2020-2021高中三年级数学下期末一模试卷及答案(10)

2020-2021高中三年级数学下期末一模试卷及答案(10)
一、选择题
1．已知2a i
b i i
+=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1
B ．1
C ．2
D ．3
2．给出下列说法：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ） A ．3+3i
B ．-1+3i
C ．3+i
D ．-1+i
4．函数3
2
()31f x x x =-+的单调减区间为 A ．(2,)+∞
B ．(,2)-∞
C ．(,0)-∞
D ．(0,2)
5．若θ是ABC ∆的一个内角，且1
sin θcos θ8=-，则sin cos θθ-的值为（ ） A ．3 B ．
32
C ．52
-
D 5 6．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ） A 2B 3
C ．22
D ．327．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。

老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩 B ．乙可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．丁可以知道四人的成绩
8．已知向量()1,1m λ=+r ，()2,2n λ=+r ，若()()m n m n +⊥-r r r r ，则λ=（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．2-
D ．1-
9．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B =I ð（ ） A ．{}1- B ．{}0,1 C ．{}1,2,3-
D ．{}1,0,1,3-
10．已知a R ∈，则“0a =”是“2
()f x x ax =+是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．已知,m n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：
①若m αP ，m n ⊥，则n α⊥；
②若m α⊥，n αP ，则m n ⊥；
③若,m n 是异面直线，m α⊂，m βP ，n β⊂，n αP ，则αβ∥； ④若,m n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面. 其中为真命题的是（ ） A ．②③④
B ．①②③
C ．①③④
D ．①②④
12．sin 47sin17cos30cos17-o o o
o
A
． B ．12
-
C ．
12
D
．
2
二、填空题
13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3
A π
=
，a =b=1,则
c =_____________
14．若x ，y 满足约束条件x y 102x y 10x 0
--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
，则x
z y 2=-+的最小值为______．
15．若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上存在单调增区间，则实数a 的取值
范围是_______.
16．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则
ABC V 的面积为______．
17．已知复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|= _________ ．
18．在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o 点E 和点F 分别在
线段BC 和CD 上,且21,,36
BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r 的值为 ．
19．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则
a =__________．
20．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）
三、解答题
21．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E .124AA AB AD ===.
（1）证明：AE ⊥平面ECD ；
（2）求直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值. 22．已知()11f x x ax =+--.
（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.
23．某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示
（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y （单位：百万元）与月份代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；
（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有,A B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对,A B 两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表： 使用寿命/材料类型 1个月 2个月 3个月 4个月 总计 A 20 35 35 10 100 B
10
30
40
20
100
如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？
参考数据：
6
1
96i
i y
==∑ 6
1
371i i i x y ==∑
参考公式：回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+，其中()()()
()1
1
2
22
1
1
ˆ=
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nxy
b x x x
nx
====---=--∑∑∑∑
24．在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点
A ，
B 的极坐标分别为()
π42，，5π4⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）．
（1）求直线AB 的直角坐标方程；
（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．
25．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 2
2:12
x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，
点P
满足NP =u u u v u u u v
.
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u v u u u v
.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的
左焦点F .
26．已知数列{}n a 与{}n b 满足：*
1232()n n a a a a b n N ++++=∈L ，且{}n a 为正项等比
数列，12a =，324b b =+. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足*221
1
()log log n n n c n N a a +=
∈，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：
1n T <.
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的值，从而可得结果. 【详解】
因为
2
2
22
2
a i ai i
ai b i
i i
+--
==-=+
-
，,a b∈R，
所以
22
11
b b
a a
==
⎧⎧
⇒
⎨⎨
-==-
⎩⎩
，则+1
a b=，故选B.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
①②③根据定义得结论不一定正确.④画图举出反例说明题目是错误的.
【详解】
解：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;
②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图（1）所示;
③不一定．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图（2）所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;
④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等．
故答案为:A
【点睛】
(1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力;
(2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定; (3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可．3．C
解析：C
因为2
(1)(12)1223i i i i i i -+=+--=+，故选 C. 考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间. 【详解】
32'2()31()363(2)002f x x x f x x x x x x -=-<⇒=+∴=<-<Q ，所以函数的单调
减区间为(0,2)，故本题选D. 【点睛】
本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键.
