华师一附中2024届高三《导数的应用——不等式恒成立大题》答案

一轮复习补充作业3：导数的应用——不等式恒成立大题
1．（1）()()
2()2(2)122x x x x
f x e ae a e e a '=++−=++−
1︒当20a −≥即2a ≥时，()0f x '>恒成立，()f x ∴在(,)−∞+∞上单调递增
2︒当20a −<即2a <时，当()0f x '=时，2ln
2a x −=，()0f x ∴'>时，2ln 2
a
x −>；()0f x '<时，2ln
2a x −<，()f x ∴在2,ln 2a −⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭上单调递减，2ln ,2a −⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增
综上所述：2a ≥时，()f x 在(,)−∞+∞上单调递增；2a <时，()f x 在2,ln
2a −⎛
⎫
−∞ ⎪⎝
⎭
上单调递减，2ln ,2a −⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增
（2）1︒当2a =时，22()202
x
x a
f x e
e −=+>=
恒成立，2a ∴= 2︒当2a >时，当302(2)a x a −<
<−时，232()(2)1(2)122
x x a a
f x e ae a x a a x a −=++−<++−<+−=，
此时a 无解.
3︒当2a <时，由（1）知()f x 在2,ln
2a −⎛
⎫−∞ ⎪⎝⎭上单调递减，2ln
,2a −⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增， 2
22222()ln (2)ln
22222a a a a a f x f a a −−−−−⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴≥=++−> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，整理得4ln(2)4ln 20a a −−+> 记()4ln(2)4ln 2,2g a a a a =−−+<.则46()1022a
g a a a
−'=+=>−−恒成立，故()g x 在(,2)−∞上单调递增，
(0)0g =，()4ln(2)4ln 20(0)g a a a g ∴=−−+>=，02a ∴<<。

综上所述：(0,2]a ∈.
2．由()()222e e
310x
x a x a x a f x −+−−+>可得：()22
12e 100x x a x ax a −−−+−+>
令()()22
1210e x g x x a x ax a =−−−+−+，则当0x >时，()0g x >恒成立，()()
()e 2x g x x a '=−−
i ）0a ≤时，0x a −>，()g x 在()0,ln 2单调递减，在()ln 2,+∞单调递增，
故()()22
ln 22ln 22ln 22ln 280g a a =−+−−++>，解得：ln 24ln 22a −<<+，所以：ln 240a −<≤
ii ）0ln 2a <<时，()g x 在()0,a 单调递增，在(),ln 2a 单调递减，在()ln 2,+∞单调递增，
则()()ln2000g g ⎧>⎪⎨≥⎪⎩
，解得：0ln 2a <<
iii ）ln 2a =时，()0g x '≥，()g x 在()0,∞+单调递增，而()2
09ln 2ln 20g =−−>成立；
iv ）ln 2a >时，()g x 在()0,ln 2单调递增，在()ln 2,a 单调递减，在(),a +∞单调递增，
则()()2
100090a
g a e g a a ⎧=−>⎪⎨=−−≥⎪⎩
，所以：ln 2ln10a <<。

综上：a 的取值范围是()ln 24,ln10− 3. （Ⅰ）若11
−=
e a ，则11ln )(−−−=e x x x
f ，1
11)('−−=e x x f ．当)1,0(−∈e x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增；当),1(+∞−∈e x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减；又因为0)1(=f ，0)(=e f ，所以当)1,0(∈x 时，0)(<x f ；当)1,1(−∈e x 时，0)(>x f ；当),1(e e x −∈时，0)(>x f ；当),(+∞∈e x 时，0)(<x f ． 故|)(|x f y =的极小值点为1和e ，极大值点为1−e ．
（Ⅱ）不等式e x ea a e ax x f )21()(22
−++−≤，整理为0)21(ln 22≤++−+a e x
a e
ax x ．…（*）
设a e x
a e
ax x x g ++−+=)21(ln )(22，则e a e ax x x g 2121)('2+−
+=（0>x ） x e e ex a ax 22
2)21(2++−=
x e e ax e x 2)
2)((−−=
．
①当0≤a 时，02<−e ax ，又0>x ，所以当),0(e x ∈时，0)('>x g ，)(x g 递增；当),(+∞∈e x 时，
