函数的解析式；
6000 解: 因为函数解析式为 p = V 6000
有 72 = 解得
V
V=
6000 ≈ 83(ml ) 72
当压力表读出的压强为72kPa 答:当压力表读出的压强为72kPa时，汽缸内气体的 当压力表读出的压强为72kPa时 体积压缩到约83ml。 体积压缩到约83ml。 83ml
知识背景
本例反映了一种数学的建模方式，具体过程可概括成： 本例反映了一种数学的建模方式，具体过程可概括成： 由实验获得数据——用描点法画出图象 用描点法画出图象——根据图象 由实验获得数据 用描点法画出图象 根据图象 和数据判断或估计函数的类别——用待定系数法求出 用待定系数法求出 和数据判断或估计函数的类别 函数关系式——用实验数据验证。 用实验数据验证。 函数关系式 用实验数据验证
例2、如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地 如图，在温度不变的条件下，
对汽缸顶部的活塞加压， 对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后汽缸内气体 的体积和气体对汽缸壁所产生的压强。 的体积和气体对汽缸壁所产生的压强。 ⑴请根据表中的数据求出压强p（kPa） 请根据表中的数据求出压强p kPa） 关于体积V ml）的函数关系式； 关于体积V（ml）的函数关系式；
1、生产某种工艺品，设每名工人一天大约能做x个。 生产某种工艺品，设每名工人一天大约能做x
若每天要生产这种工艺品60 若每天要生产这种工艺品60个，则需工人y名。 60个 则需工人y （1）求y关于x的函数解析式； 关于x的函数解析式； （2）若一名工人每天能做的工艺品个数最少6个，最多 若一名工人每天能做的工艺品个数最少6 工艺品个数最少 8个。估计每天需要做这种工艺品的工人多少人？ 估计每天需要做这种工艺品的工人多少人？ 2、一批相同型号的衬衣单价在每件60元至每件80元之 一批相同型号的衬衣单价在每件60元至每件80元之 60元至每件80 间，用720元钱至少可买多少件衬衣？至多可买多少件 720元钱至少可买多少件衬衣？ 元钱至少可买多少件衬衣 衬衣？请用反比例函数的性质或图象说明理由。 衬衣？请用反比例函数的性质或图象说明理由。
课内练习： 课内练习：
1、例2中，若压强80<p<90，请估汽缸内气体体积的 若压强80<p<90， 80<p<90 取值范围，并说明理由。 取值范围，并说明理由。 ∵ k=6000 在每个象限中， ∴ 在每个象限中，p随V的增大而减小
200 3
当p=80，90时，V分别为75， p=80，90时 分别为75， 75
为y（cm）。已知y关于x的函数图象过点（3，4） cm）。已知y关于x的函数图象过点（ ）。已知
解: k=12＞0, 又因为x＞0，所以 k=12＞ 又因为x
(2)画出函数的图象。并利用图象， 画出函数的图象。并利用图象， 求当2 求当2<x<8时y的取值范围。 时 的取值范围 ８. ６.
图形在第一象限。 图形在第一象限。用描点法画出 ４ 12的图象如图当x=2时， . 的图象如图当x=2 x=2时 函数 y = x 3 ２. y=6； x=8时 y=6；当x=8时，y= 2 所以得
C
） y
Q
O
P
x
【例1】设∆ABC中BC边的长为x（cm），BC上的高AD ABC中BC边的长为 边的长为x cm），BC上的高 ），BC上的高AD
为y（cm）。已知y关于x的函数图象过点（3，4）？ cm）。已知y关于x的函数图象过点（ ）。已知 (1) 求y关于x的函数解析式和∆ABC 的面积 的面积？ 关于x的函数解析式和∆ 的面积为S 则 ∆ABC的面积为 解: 设∆ABC的面积为S，则
变化趋势 双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与 双曲线无限接近于x
坐标轴相交 双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形. 对称性 双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形. y B 任意一组变量的乘积是一个定值,即xy=k 任意一组变量的乘积是一个定值, P(m,n) 面积不变性 n︱ 长方形面积 ︳m n︱ ＝︳K︱
3、制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进 60℃后 制作一种产品，需先将材料加热达到60℃ 行操作。设该材料温度为y℃ y℃， 行操作。设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间 x(分钟 分钟) 据了解，该材料加热时,温度y与时间x 为x(分钟)。据了解，该材料加热时,温度y与时间x成一 次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x 次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反 比例关系（如图）。 ）。已知该材料在操作加工前的温度为 比例关系（如图）。已知该材料在操作加工前的温度为 15℃，加热5分钟后温度达到60℃ 60℃。 15℃，加热5分钟后温度达到60℃。 (1)分别求出将材料加热和停止加热 (1)分别求出将材料加热和停止加热 进行操作时， 进行操作时，y与x的函数关系式； 的函数关系式；