5．D
解析：D 【解析】
试题分析：θ是ABC ∆的一个内角,
，又，所以有
，故本题
的正确选项为D.
考点：三角函数诱导公式的运用.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解. 【详解】
因为圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0， 两式相减得20x y --=，即公共弦所在的直线方程. 圆C 1：x 2+y 2＝4，圆心到公共弦的距离为2
d =， 所以公共弦长为：22222l r d =-=. 故选：C 【点睛】
本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
7．A
解析：A
【分析】
根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果. 【详解】
因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，
又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，
又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，
又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩. 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A. 【点睛】
本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
∵()()m n m n +⊥-r r r r ，∴()()0m n m n +⋅-=r r r r
. ∴
，即2
2
(1)1[(2)4]0λλ++-++=，
∴3λ=-,，故选B. 【考点定位】 向量的坐标运算
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】
={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I
【点睛】
易于理解集补集的概念、交集概念有误.
10．C
解析：C 【解析】
因为()2
f x x ax =+是偶函数，所以22
()()20f x x ax f x x ax ax -=-==+∴=
所以0a =.所以“0a =”是“()2
f x x ax =+是偶函数”的充要条件.故选C.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据空间中点、线、面位置关系，逐项判断即可. 【详解】
①若m αP ，m n ⊥，则n 与α位置关系不确定；
②若n αP ，则α存在直线l 与n 平行，因为m α⊥，所以m l ⊥，则m n ⊥； ③当m α⊂，m P β，n β⊂，n αP 时，平面α，β平行； ④逆否命题为：若m 与n 垂直于同一平面，则,m n 平行，为真命题. 综上，为真命题的是②③④. 故选A 【点睛】
本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记线面关系、面面关系，即可求解，属于常考题型.
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
由(
)
sin 473017sin θ=+o
o o
，利用两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数，化简即可. 【详解】
0000
sin 47sin17cos30cos17
-sin()sin cos cos 1730173017︒+︒-︒︒
=︒ sin17cos30cos17sin 30sin17cos30cos17︒︒+︒︒-︒︒=
︒
1
302sin =︒=．故选C ．
【点睛】
三角函数式的化简要遵循“三看”原则： （1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
二、填空题
13．2【解析】【分析】根据条件利用余弦定理可建立关于c 的方程即可解出c 【详解】由余弦定理得即解得或（舍去）故填2【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边属于中档题
解析：2 【解析】 【分析】
根据条件，利用余弦定理可建立关于c 的方程，即可解出c. 【详解】
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得231c c =+-，即220c c --=，解得2c =或
1c =-（舍去）.故填2. 【点睛】
本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边，属于中档题.
14．-1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域由图形求出最优解再计算目标函数的最小值【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示由图形知当目标函数过点A 时取得最小值由解得代入计算所以的最小值为故答案为
解析：-1 【解析】 【分析】
画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数1
z x y 2
=-+的最小值． 【详解】
画出约束条件102100x y x y x --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
表示的平面区域如图所示，
由图形知，当目标函数1
z x y 2
=-+过点A 时取得最小值，由{
x 0
x y 10=--=，解得
()A 0,1-，代入计算()z 011=+-=-，所以1
z x y 2
=-+的最小值为1-．
故答案为1-． 【点睛】
本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．
15．【解析】【分析】【详解】试题分析：当时的最大值为令解得所以a 的取值范围是考点：利用导数判断函数的单调性
解析：1
(,)9
-+∞
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：2
2
11()2224f x x x a x a ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝
⎭'．当23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，()f x '的最大值为
22239f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，令2209a +>，解得19a >-，所以a 的取值范围是1,9⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
．
考点：利用导数判断函数的单调性．
16．【解析】【分析】由已知利用正弦定理二倍角的正弦函数公式可求的值根据同角三角函数基本关系式可求的值利用二倍角公式可求的值根据两角和的正弦函数公式可求的值即可利用三角形的面积公式计算得解【详解】由正弦定
【解析】 【分析】
由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用二倍角公式可求sin C ，cos C 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解． 【详解】
2b =Q ，3c =，2C B =，
∴由正弦定理sin sin b c B C =，可得：23
sin sin B C
=，可得：
233sin sin22sin cos B B B B
==，
∴可得：3cos 4B =
，可得：sin B ==，
∴可得：sin sin22sin cos 8C B B B ===，21
cos cos22cos 18C B B ==-=，
()13sin sin sin cos cos sin 84A B C B C B C ∴=+=+=
+=
，
1157157
sin 23221616
S bc A ∴=
=⨯⨯⨯=
． 故答案为：157
． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
17．【解析】【分析】【详解】复数z=1+2i （i 是虚数单位）则|z|==故答案为 解析：
【解析】 【分析】 【详解】
复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|==
．
故答案为
．
18．【解析】在等腰梯形ABCD 中由得所以考点：平面向量的数量积
解析：
2918
【解析】 在等腰梯形ABCD 中,由AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o
得
12AD BC ⋅=u u u r u u u r ,1AB AD ⋅=u u u r u u u r
,12
DC AB =u u u r u u u r ,所以()()
AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .考点：平面向量的数量积.