0)('<x g ，)(x g 递减．从而0)()(max ==e g x g ．故0)(≤x g 恒成立．
②当0>a 时，x
e e ax e x x g 2)
2)(()('−−=
)12)(
(2ex e a
e x −
−=．令2212e a ex e a =−，解得a e
x =1
，则当1x x >时，2212e a ex e a >−；再令1)(2=−e a e x ，解得e a e x +=2
2，则当2x x >时，1)(2>−e
a e x ．取),max(210x x x =，则当0x x >时，1)('>x g ．所以，当),(0+∞∈x x 时，00)()(x x x g x g −>−，即)()(00x g x x x g +−>． 这与“0)(≤x g 恒成立”矛盾．综上所述，0≤a ．
4.（Ⅰ） ()212
x
x f x xe x =−−+，()1x x f x e xe x '=+−−()()110x e x =−+=时10x =， 21x =−
()f x ∴的减区间为()1,0−，()f x 的增区间为(),1−∞−， ()0,+∞
（Ⅱ）由题意，即()min 2a f x < 1x >，()()()110ax f x ax e '=+−=，11
x a
=−， 20x = 当0a >时，
1x > ()0f x ∴'> ()f x ∴单调递增，即()()min 1f x f =，()122
a a a
f e =−
< 即0a e a −<设()a g a e a =−，()10a g a e ='−>，()()min 0g a g ∴= 0010e =−=> 即a e a >恒成立
∴无解，当0a <时
且()010f =>，由（1）知()12a f >
恒成立，若01x ∃>使()02a f x <则1
1a
−>且12
a f a ⎛⎫−< ⎪⎝⎭ 1
1a
−
>⇒ 10a −<< [1]
11f a ae ⎛⎫
−=− ⎪⎝⎭
1122a a ++<， ()2212a e −<−， 1a −< 1<
由[1][2]取交集： 10a << 5．由题得()()sin 2e 1ln 1x
x m x −−≤+在[]0,x π∈上恒成立，
即()()2e ln 1sin 20x h x m x x =++−−≥，[]0,x π∈恒成立，因为()2e cos 1
x
m
h x x x '=+
−+， ①若0m ≥，()2e cos 0x
h x x '≥−>，()h x 在[]0,π上单调递增，()()00h x h ≥=，符合题意；
②若0m <，令()()2e cos 1
x
m
x h x x x ϕ'==+
−+，[]0,x π∈， 则()()
2
2e sin 01x
m
x x x ϕ'=−
+>+，所以()h x '在[]0,π单调递增，且()01h m '=+，
（i ）若10m −≤<，()()00h x h ''≥≥，()h x 在[]0,π上单调递增，()()00h x h ≥=，符合题意； （ii ）若1m <−，()00h '<，当0x >时，1
011x <
<+，则()2e cos 2e 11
x x m h x x m x '=+−>+−+， 取1ln 02m x −=>，则1ln 21ln 2e 102m
m h m −−⎛⎫'>+−= ⎪⎝
⎭，则存在010,ln 2m x −⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，此时()()00h x h <=，不合题意。

综上，1m ≥−. 6.观察可以发现
0)0(=f ，
)1(111)('x e x x f −−−+=
λ，令)1(11
1
)(x e x x g −−−+=λ0)
1(1
)('2
=+−⋅=x e x g x
λ，即2)1(1x e x +⋅=λ，可以看出2)1(1)(x e x h x +⋅=在[)+∞∈,0x 是单调减函数且0)(>x h ，1)0()(max ==h x h
③当0≤λ时，0)('≤x g 在[)+∞∈,0x 上恒成立，)(x g ∴在[)+∞∈,0x 单调递减，
0)0(')('=≤f x f ，即)(x f 在[)+∞∈,0x 单调递减，0)0()(max ==f x f ，所以0)(≤x f 恒成立，不满足
题意。

综上所述：1≥λ
7.观察发现，0)0(=f x a a e
e x
f x
x
cos )2()('++−+=−，令x a a e e x g x x cos )2()(++−+=−，则
x a e e x g x x sin )('−−=−，令x a e e x h x x sin )(−−=−，则x a e e x h x x cos )('−+=−
①当2≤a 时，[]1,1-cos 2∈≥+−，x
x
e
e ，0)('≥∴x h 在[)+∞∈,0x 恒成立，即)(x h 在[)+∞∈,0x 上是单
调增函数，0)0()(=≥∴h x h ，即)'(x g 在[)+∞∈,0x 单调递增，0)0()(=≥∴g x g ，即0)'(≥x f ，所以)(x f 在[)+∞∈,0x 上是单调增函数，所以0)0()(=≥f x f 恒成立，满足题意。

②当2>a 时，⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∈∃2