(2)根据工艺要求 (2)根据工艺要求,当材料的温度低于 根据工艺要求, 15℃时 须停止操作， 15℃时，须停止操作，那么从开始加热 到停止操作，共经历了多少时间； 到停止操作，共经历了多少时间；
60
y℃
15
o
5 10 15 20 25
x(分钟)
Байду номын сангаас
课堂小结
⑴反比例函数的应用 ⑵在应用反比例函数解决问题时,一定要注意以下几点: 在应用反比例函数解决问题时,一定要注意以下几点: ①要注意自变量取值范围符合实际意义 ②确定反比例函数之前一定要考察两个变量与定值之 间的关系 若k未知时应首先由已知条件求出k值 未知时应首先由已知条件求出k ③求“至少,最多”时可根据函数性质得到 至少,最多”
o A
x
热身练习
是反比例函数y= y=1、已知x1，y1和x2，y2是反比例函数y=- —— 已知x x 是不为0的常数） （a是不为0的常数）的两对自变量与函数的对
√a2
＞ ＞ 应值， ＿＿＿y ＿＿＿y 应值，若x1 ＞x2＞0，则0＿＿＿y1＿＿＿y2
2、直线y=3x与曲线y=3/x交点坐标为＿＿＿ 直线y=3x与曲线y=3/x交点坐标为＿＿＿ y=3x与曲线y=3/x交点坐标为 （ 1 ， 3 ） 和 （ 3 ，1 ）
1 xy=S 2
因为函数图象过点（ ， ） 因为函数图象过点（3，4）
2S 所以 4= 3
解得 S=6（cm²） （ ²
12 答：所求函数的解析式为y= ABC的面积为6cm²。 的面积为6cm ∆ABC的面积为6cm x
【例1】设∆ABC中BC边的长为x（cm），BC上的高AD ABC中BC边的长为 边的长为x cm），BC上的高 ），BC上的高AD
例2、如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地 如图，在温度不变的条件下，
对汽缸顶部的活塞加压， 对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后汽缸内气体 的体积和气体对汽缸壁所产生的压强。 的体积和气体对汽缸壁所产生的压强。 （1）请根据表中的数据求出 压强p kPa）关于体积V(mL) 压强p（kPa）关于体积V(mL) 的函数关系式； 的函数关系式； 体积p(mL) 压强V(kPa) 体积p(mL) 压强V(kPa) 100 60 90 67 80 75 70 86 60 100
8 y=− x
的图象交于A 的图象交于A、B两点，且点A的横坐标 两点，且点A
A
y
（2）求△AOB的面积； AOB的面积； 的面积
O
B
x
3 < 2
y<6
２ ４ ６ ８
. . . .
探究活动： 探究活动： 如果例1 BC=6cm。你能作出∆ABC吗 如果例1中BC=6cm。你能作出∆ABC吗？ 能作出多少个？请试一试。 能作出多少个？请试一试。 如果要求∆ABC是等腰三角形呢？ 如果要求∆ABC是等腰三角形呢？ 是等腰三角形呢
练一练
p（kPa） kPa）
100 90 80 70 60
体积p 体积
（ml） ）
压强V 压强
（kPa） ）
100 90 80 70 60
60 67 75 86 100
60
70
80
90
100
V（ml） ml）
解（1）根据函数图象，可选择反比例函数进行尝试，设 根据函数图象，可选择反比例函数进行尝试， 解析式为p=k/V（k≠0），把点（60，100）代入， 解析式为p=k/V（k≠0），把点（60，100）代入，得： p=k/V ），把点
义务教育课程标准实验教科 浙江版《数学》 浙江版《数学》九年级上册
反比例函数的图象性质特征： 2. 反比例函数的图象性质特征： 形状 位置
图象是双曲线 当k>0时,双曲线分别位于第一,三象限内 k>0时 双曲线分别位于第一,
当k<0时, 双曲线分别位于第二,四象限内 k<0时 双曲线分别位于第二, k>0时 在每一象限内,y ,y随 增减性 当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小 k<0时 在每一象限内,y ,y随 当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大
200 80<p<90时 ∴当80<p<90时， ＜V＜75 3
2、某蓄水池的排水管每时排水8m3,6h可将满池水全部 某蓄水池的排水管每时排水8m ,6h可将满池水全部 排空.(1)如果准备在5h内将满池水排空, 排空.(1)如果准备在5h内将满池水排空,那么每时的排 .(1)如果准备在5h内将满池水排空 水量至少为多少? 水量至少为多少? 解:当t=5h时,Q=48/5=9.6m3.所以每时的排水量至少 t=5h时 为9.6m3. (2)已知排水管的最大排水量为每时12m3,那么最少 (2)已知排水管的最大排水量为每时12m 已知排水管的最大排水量为每时 多长时间可将满池水全部排空? 多长时间可将满池水全部排空? ,t=48/12=4(h).所以最少需5h可 所以最少需5h 解:当Q=12(m3)时,t=48/12=4(h).所以最少需5h可 将满池水全部排空. 将满池水全部排空. (3)画出函数图象,根据图象请对问题(1） (2)作 (3)画出函数图象,根据图象请对问题(1）和(2)作 画出函数图象 (1 出直观解释,并和同伴交流. 出直观解释,并和同伴交流.
