2022届北师大版高三数学一轮复习练习：第六章 数列第4讲 Word版含解析

基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题
1.等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 的前
10项的和为( )
A.120
B.70
C.75
D.100
解析 由于S n
n ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75. 答案 C
2.数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1
·n ，则S 17＝( )
A.9
B.8
C.17
D.16
解析 S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9. 答案 A
3.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A.200
B.－200
C.400
D.－400
解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. 答案 B
4.(2021·高安中学模拟)已知数列5，6，1，－5，…，该数列的特点是从其次项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( ) A.5
B.6
C.7
D.16
解析 依据题意这个数列的前7项分别为5，6，1，－5，－6，－1，5，6，发觉从第7项起，数字重复消灭，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.
又由于16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C. 答案 C
5.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 016＝( )
A.22 016－1
B.3·21 008－3
C.3·21 008－1
D.3·21 007－2
解析 a 1＝1，a 2＝2
a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n
＝2n ＋1
2n ＝2.∴a n ＋2a n ＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，
a 4，a 6，…成等比数列，
∴S 2 016＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 015＋a 2 016 ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 016) ＝1－21 0081－2＋2（1－21 008）
1－2＝3·21 008－3.故选B.
答案 B 二、填空题
6.(2021·上饶模拟)有穷数列1，1＋2，1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n －1全部项的和为________. 解析 由题意知所求数列的通项为1－2n 1－2＝2n －1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得
和为2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－2－n .
答案 2n ＋1－2－n
7.(2022·宝鸡模拟)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝1
2(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________.
解析 由a n ＋a n ＋1＝1
2＝a n ＋1＋a n ＋2，∴a n ＋2＝a n ， 则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20， ∴S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21)
＝1＋10×1
2＝6. 答案 6
8.(2021·安阳二模)已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)
且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝________.
解析 由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4，∴b n ＝(－3)×(－4)n －1，∴|b n |＝3×4n －1，即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列，∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝3（1－4n ）
1－4＝4n －1.
答案 4n －1 三、解答题
9.(2022·北京卷)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4. (1)求{a n }的通项公式；
(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和.
解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 由⎩⎨⎧b 2＝b 1q ＝3，b 3＝b 1q 2
＝9得⎩⎨⎧b 1＝1，q ＝3. ∴b n ＝b 1q n －1＝3n －1，
又a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝34－1＝27， ∴1＋(14－1)d ＝27，解得d ＝2.
∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ＝1，2，3，…). (2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1，因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1. 从而数列{c n }的前n 项和
S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1 ＝n （1＋2n －1）2＋1－3n 1－3
＝n 2＋3n －12.
10.(2021·铜川一模)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋1
2a n ＝1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N *)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3
＋…＋1b n b n ＋1，求T n .
解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1， 由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝2
3，
当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－1
2a n －1，
则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝1
2(a n －1－a n )， 所以a n ＝1
3a n －1(n ≥2).
故数列{a n }是以23为首项，1
3为公比的等比数列. 故a n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2·
⎝ ⎛⎭⎪⎫13n
(n ∈N *). (2)由于1－S n ＝12a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n
.
所以b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝log 13⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n ＋1
＝n ＋1，
由于
1b n b n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2
， 所以T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3
＋…＋1
b n b n ＋1
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2（2n ＋2）. 力量提升题组 (建议用时：20分钟)
11.(2022·郑州模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1（n ＋1）n ＋n n ＋1(n ∈N *)，其前n 项和
为S n ，则在数列S 1，S 2，…，S 2 016中，有理数项的项数为( ) A.42 B.43 C.44
D.45
解析 a n ＝
1
（n ＋1）n ＋n n ＋1
＝
（n ＋1）n －n
n ＋1
[（n ＋1）n ＋n
n ＋1][（n ＋1）n －n
n ＋1]
＝n
n －n ＋1n ＋1
.
所以S n ＝1－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－44＋…＋⎝
⎛⎭⎪⎪⎫n n －n ＋1n ＋1＝1－n ＋1n ＋1， 因此S 3，S 8，S 15…为有理项，又下标3，8，15，…的通项公式为n 2－1(n ≥2)，所以n 2－1≤2 016，且n ≥2，
所以2≤n ≤44，所以有理项的项数为43. 答案 B
12.(2021·济南模拟)在数列{a n }中，a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( ) A.76 B.78 C.80
D.82
解析 由于a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，所以a 2－a 1＝1，
a 3＋a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5＋a 4＝7，a 6－a 5＝9，a 7＋a 6＝11，…，a 11＋a 10＝19，a 12－a 11＝21，所以a 1＋a 3＝2，a 4＋a 2＝8，…，a 12＋a 10＝40，
所以从第一项开头，依次取两个相邻奇数项的和都等于2，从其次项开头，依次取两个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，以上式相加可得，S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝(a 1＋a 3)＋(a 5＋a 7)＋(a 9＋a 11)＋(a 2＋a 4)＋(a 6＋a 8)＋(a 10＋a 12)＝3×2＋8＋24＋40＝78. 答案 B
13.设f (x )＝4x 4x ＋2，若S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2 0142 015，则S ＝________.
解析 ∵f (x )＝4x
4x ＋2，
∴f (1－x )＝
41－x
41－x ＋2＝22＋4x
， ∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋2
2＋4x
＝1. S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2 0142 015，①
S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12 015，②
①
＋②得，
2S ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＝
2 014，
∴S ＝2 014
2＝1 007. 答案 1 007
14.(2021·山东卷)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ·a n ＋1的前
n 项和为
n
2n ＋1
. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ， 令n ＝1，得1a 1a 2＝13，
所以a 1a 2＝3.①
令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝2
5，
所以a 2a 3＝15.②
解①②得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n ， 所以T n ＝1×41＋2×42＋…＋n ×4n ， 所以4T n ＝1×42＋2×43＋…＋n ×4n ＋1， 两式相减，得－3T n ＝41＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1 ＝4（1－4n ）1－4
－n ·4n ＋1
＝1－3n 3×4n ＋1－43.
所以T n ＝3n －19×4n ＋
1＋49＝4＋（3n －1）4n ＋1
9
.。