,00π，x ，使得0)('=x h 有零点，设为0x ，当[)0,0x x ∈时，0)('<x h ，)(x h ∴在
[)0,0x x ∈是单调减函数，因此在[)0,0x x ∈上，0)0(')('=≤g x g ，)(x g ∴在[)0,0x x ∈上是单调减函数，
0)0(')('=≤∴f x f ，)(x f ∴在[)0,0x x ∈是单调减函数，因此在[)0,0x x ∈上，0)0()(=≤f x f ，不满
足题意。

综上所述：2≤a 8（1）x e e
x g x
ln )(λ−−=，x
e x g x λ
−
=)('．当0≤λ时，0)('>x g 恒成立，从而)(x g 在()+∞,0上单
调递增，故此时)(x g 无极值．当0>λ时，设x
e x h x λ
−
=)(，则0)('2
>+
=x e x h x λ
恒成立， 所以)(x h 在
()+∞,0上单调递增．①当e <<λ0时，,0)(
,0)1(<−=>−=e e e
h e h e λ
λ
λ且)(x h )是()+∞,0上的连续函
数，因此存在唯一的)1,(
0e
x λ
∈，使得0)(0=x h ．
②当e ≥λ时，,0)(,0)1(>−=≤−=e e h e h λ
λλ且)(x h )是()+∞,0上的连续函数，因此存在唯一的
),1(0λ∈x ，使得0)(0=x h ．故当0>λ时，存在唯一的00>x ，使得0)(0=x h ，且当00x x <<时，0)(<x h ，
即0)('<x g ，当0x x >时，0)(>x h ，即0)('>x g ，所以)(x g 在()0,0x 上单调递减，在()∞+，0x 上单调递增，因此)(x g 在0x x =处有极小值．所以当函数)(x g 存在极值时，λ的取值范围是()+∞,0. （2）x e e x f x g x ln )(')(λ−−==
，x
e x g x λ
−
=)('．设）
（1)(≥⋅=x e x x h x ，则x
e x x h )1()('+= ①当e ≤λ时，)(x g 在[)+∞,1上单调递增，此时0)1()(=≥g x g ，即0)('≥x
f ，从而)(x f 在[)+∞,1上单调递增．所以0)1()(=≥f x f 恒成立．
②当e >λ时，存在),1(0λ∈x ，使得)(x g 在()0,0x 上单调递减，即)('x f 在()0,0x 上单调递减．
所以当),1(λ∈x 时，0)1(')('=<f x f ，于是)(x f 在[
)01
x ，上单调递减，所以0)1()(0=<f x f ，不符合题意。

综上所述：e ≤λ，即λ的最大值为e 9.（Ⅰ） 1a =−时， ()()'ln 12+1
x
f x x x b x =−+
+−，记()('g x f x b =−）
，则 ()()()
22
32112'2111x x g x x x x ⎛
⎫⋅− ⎪
⎝⎭=−+=−−−， ()3'02g x x =⇒=当131,2x e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时， ()'0g x <， 3,12x e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭
时， ()'g x 0>，所以当32x =时， ()g x 取得极小值6ln2−，又1212g e e e ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭， ()1
124g e e e
+=++，()()'0f x g x b =⇔=−，所以
（ⅳ）当124b e e −≥+
+即124b e e ≤−−−时， ()'0f x ≤，函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
上 无极值点；
（Ⅱ）当1,2a b e ==+时，对任意的()1,x ∈+∞都有()1
2
x f x k e
<⋅，即()()2
2
ln 12x x x x e x ke −−++<，
即
()2
ln 12x e
x x e k x
−−++<⋅
，记
()()ln 12
h x x x e =−−++，
()2
x e x k x
φ=⋅
，
由
()12'111
x
h x x x −=
−=
−−，当12x <<时()'0h x >， 2x >时， ()'0h x <，所以当2x =时， ()h x 取得最大值()2h e =，
又()()
222
22
1222'x x x
k e x e e x x k x x
φ−−==，当12x <<时()'0x φ<， 2x >时， ()'0x φ>， 所以当2x =时， ()x φ取得最小值2ke ，所以只需要2
ke
e < 2k ⇒>，即正实数k 的取值范围是()2,+∞． 10.（1）a x
x x x f −++
=1
ln )('，因为()f x 在()0,+∞上单调递增，则0)('≥x f 恒成立，即11ln ++≤x x a 恒成立，令11ln )(++=x x x g ，则01
)('2=−=x
x x g 解得1=x ，当)1,0(∈x 时，
0)('<x g ，)(x g 单调递减，当)1(∞+∈，x 时，0)('>x g ，)(x g 单调递增，因此，2)1()(min ==g x g ，所以20≤<a
综上所述：20≤<a
11.
