四川省南充市2023-2024学年高二上学期学业质量监测数学试题

y2 b2
1(a b 0)的离心率为
3 ．其左、右顶点分别为 A1、A2 ，上， 2
下顶点分别为 B2、B1 ，且四边形 A1B1A2B2 的面积为 4．
(1)求椭圆 E 的标准方程；
(2)过点 Q 4, 0 的直线与椭圆 E 交于 M、N 两点，直线 A1M 与 A2 N 交于点 P ．求证：点 P
；若一矩形的 ．
四、解答题 17．已知直线 l : 2x y 3 0 ．
(1)若直线 m 与直线 l 垂直，且经过(1, -2)，求直线 m 的斜截式方程；
(2)若直线 n 与直线 l 平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 2，求直线 n 的一般式方 程．
18．已知等差数列an 中， a1 10, a5 2 ． (1)求数列 an 的通项公式；
3 D．四面体 ABCD 的外接球表面积为 8π
三、填空题
13．抛物线 y2=8x 的焦点坐标是
14．已知向量 m 2,1, 1,n 1,1,2 ，则 m n
．
15．已知圆 C1 : x2 ( y 1)2 1，圆 C2 : (x 2)2 y2 4 ，若直线 x 2 y m 0 与圆 C1 和
（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．4
5．若圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥的侧面展开图面积是（ ）．
A． π
B． 3π
C． 4π
D． 6π
6．如图，在正三棱柱 ABC ABC 中， AB 2, AA 3，则三棱锥 B ABC 的体积为
（ ）．
试卷第 1页，共 5页
A． 3
B．3
C． 2 3
(2)求数列 an 的前 n 项和 Sn ．
试卷第 3页，共 5页
19．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”译 为：一个长方体沿对角面斜解，得到一模一样的两个堑堵，再沿一个堑堵的一个顶点和 相对的棱斜解，得一个四棱锥称为阳马，一个三棱锥称为鳖膈，如图所示．
某同学对阳马产生了浓厚的兴趣提出了如下问题，请你帮他证明．如图，在阳马 P ABCD 中，点 E, F 分别是棱 PC, AD 的中点．
在定直线上．
试卷第 5页，共 5页
D．6
7．直线 ax y 2 0a R 与圆 x2 y2 6 y 0 交于 A, B 两点，则 AB 的最小值是（ ）．
A．3
B．6
C． 2 2
D． 4 2
8．已知双曲线 C :
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
的上焦点为 F
0, 2
2
，点 A 坐标 1, 0 ，点 P 为
A． PA 2 2 C．四边形 PACB 的面积为 8
B． PC AB D．点 P 在 ABC 外接圆的外部
11．已知焦点为 F 的抛物线 y2 2 px( p 0)与直线 y x 2 相交于 A, B 两点，且满足
OA OB （ O 为坐标原点），则下列结论正确的是（ ）．
A． p 2
B． AB 2 10
C． S△ABO : S△ABF 4 : 3
D．以 AB 为直径的圆与 y 轴只有一个公共
点 12．如图，在四面体 ABCD 中，CA CB CD 2,ACB ACD 60,BCD 90 ，E 是 CD 的中点，则下列结论正确的是（ ）
试卷第 2页，共 5页
A．平面 ABD 平面 BCD B．直线 AB 与直线 CD 所成角为 60 C．直线 AE 与平面 BCD 所成角的余弦值为 6
(1)证明： BC PB ； (2)证明： EF / / 平面 PAB
20．已知曲线 C 上任一点到 F 0,1 的距离等于它到直线 y 1的距离．
(1)求曲线 C 的方程；
(2)直线 l 与抛物线 x2 4y 相切于点 P 2, 1 ，且与曲线 C 交于 A、B 两点，求 AB ．
21．如图，在长方体 ABCD ABCD 中，DA DC 2, DD 3，点 Q, R 分别在棱 AA,CC 上，且满足 AQ 2QA,CR 2RC ．
双曲线下支上的动点，且 APF 的周长不小于 10，则双曲线 C 的离心率的取值范围为
（ ），
A． 1, 2
B． 2,
C． 1, 2
D．2,
二、多选题
9．已知数列an 的通项公式为 an 3n 12, n N* ，则下列结论正确的是（ ）
A． S3 18
B．数列an是等差数列，且公差 d 3
C．对于任意的正整数 n ，均有 an an2 2an1 成立
D．存在唯一的正整数 n ，使数列an 的前 n 项和 Sn 取得最小值 10．已知圆 C : (x 1)2 ( y 2)2 2 和圆外一点 P 2, 1 ，过点 P 作圆 C 的切线 PA, PB ，
其中 A, B 是切点，则下列结论错误的是（ ）．
A．第 6 项
B．第 7 项
2．直线 y x 1的倾斜角为（ ）
C．第 8 项
D．第 9 项
A．30°
B．45°
C．60°
D．135°
3．已知双曲线 C ： x2 y2 1，则其渐近线方程为（ ）． 9
A． y 1 x 3
B．
y
1 3
x
C． y 3x
D． y 3x
4．如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，若 AC1 x AB y AD zDD1 ，则 x y z
试卷第 4页，共 5页
(1)若点 P、G 分别为线段 DC、AB 的中点．求证： P,Q,G, R 四点共面；
(2)在线段 DC 上是否存在一点 P ，使得平面 PQR 与平面 ABCD 夹角的余弦值为
2 65 ．若存在，试确定点 P 的位置，若不存在，请说明理由． 65
22．已知椭圆
E
:
x2 a2
四川省南充市 2023-2024 学年高二上学期学业质量监测数学 试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列
1 1
2
,
2
1
3
,
1
5
,
5
1
6
,
，根据该数列的规律，则
1 72
是该数列的
（ ）．
圆 C2 共有 3 个公共点，写出一个满足条件的实数 m 的值
．
16．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂
直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙
日圆．己知椭圆 C : x2 y 2 1 ．则椭圆 C 的蒙日圆方程为 4
四条边与椭圆 C 均相切，则此矩形面积的最大值为