19．【解析】【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化 解析：12【解析】 【分析】
根据2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a . 【详解】
因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， 由cos sin (0)a a ρθρθ+=>，得(0)x y a a +=>，
由2cos ρθ=，得2=2cos ρρθ，即22
=2x y x +，即22(1)1x y -+=，
1101a a a =∴=±>∴=+Q ，，
【点睛】
（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；
（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2
cos ,sin ,ρθρθρ的形式，
进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.
20．660【解析】【分析】【详解】第一类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种；第二类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种根据分类计数原理共有种故答案为
解析：660 【解析】 【分析】 【详解】
第一类，先选1女3男，有316240C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2
412A =种，故
有4012480⨯= 种；第二类，先选2女2男，有22
6215C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2
412A =种，故有1512180⨯=种，根据分类计数原理共有480180660+=种，故
答案为660.
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2 【解析】 【分析】
（1）证明1AA CD ⊥，CD AD ⊥，推出CD ⊥平面11AA D D ，得到CD AE ⊥，证明
AE ED ⊥，即可证明AE ⊥平面ECD ；
（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值． 【详解】
（1）证明：∵四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱， ∴1AA ⊥平面ABCD ，而CD ⊂平面ABCD ，则1AA CD ⊥，
又CD AD ⊥，1AA AD A =I ，
∴CD ⊥平面11AA D D ，因为平面11AA D D ，∴CD AE ⊥， ∵1AA AD ⊥，1AA AD =， ∴11AA D D 是正方形，∴AE ED ⊥， 又CD ED D =I ，∴AE ⊥平面ECD .
（2）解：建立如图所示的坐标系，1A D 与1AD 交于点E ，124AA AD AB ===，
则()()()()10,0,0,0,0,4,2,4,0,0,4,0A A C D ， ∴()0,2,2E ， ∴()()
()12,4,4,2,4,0,0,2,2A C AC AE =-==u u u u r u u u r u u u r ， 设平面EAC 的法向量为(),,n x y z =r ，则·0·0n AC n AE ⎧=⎨=⎩
u u u v v u u u v v ，即240
220x y y z +=⎧⎨+=⎩，
不妨取()2,1,1n =--r
，
则直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值为4446
63666n AC n AC
-+-==r u u u r g r u u u r g ．
【点睛】
本题主要考查直线与平面所成角的求法，考查直线与平面垂直的判断和性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 22．（1）12x x ⎧⎫
>
⎨⎬⎩⎭
；（2）(]0,2 【解析】
分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化
为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩
，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集
为12x x
⎧⎫⎨⎬⎩⎭
； (2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为
()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.
详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩
故不等式()1f x >的解集为12x x
⎧⎫⎨⎬⎩⎭
． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥； 若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以2
1a
≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]
0,2．
点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.
23．(1) ˆ29y
x =+ , 31百万元；(2) B 型新材料. 【解析】 【分析】
(1)根据所给的数据，做出变量,x y 的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数b ,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出a 的值，写出线性回归方程；将11x =代入所求线性回归方程，求出对应的y 的值即可得结果； (2)求出A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数与B 型新材料对应产品的使用寿命的平均数，比较其大小即可得结果. 【详解】
（1）由折线图可知统计数据(),x y 共有6组，
即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)， 计算可得123456
3.56
x +++++=
=，
6111
91666
i i y ==⨯=∑ 所以()
12
21ˆn
i i i n i
i x y nxy
b
x n x ==-==-∑∑
37163.516
217.5
-⋅⋅=，
1ˆˆ62 3.59ˆa
y bx =-=-⨯=， 所以月度利润y 与月份代码x 之间的线性回归方程为ˆ29y
x =+. 当11x =时，211931ˆy
=⨯+=. 故预计甲公司2019年3月份的利润为31百万元.