(2)解法一：由得，∵，∴原命题等价于
在上恒成立，令，则，令，则在上单调递增，由，，∴存在唯一，使，.
∴当时，，为增函数，当时，，为减函数，∴时，
，∴，又，则，由，所以.故整数的最小值为2.
解法二：得，，令，
，
①时，，在上单调递减，
∵，∴该情况不成立.
②时，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
∴，恒成立，即.令，
显然为单调递减函数.由，且，，∴当时，恒有成立，故整数的最小值为2.综合①②可得，整数的最小值为2.
12． (1)函数()()ln 1e 1x a
f x x x −=+−−的定义域为(0,)+∞，()1
e e 1
x a x a f x x x −−=
−+'− 因为0是()f x 的一个极值点，所以()001
0e 0e =001
a a f −−−⨯'=
−+，所以e =1a −，解得0a =，所以()()ln 1e 1x
f x x x =+−−，且()()()2
1e 111e e =e 1111
x
x x x x f x x x x x x −+=−−−+=
+'++， 令2()1e (1)x g x x =−+，则22()e (1)(22)e e (43)e (3)(1)x x x x g x x x x x x x '=−+−+=−++=−++，
当1x >−时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，又(0)0g =，当0x >时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当10x −<<时，()0g x >，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以0x =为函数的极大值点， 所以0a =，且函数()f x 的递增区间有(1,0)−，递减区间有(0,)+∞；
(2)由(1)()()ln 1e 1x f x x x =+−−，所以()()2ln 1e x
f x kx x ++−可化为2(1)e 10x x kx −++≥，
当0x =时，不等式2(1)e 10x x kx −++≥可化为0(01)e 010k −+⨯+≥，可得R k ∈,
当0x ≠时，不等式2
(1)e 10x
x kx −++≥可化为2
(1)e 1
x x k x −+≥−，
设2(1)e 1()(10x x h x x x −+=−≤<或0)x >，则3243e 2(1)e 2(22)e 2()=
x x x x x x x x x h x x x −−−−+−'=， 设2()(22)e 2(1)x x x x x ϕ=−+−>−，则22()(22)e (22)e e x x x x x x x x ϕ'=−++−=
所以2()(22)e 2(1)x x x x x ϕ=−+−>−单调递增，又0(0)2e 2=0ϕ=−，所以当0x >时，()0x ϕ>，()0h x '>，
当10x −<<，()0x ϕ<，()0h x '>，所以函数2(1)e 1()x x h x x −+=在(0,)+∞和(1,0)−上都为增函数，
取0(1,0)x ∈−，()0000
000000222
00
0(1)e 1(1)e 1(1)e (1)e ()()x x x x x x x x h x h x x x x −−−+−−+−++−−=−=−， 设()(1)e (1)e (10)x x F x x x x −=−++−<≤，则当10x −<<时，()()e (1)e +e =e e 0x x x x x
F x x x x −−−'=−+−>，
所以()(1)e (1)e (10)x x F x x x x −=−++−<≤单调递增，而(0)0F =，所以当10x −<<时，()0<F x ， 所以当10x −<<时，00()()h x h x <−，所以2
(1)e 1()(10
x x h x x x −+=−≤<或0)x >的最小值为h (-1),即21e −， 所以当(1,0)(0,)−+∞时，2(1)e 1x x x −+没有最小值，2
(1)e 12
1e
x x x −+>−但其取值能无限趋近21e −， 又2
(1)e 1
x x k
x −+≥−恒成立，所以21e k −≥−，所以21e k ≥−，综上21e k ≥−. 13．（1）由已知可得()()3ln G x f x x =−，()2ln 2
a f x x x =+
，1a =，所以()21
2ln 2G x x x =−，
()222x G x x x x