6000 k=6000， k=6000，即： p = V
将点（70，86），（80，75），（90，67）， 将点（70，86），（80，75），（90，67）， ），（80 ），（90 （100，60）分别代入验证，均符合 100，60）分别代入验证，
6000 ∴压强p关于体积V的函数解析式为 p = 压强p关于体积V V
例2、如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地 如图，在温度不变的条件下，
对汽缸顶部的活塞加压， 对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后汽缸内气体 的体积和气体对汽缸壁所产生的压强。 的体积和气体对汽缸壁所产生的压强。 ⑵当压力表读出的压强为72kPa时，汽缸内气体的体 当压力表读出的压强为72kPa时 72kPa 积压缩到多少ml？ 积压缩到多少ml？ ml
6 的图象(第一象限)上 如图, 的图象(第一象限) 3、如图,点Q是反例函数 y = x 的一动点,过点Q 的一动点,过点Q作x轴的垂线,垂足为点P，连结OQ。当Q 轴的垂线,垂足为点P 连结OQ OQ。
的一动点,过点Q作x轴的垂线,垂足为点P，连结OQ。当Q 在图象上移动时，Rt△APQ的面积（ 在图象上移动时，Rt△APQ的面积（ 的面积 （A）逐渐增大 （C）保持不变 （B）逐渐减小 （D）无法确定
补充练习
1、反比例函数
k − 2 与正比例函数 y= y = kx 在 x
D ）
y
y
同一坐标系中的图象不可能的是（ 同一坐标系中的图象不可能的是（
y
y
x
x
x
x
（A ）
（B ）
（C ）
（D ）
2、已知一次函数 y = kx + b 的图象与反比例函
数 和点B 和点B的纵坐标都是 -2。 （1）一次函数的解析式； 一次函数的解析式；
6000 解: 因为函数解析式为 p = V 6000
有 72 = 解得
V
V=
6000 ≈ 83(ml ) 72
当压力表读出的压强为72kPa 答:当压力表读出的压强为72kPa时，汽缸内气体的 当压力表读出的压强为72kPa时 体积压缩到约83ml。 体积压缩到约83ml。 83ml
知识背景
本例反映了一种数学的建模方式，具体过程可概括成： 本例反映了一种数学的建模方式，具体过程可概括成： 由实验获得数据——用描点法画出图象 用描点法画出图象——根据图象 由实验获得数据 用描点法画出图象 根据图象 和数据判断或估计函数的类别——用待定系数法求出 用待定系数法求出 和数据判断或估计函数的类别 函数关系式——用实验数据验证。 用实验数据验证。 函数关系式 用实验数据验证
例2、如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地 如图，在温度不变的条件下，
对汽缸顶部的活塞加压， 对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后汽缸内气体 的体积和气体对汽缸壁所产生的压强。 的体积和气体对汽缸壁所产生的压强。 ⑴请根据表中的数据求出压强p（kPa） 请根据表中的数据求出压强p kPa） 关于体积V ml）的函数关系式； 关于体积V（ml）的函数关系式；
1、生产某种工艺品，设每名工人一天大约能做x个。 生产某种工艺品，设每名工人一天大约能做x
若每天要生产这种工艺品60 若每天要生产这种工艺品60个，则需工人y名。 60个 则需工人y （1）求y关于x的函数解析式； 关于x的函数解析式； （2）若一名工人每天能做的工艺品个数最少6个，最多 若一名工人每天能做的工艺品个数最少6 工艺品个数最少 8个。估计每天需要做这种工艺品的工人多少人？ 估计每天需要做这种工艺品的工人多少人？ 2、一批相同型号的衬衣单价在每件60元至每件80元之 一批相同型号的衬衣单价在每件60元至每件80元之 60元至每件80 间，用720元钱至少可买多少件衬衣？至多可买多少件 720元钱至少可买多少件衬衣？ 元钱至少可买多少件衬衣 衬衣？请用反比例函数的性质或图象说明理由。 衬衣？请用反比例函数的性质或图象说明理由。
课内练习： 课内练习：
1、例2中，若压强80<p<90，请估汽缸内气体体积的 若压强80<p<90， 80<p<90 取值范围，并说明理由。 取值范围，并说明理由。 ∵ k=6000 在每个象限中， ∴ 在每个象限中，p随V的增大而减小
200 3
当p=80，90时，V分别为75， p=80，90时 分别为75， 75
为y（cm）。已知y关于x的函数图象过点（3，4） cm）。已知y关于x的函数图象过点（ ）。已知
解: k=12＞0, 又因为x＞0，所以 k=12＞ 又因为x
(2)画出函数的图象。并利用图象， 画出函数的图象。并利用图象， 求当2 求当2<x<8时y的取值范围。 时 的取值范围 ８. ６.
