函数展开成幂级数题目

6.3 函数展开成幂级数
一、填空题：
1.函数x
e x
f =)(的Maclaurin 级数为x
e ＝ .
解： +++++=!
!212n x x x e n
x
， ),(+∞-∞∈x . 2.函数x x f +=11)(在00=x 处的幂级数为x
+11＝ . 解：
+-++-+-=+n n x x x x x
)1(111
32， )1,1(-∈x . 3.函数x x f arctan )(=展成x 的幂级数为=x arctan .
解： ++-+++-=+1
2)1(5131arctan 1
253n x x x x x n n ]1,1[-∈x . 二、求x
x f -=
41
)(在20=x 处的幂级数展开式. 解：因为∑∞=-=--
=--=-=
0)22(212
2112
1
)2(2141)(n n
x x x x x f ， 且
12
2
<-x ，得40<<x ，而当40==x x 或时，上面级数都发散. 所以，n n n x x f )2(2
1
)(0
1
-=
∑∞
=+，40<<x .
三、将2
2)(x x x
x f --=
在00=x 处展开成幂级数，并求其收敛域. 解：2
11
31_1131)2211(31)2)(1(2)(2
x x x x x x x x
x x x f +⋅-⋅=+--=+-=--=， 因为
∑∞
==-0
11
n n x x ， 11<<-x ； ∑∞
=-=+02)1(211
n n n n
x x ， 121<<-x
，即22<<-x ； 根据幂级数运算性质有
∑∑∑∞=∞=∞=--=-⋅-⋅=+⋅--⋅=000]2)1(1[312)1(31312
11311131)(n n n n n n n
n n n x x x x x x f ，
所以，
∑∞=--=--02]2
)1(1[312n n
n n x x x x ，11<<-x . 四、将x x f cos )(=展开成3
π+
x 的幂级数.
解： 因为)3
sin(23)3cos(21]3
)3
cos[()(π
ππ
π
+++=
-
+
=x x x x f ∑∑∞
=+∞
=++
-+
+
-=
1
20
2)!
12()3
()1(23
)!
2()3
()1(21
n n n n n
n n x n x π
π
，)(+∞<<-∞x .
所以，)(,)!
12()3
()1(23
)!
2()3
()1(21cos 0
1
22+∞<<-∞++
-+
+
-=
∑∑∞
=∞
=+x n x n x x n n n n n
n π
π
.
五、将函数)21ln(2
x x y --=展开成x 的幂级数，并指出其收敛区间. 解：)21ln()1ln()21)(1ln()21ln(2
x x x x x x y -++=-+=--=
∑∑∑∑∞=∞
=-∞=-∞
=---=--+-=1
1111112)1()2()1()1(n n n n n n n n
n n n n x n x n x n x n
)21
,21[ ,2)1(1
1-∈--=∑∞
=-x x n n n n n .
六、将幂级数∑∞
=-----1122
21
2)!
12()1(n n n n x n 的和函数展开为1-x 的幂级数. 解：2sin 2)2
()!12()1(22)!12()1(112111
22
21x x n x n n n n n n n n =--=--∑∑∞
=--∞
=---， 所以，和函数为),(,2
sin
2)(+∞-∞∈=x x
x S ； 2
1sin 21cos 21cos 21sin ]21)1(21sin[2sin ⋅-+⋅-=+-=x x x x
∑∑∞=∞=+--+-+-=02012)2
1()!2()1(21sin )21()!12()1(21cos n n n n n n x n x n ，
所以，
∑∑∞=∞=-+--+-+-=002121
22)1()!
2(2)1(21sin )1()!12(2)1(21cos 2sin 2n n n n n n n n x n x n x ,
)(+∞<<-∞x .。