−'=−=
，当1x ≤<()0G x '
<，函数()G x
在⎡⎣
4x ≤时，
()0G x '>，函数()G x
在
⎤⎦上单调递增，
又()1
12
G =，()484ln 2G =−
，1ln 2G =−，
因为ln 20.693≈，
所以()()14G
G G <<，所以函数()G x 在[]1,4上的的最大值为84ln 2−，最小值为1ln 2−，因为存在
[]12,1,4x x ∈，使得()()12G x G x m −≥成立，所以()()max min G x G x m −≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，
所以73ln 2m ≤−，又ln 20.693≈，故73ln 2 4.921−≈，所以满足条件的最大整数m 的值为4； （2）不等式()()f x g x ≤，可化为232ln 23a x x x +
≤，
因为)
x ∈+∞，所以2
4ln 23x
a x x ≤−，由已知24ln 23x a x x ≤
−
在)
+∞上恒成立；所以2min
4ln 23x a x x ⎡⎤≤−⎢⎥⎣⎦，设24ln ()23x
h x x x =−，则343
424ln 4612ln ()33x x x x x h x x x −−+'=−=
，设()3
4612ln x x x ϕ=−+，则()21212x x x ϕ'=+
，当x ≥()0x ϕ'>，函数()34612ln x x x ϕ=−+
在)+∞上单调递增，
又
660ϕ
=+>，所以()0x ϕ>，
所以当x ()0h x '>，函数24ln ()23x h x x x =−
在)
+∞
上单调递增，所以1
()e
h x h ≥，
所以1e a ≤
，所以实数a
的取值范围为1e ⎛
⎤−∞ ⎥⎝
⎦.
14．（1）()e 1ax
f x a '=−，令0f
x ，解得ln a x a =−
，当ln a
x a
<−，0f x ，ln a
x a
>−
，0f x ，
所以单调递减区间为ln ,a a ⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭，单调递增区间为ln ,a a ⎛⎫
−
+∞ ⎪⎝⎭
（2）令()()22111e 122ax g x f x ax ax x ⎛⎫⎛⎫
=−+=−+ ⎪⎭+ ⎪⎝⎝⎭
，则任意0x ≥，()2112f x ax ≥+等价为任意0x ≥，
()0g x ≥，()e 1ax g x a ax '=−−，设()()u x g x '=，()21e ax u x a a ⎛
⎫'=− ⎪⎝
⎭，当0a =时，()0g x x =−≤，不合题
意；当0a <时，由指数函数及二次函数的单调性易得()g x 在10,x a ⎛
⎫∈− ⎪⎝⎭单调递减，又22e 10g a −⎛⎫−=−< ⎪⎝⎭
，
不合题意；当0a >时，则()u x '为增函数，令()0u x '=得ln a x a =−，当01a <<时，ln 0,a x a ⎛
⎫∈− ⎪⎝
⎭，则()0u x '<， 所以()g x '在ln 0,a a ⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递减，()()010g x g a '=−'<<，所以()g x 在ln 0,a a ⎛⎫− ⎪⎝
⎭上单调递减，所以()()00g x g <=，不合题意．当1a ≥时，ln ,a x a ⎛⎫
∈−+∞ ⎪⎝⎭时，()0u x '>，又ln 0a a −≤，0x ≥，∴()g x '在[)0,+∞上单调递增；所以()()010g x g a '=−'≥≥，所以()g x 在[)0,+∞上单调递增；所以()()00g x g ≥=，符合题意. 综上所述，1a ≥. 15．（1）因为()()ln 1e x
x f x +=
，故()()e 1
ln 11x
x x f x −++=，令()()1ln 11
g x x x =−++，易得()g x 在()1,−+∞上为减函数，且()010g =>，()112ln 2221ln 41l 2
n 20g −−=
−==<，故()g x 在()0,1上有唯一零点0x . 故在()01,x −上()0g x >，()f x 上单调递增；在()0,x +∞上()0g x <，()f x 上单调递减，故函数()f x 存在唯
一的极大值点0x .
（2）()()R f x kx k ≤∈恒成立即
()e
ln 10x
x kx +−≤，设()()n 1e
l x
x h x kx +=
−，则()00h =.