图形在第一象限。 图形在第一象限。用描点法画出 ４ 12的图象如图当x=2时， . 的图象如图当x=2 x=2时 函数 y = x 3 ２. y=6； x=8时 y=6；当x=8时，y= 2 所以得
C
） y
Q
O
P
x
【例1】设∆ABC中BC边的长为x（cm），BC上的高AD ABC中BC边的长为 边的长为x cm），BC上的高 ），BC上的高AD
为y（cm）。已知y关于x的函数图象过点（3，4）？ cm）。已知y关于x的函数图象过点（ ）。已知 (1) 求y关于x的函数解析式和∆ABC 的面积 的面积？ 关于x的函数解析式和∆ 的面积为S 则 ∆ABC的面积为 解: 设∆ABC的面积为S，则
变化趋势 双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与 双曲线无限接近于x
坐标轴相交 双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形. 对称性 双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形. y B 任意一组变量的乘积是一个定值,即xy=k 任意一组变量的乘积是一个定值, P(m,n) 面积不变性 n︱ 长方形面积 ︳m n︱ ＝︳K︱
3、制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进 60℃后 制作一种产品，需先将材料加热达到60℃ 行操作。设该材料温度为y℃ y℃， 行操作。设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间 x(分钟 分钟) 据了解，该材料加热时,温度y与时间x 为x(分钟)。据了解，该材料加热时,温度y与时间x成一 次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x 次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反 比例关系（如图）。 ）。已知该材料在操作加工前的温度为 比例关系（如图）。已知该材料在操作加工前的温度为 15℃，加热5分钟后温度达到60℃ 60℃。 15℃，加热5分钟后温度达到60℃。 (1)分别求出将材料加热和停止加热 (1)分别求出将材料加热和停止加热 进行操作时， 进行操作时，y与x的函数关系式； 的函数关系式；
(2)根据工艺要求 (2)根据工艺要求,当材料的温度低于 根据工艺要求, 15℃时 须停止操作， 15℃时，须停止操作，那么从开始加热 到停止操作，共经历了多少时间； 到停止操作，共经历了多少时间；
60
y℃
15
o
5 10 15 20 25
x(分钟)
Байду номын сангаас
课堂小结
⑴反比例函数的应用 ⑵在应用反比例函数解决问题时,一定要注意以下几点: 在应用反比例函数解决问题时,一定要注意以下几点: ①要注意自变量取值范围符合实际意义 ②确定反比例函数之前一定要考察两个变量与定值之 间的关系 若k未知时应首先由已知条件求出k值 未知时应首先由已知条件求出k ③求“至少,最多”时可根据函数性质得到 至少,最多”
o A
x
热身练习
是反比例函数y= y=1、已知x1，y1和x2，y2是反比例函数y=- —— 已知x x 是不为0的常数） （a是不为0的常数）的两对自变量与函数的对
√a2
＞ ＞ 应值， ＿＿＿y ＿＿＿y 应值，若x1 ＞x2＞0，则0＿＿＿y1＿＿＿y2
2、直线y=3x与曲线y=3/x交点坐标为＿＿＿ 直线y=3x与曲线y=3/x交点坐标为＿＿＿ y=3x与曲线y=3/x交点坐标为 （ 1 ， 3 ） 和 （ 3 ，1 ）