（2）A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为1 2.35x =，B 型新材料对应的产品的使
用寿命的平均数为2 2.7x =，12x x <Q ∴，
应该采购B 型新材料. 【点睛】
本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样
本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算,x y 的值；③计算回归系数ˆˆ,a
b ；④写出回归直线方程为ˆˆˆy
bx a =+； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
24．（1）340x y -+=；（2 【解析】 【分析】
（1）求得()04A ，
，()22B --，，问题得解． （2）利用直线AB 和曲线C 相切的关系可得：圆心到直线A B 的距离等于圆的半径r ，列方程即可得解． 【详解】
（1）分别将()π42A ，，()
5π4B ，转化为直角坐标为
()04A ，，()22B --，， 所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=． （2）曲线C 的方程为r ρ
=（0r >），其直角坐标方程为222x y r +=．
又直线A B 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切， 所以圆心到直线A B 的距离等于圆的半径r .
又圆心到直线A B
=r ．
【点睛】
本题主要考查了极坐标与直角坐标互化，还考查了直线与圆相切的几何关系，考查计算能力及点到直线距离公式，属于中档题． 25．（1）2
2
2x y +=；（2）见解析. 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；（2）证明直线过定点问
题，一般方法是以算代证：即证0OQ PF ⋅=u u u r u u u r
，先设 P （m ，n ），则需证
330+-=m tn ，即根据条件1OP PQ ⋅=u u u r u u u r
可得2231--+-=m m tn n ，而222m n +=，
代入即得330+-=m tn .
试题解析：解：（1）设P （x ，y ），M （00,x y ）,则N （0,0x ），
00NP (x ,),MN 0,x y y =-=u u u r u u u u r （）
由NP =u u u r u u u r
得0002
x y y ==，.
因为M （00,x y ）在C 上，所以22
x 122
y +=.
因此点P 的轨迹为2
2
2x y +=.
由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m ，n ），则
OQ 3t PF 1m n OQ PF 33m tn =-=---⋅=+-u u u r u u r u u u r u u r
，，，，， OP m n PQ 3m t n ==---u u u r u u u r
，，（，）
. 由OP PQ 1⋅=u u u r u u u r
得-3m-2m +tn-2n =1，又由（1）知222m n +=，故3+3m-tn=0.
所以OQ PF 0⋅=u u u r u u r ，即OQ PF ⊥u u u r u u r
.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于
OQ 的直线l 过C 的左焦点F.
点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
26．（1）2n
n a =，21n n b =-；（2）证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝2b n ①，n ≥2时，a 1+a 2+a 3+…+a n ﹣1＝2b n ﹣1②，①﹣②可得：a n ＝2（b n ﹣b n ﹣1）（n ≥2），{a n }公比为q ，求出a n ，然后求解b n ；（2）化简
221
1
log log n n n c a a +=
（n ∈N *），利用裂项消项法求解数列的和即可．
【详解】
（1）由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝2b n ①
n ≥2时，a 1+a 2+a 3+…+a n ﹣1＝2b n ﹣1②
①﹣②可得：a n ＝2（b n ﹣b n ﹣1）（n ≥2）， ∴a 3＝2（b 3﹣b 2）＝8
∵a 1＝2，a n ＞0，设{a n }公比为q ， ∴a 1q 2＝8，∴q ＝2 ∴a n ＝2×2n ﹣1＝2n
∴(
)1231
212222222
212
n n n n b +-=++++==--L ，
∴b n ＝2n
﹣1．
（2）证明：由已知：()2211111
1n n 1
n n n c log a log a n n +=
==-++．
∴1231111111
111223n n 11
n c c c c n L L ++++=-+-++-=-<++ 【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．数列求和的常见方法有：列项求和，错位相减求和，倒序相加求和.。