()()1ln 11e x x x h x k −++'=−，()()()2
21ln e 111x
x x x h x +−−++''=
，易得()()()221ln 111x x x x ϕ=+−−++在定义域()1,−+∞上为增函数，且()5
1ln 204
ϕ=−<，()72ln 309
ϕ=−>，故()x ϕ在()1,2上有唯一零点0
x
.故在()
01,x −上()0h x ''<，()h x '单调递减；在()0,x +∞上()0h x ''>，()h x '单调递增.又()01h k '=−，且()00h =，若()0h x ≤恒成立，则0x =为极大值点，此时()010h k '=−=，解得1k =，此时在()1,0−上()0h x '>，()h x 单调递增，在()0,∞+上()0h x '<，()h x 单调递减，故()()00h x h ≤=恒成立.故1k =.
16．（1）依题意，函数()e x f x =定义域为R ，()1e 10R,x
f x a x x x a ∀≥+⇔−−≥∈，令()e 1x F x ax =−−，
即()0R,F x x ∀∈≥，求导得()e x F x a '=−，当0a ≤时，()0F x '>，函数()F x 在R 上单调递增，当0x <时，
()(0)0F x F <=，不符合题意，当0a >时，当ln x a <时，()0F x '<，当ln x a >时，()0F x '>，即函数()F x 在(,ln )a −∞上递减，在(ln ,)a +∞上递增，于是得min ()(ln )ln 1F x F a a a a ==−−，因此ln 10−−≥a a a ，令()ln 1G a a a a =−−，()ln G a a '=−，当01a <<时，()0G a '>，当1a >时，()0G a '<，即函数()G a 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，因此max ()(1)0G a G ==，即(0,)a ∀∈+∞，()0G a ≤，而()0G a ≥，则有()0G a =，
1a =， 所以1a =.
（2）依题意，
()()0,20()e sin cos 20x x f x g x ax h x x x ax ∀≥+−−≥⇔=++−−≥，()e cos sin x h x x x a '=+−−，令()e cos sin x x x x ϕ=+−，0x ≥，则()e sin cos x x x x ϕ'=−−，令()e 1,0x v x x x =−−≥，则()e 10x v x '=−≥，即函数()v x 在[0,)+∞上单调递增，于是得[0,)x ∀∈+∞，()(0)0v x v ≥=，即e 1x x ≥+，则有0x ≥，
()1sin cos sin x x x x x x ϕ'≥+−−≥−，令()sin ,0u x x x x =−≥，有()1cos 0u x x '=−≥，即函数()u x 在[0,)+∞上
单调递增，则[0,)x ∀∈+∞，()(0)0u x u ≥=，即sin 0x x −≥，从而得()0x ϕ'≥，函数()ϕx 在[0,)+∞上单调递增，则有min ()(0)2x ϕϕ==，显然当[0,)x ∈+∞
时π
cos sin )[4
x x x −=+∈，函数e x y =的值域
为[1,)+∞，于是得函数()ϕx 在[0,)+∞上的值域为[2,)+∞，当2a ≤时，()()0h x x a ϕ'=−≥，函数()h x 在[0,)
+∞上单调递增，因此[0,)x ∀∈+∞，()(0)0h x h ≥=，则2a ≤，当2a >时，则存在0(0,)x ∈+∞，使得0()0h x '=，显然函数()h x '在[0,)+∞上单调递增，即当00x x <<时，()0h x '<，则函数()h x 在0(0,)x 上单调递减，当
0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h <=，与已知矛盾，所以a 的取值范围是2a ≤.
