排列组合问题中的重复计算剖析

排列组合问题中的重复计算剖析
在解答排列组合问题中，易犯的错误是遗漏与重复。

遗漏多半比较明显,而重复较为隐蔽.本文对一些隐蔽的重复计算错误举例剖析.研究失误的原因，寻求补正和预防的方法。

例1 某天有六节不同的课，若第一节排数学,或第六节排体育,问共有多少种不同的排法?
错解数学排第一节的排法有5
A种，体育排第六节的排法也有55A
5
种，根据加法原理，第一节排数学或排体育的排法共有5
A＋55A＝
5
25
A＝240种
5
剖析在数学排第一节的排法中，存在着体育排第六节的排法，在排体育第六节的排法中，存在着数学排第一节的排法，它重复计算了数学排第一节，同时体育排第六节的排法，即多算4
A种。

正确结
4
果是：5
A＋55A－44A＝216种
5
例2 从4名男生3名女生中选3人成立科技小组,问当选者中至少有一名男生和一名女生的选法有几种?
错解先选一名男生，有1
C种选法，再选一名女生,有13C种选法,
4
最后从余下的5名学生中选一名有1
C种选法，故共有选法14C13C15C
5
＝60种
剖析上述解法中，每一种选法都符合要求，但是否有重复计算呢？为此我们不妨设4名男生为A1，A2，A3,A4，3名女生为B1，B2，B3，把上面选法中含有一名男生的选法分为4类。

在含有男生A1的一类的选法有：A1，B1，A2，即先选A1，再选B1，最后选A2；
在含有男生A 2的一类中有A 2， B 1，A 1,即先选A 2，再选B 1,最后选A 1.显然这两种选法被重复计算了。

因此上述解法是错误的。

错误的原因在于没有将符合要求的选法进行正确分类，分类要不重不漏. 正解 以男生人数分类，则符合条件的有且仅有两类，一类是男生
一名女生两名,有12
43C C 种选法，另一类是男生两名女生一名，有2
1
43C C .故共有1243C C ＋21
43C C ＝30种 例3 n 个不同的球放入n －1个不同的盒子，假设每个盒子都有足够大的容量，问每个盒子中至少有一个球的放法共有多少种？
错解 先在每盒子中放入一球共有1
n n A -种放法，再将剩下的一球放入，有n －1种放法。

由乘法原理，共有放法(n －1）1n n
A -＝（n －1）n!种.
剖析 将这n 个球和n －1个盒子均依次编号,设先在每盒中放入一球时，有一种放法是第I 号盒子恰好放入第I 号球，其中I ＝1，2,…，n －1，然后再考虑剩下的第n 号球的放法，假设第n 号球恰好放入第1号盒，这样，除1号盒中放有第一号与第n 号两个球外，其余各盒均只放有一个与盒子同号的球，若先在每盒中放入一球时，第n 号球恰好放入第1号盒，，而其余各盒所放的球均与盒子同号，这样，再将剩下的1号球放入盒中时,必有一种放法是恰好放入1号盒，这时，出现与前一次完全相同的结果，但在上面的解法中被当成两种不同的放法来计算，故重复。

正确的解法是：先从n 个球中任取2个组成一组，共有2n
C 种方法;然后把这2个球当作1份，另外n －2个球每个球算1份,共有n
－1份，把这n －1份分放在n －1个盒子中，且使每盒中恰有1份，
共有1
1
n n A --种放法，由乘法原理,符合题意的放法种数为2n C 11
n n A --＝
1
2
n -n ！。