17．（1）由题意得()ln 0f x x x '=≥，∴函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，又()114f =−
，()2
e e 4
f =，∴函数在区间[]1,e 上的值域为21e ,44⎡⎤
−⎢⎥⎣⎦
．
（2）令()()2
2h x f x mx m =++，则()()ln h x f x m x x m ''=+=+．易知()ln h x x x m '=+在区间[)1,+∞上单调
递增，∴()()min 1h x h m ''==．①当()()min 10h x h m ''==≥时，函数()h x 在区间[)1,+∞上单调递增，∴要使
得()0h x ≥，则()2
11204h m m =+−
≥，解得m ≥．②当()()min 10h x h m ''==<时，又()
()()min
e e ln e 1e 0m m m m h m m −−−−'=+=−>，∴()01,e m
x −∃∈，使得()00h x '=，00ln 0x x m +=，即00ln m x x =−．
当[)01,x x ∈时，()0h x '<，即函数()h x 在区间[)01,x 上单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，即函数()h x 在区间()0,x +∞上单调递增．∴函数()h x 的最小值是()22
20000011ln 2024
h x x x x mx m =−++≥．将00ln m x x =−
代入上式，整理得()2
008ln 2ln 10x x −−≥，解得01
ln 2
x ≥
，即0x ≥00ln m x x =−，且()ln x x x ϕ=−在
区间)
+∞上单调递减，∴m ≤m 的取值范围是,⎛⎫−∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭
． 18．（1）由题意得：()ln (1)f x x x a x a =−++，,()0x ∈+∞，所以()ln f x x a '=−，令()0f x '=，解得
e (0,)a x =∈+∞，当0e a x <<时()0
f x '<；当e a x >时，()0f x '>．所以()f x 在()0,e a 上单调递减，在()e ,a
+∞上单调递增．所以()f x 有极小值，为()e e a a
f a =−；无极大值．
（2）由已知得，(1)ln (1)(2)e x x x a x x a −−+≤−−对任意[1,)x ∈+∞恒成立，即ln (1)
(ln 1)e [(1)1]e x x x a x a −−−≤−−−对任意[1,)x ∈+∞恒成立，令()(1)e x g x x a =−−，则(ln )(1)g x g x ≤−对任意[1,)x ∈+∞恒成立，下证：
0ln 1x x ≤≤−对任意[1,)x ∈+∞恒成立，令()ln (1)h x x x =−−，[1,)x ∈+∞．则()10x
h x x
−'=
≤在[1,)+∞上恒成立，且仅当1x =时取"="．所以()h x 在[1,)+∞上单调递减，()(1)0h x h ≤=，即0ln 1x x ≤≤−，[1,)x ∈+∞
所以(ln )(1)g x g x ≤−对任意[1,)x ∈+∞恒成立，只需()g x 在[0,)+∞上单调递增，即()()e 0x
g x x a '=−≥在
[0,)+∞上恒成立，即a x ≤在[0,)+∞上恒成立，所以0,a ≤即a 的取值范围为(,0]−∞.
19．（1）
()2
10()2ln e x f x x x x x =++
−>，2121()1212e e
x x f x x x x x ⎛⎫∴=+−−=+− ⎪⎝⎭'−，令()()h x f x '=，则221
()2e x h x x '⎛⎫=−−+ ⎪⎝⎭，∵0x >，∴1e 1,01e x x ><<，1210e x −<−<，∵220x −<，∴21220e x x −−<，
得()'f x 在(0,)+∞上是减函数，∵211
(1)10,(2)(114)0e e
f f '=−>+−−'=<，∴()'f x 在(1,2)存在零点0x ，即
()000,12f x x =<<'，∴()f x 在()00,x 为增函数，在()0,x +∞为减函数，1(1)0e f =
>，1
2e
11112e e e e
f ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭， 又1
e 1e
1101,e 1,1e e ><<<，12e 111110e e e −+−−<，0e 1f ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭，∵()f x 在()00,x 为增函数，且1(1)0e f f ⎛⎫
⋅< ⎪⎝⎭
，∴()f x 在()00,x 有一个零点，
2e 1
(e)e 2e e
f =++
−，又 2.7e 2.8,e 2 4.8<<+<，e e e e 11e 22,00.5,e 2 5.3e e >><
<++<，222
e 2.7(20.7)4220.7 6.8>=+>+⨯⨯=，∴2e 1(e)e 2e 0e
f =++−<， ∵()f x 在()00,x 为增函数，()001,(1)0x f x f <>>，∵()f x 在()0,x +∞为减函数，(e)0f <，∴()0(e)0f x f <，
∴()f x 在()0,x +∞有一个零点，∴()f x 在定义域内有两个零点． （2）当1x >时，()0f x ≥，当0a =时，110e x x +−>显然成立；下面讨论0a <时，即1
ln e
a x
x a x x +≥−+， 令函数1()e x p x x =+
，则1
()1e x
p x '=−，所以()p x 在(0,)+∞为增函数，
ln ln (ln )ln e ln e ln a
a x x a p a x a x a x a x x −=−+=−+=−+，即()(ln )p x h a x ≥−，∵0,1a x <>，∴ln 0a x −>，
ln x a x ∴≥−，∵ln 0x >，∴ln x
a x
≥−
，令2ln 1(),(),()ln (ln )x x g x g x g x x x −=−=−'在区间(1,e)是增函数，在区间(e,)+∞上是减函数，()g x 的最大值为e
(e)e ln e
g =−
=−，∴e a −≥，∴a 的最小值为e −． 20．（1）由题意得，111(1)
(1,),()111
ax a a x x f x a x x x −−−+∈−+∞=
−='=+++，当0a ≤时，()0f x '>，则函数()f x 在(1,)−+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，解得111a x a a
−=
=−；当1
(1,1)x a ∈−−时，()0f x '>，则函
数()f x 在11,1a ⎛⎫−− ⎪⎝
⎭上单调递增；当11,x a ⎛⎫∈−+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 在11,x a ⎛⎫
∈−+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，
综上，当0a ≤时，函数()f x 在(1,)−+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在1
(1,1)a −−上单调递增，在
11,a ⎛⎫
−+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减． （2）由题意得，ln(1)1cos x ax x +−≤−，即ln(1)cos 1x x ax ++−≤．令()ln(1)cos g x x x ax =++−，则
1
()sin 1
g x x a x =
−−+'，当10−<≤x 时，()g x '单调递减，∴()(0)1g x g a ''≥=−．①当1a ≤时，10a −≥，则()0g x '≥恒成立，∴()g x 为增函数，∴()(0)1g x g ≤=；②当1a >时，
1
10,110a a
−<−<−<，∵(0)10g a '=−<，111sin 10g a a ⎛⎫⎛⎫
−=−−> ⎪ ⎪⎝⎭⎭
'⎝，∴存在0(1,0]x ∈−，使()00g x '=，且[]0,0x x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减， ∴()0(0)1g x g >=，与()1g x ≤矛盾，舍去．综上所述，实数a 的取值范围是(,1]−∞．
21．（1）若1a =−，'
1()ln(1)e ,()e 1x x f x x f x x =+−=
−+，则切线的斜率为1
(1)e 2
f '=−， 又(1)ln 2e f =−， 所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程是 1(ln 2e)e (1)2y x ⎛⎫
−−=−− ⎪⎝⎭
，即(12e)22ln 210x y −−+−=
（2）当0a >时，()0f x a +恒成立，即2ln(1)e x x a a +−在1x >−时恒成立，当0x =时，2ln(1)e x x a a +−恒成立，即20a a −，又0a >， 则1a .下面证明: 当1a 时，2ln(1)x x a e a +−在1x >−时恒成立.先证明1x >−时， ln(1)x x +，令()ln 1m x x x =−+， 则1()x
m x x
−'=
，当 (0,1)x ∈时， ()0m x '>; 当 (1,)x ∈+∞时， ()0m x '<，故()ln 1m x x x =−+在(0,1)上单调递增，在 (1,)+∞上单调递减，则()(1)0m x m =， 即ln 10x x −+， 故ln 1x x −，所以当1x >−时， ln(1)x x +.要证明2ln(1)e x x a a +−，只需证明: 对任意的
2(1,),e x x a a x ∈−+∞−恒成立，令2()e x g x a x a =−−， 则2()e 1x g x a '=−，由2()e 10x g x a '=−=， 得
2
1
ln
2ln 0x a a ==−.①当2ln 1a −≤−，即a ()0g x '>，则()g x 在(1,)−+∞上单调递增，于是2
21e e e
()(1)1110e e 244
a g x g a a ⎛⎫>−=+−=−+−>−> ⎪⎝⎭;②当2ln 1a −>−，即1e a <时，()g x 在(1,2ln )a −−上
单调递减，在(2ln ,)a −+∞上单调递增，于是2
2()(2ln )2ln 2ln 1a
g x g a a a a a a
−=+−=−+，令()2ln 1h a a a =−+，
则2()110
h a a '
=
−>>，则()h a 在 上单调递增，于是()(1)0h a h =， 所以()0g x 恒成立， 综上当1a 时，不等式2e x a a x −恒成立.因此，正数a 的取值范围是[1,)+∞.。