高中数学 3.3解析几何导学案 北师大版选修31

解析几何
超市里有各种各样的酒杯，如下图所示，从轴截面来看，有的是抛物线的一部分，有的是椭圆的一部分，还有的是等腰三角形的一部分．很显然它们的形状有着很大的差异，如果现在将一些大小不等的玻璃球放入这些酒杯中，那么哪些可以触及酒杯的底部？
类似的问题在生活中是会经常遇到的，解决的方法自然会想到利用解析几何知识，解析几何知识又是在怎样的情境中被发现的呢？它的发现，又具有怎样的意义呢？学完本节内容相信你就可以解决这些问题．
1．解析几何的创始人是____________和________．笛卡儿的《______》出版于1637年6月8日，其中《几何学》是方法论的附录，这一天就是解析几何的诞生日．2．笛卡儿把__________的概念作为自己科学的哲学基础，从而把运动带进了数学．在笛卡儿之后，运动进入了数学和其他科学，带有__________的性质．
3．笛卡儿的理论以两个思想为基础：一个是______；另一个是__________．即两个未知数表示的某个代数方程可以看成平面上的一条曲线，反之，一条曲线可以用曲线上任意点(x，y)坐标之间的方程关系来表示．
4．解析几何的意义可以简单地概括如下：
(1)数学的研究方向发生了一次重大转折：古代以几何为主导的数学转变为以____________为主导的数学．
(2)以常量为主导的数学转变为以________为主导的数学，为微积分的诞生奠定了基础．
(3)使__________融合为一体，实现了几何图形的数字化，是数字化时代的先声．
(4)______________，使人们摆脱了现实的束缚．它为人们认识更为广泛的新空间带来了可能，帮助人们从现实空间进入虚拟空间，从三维空间进入更高维的空间．
答案：1．笛卡儿费马方法论
2．物质运动辩证法
3．坐标思想方程与曲线的思想
4．(1)代数和分析(2)变量(3)代数和几何
(4)代数的几何化和几何的代数化
一、解析几何在平面几何中的应用
【例1】解决下列问题，体会解析几何的基本思想．某船航行前方的河道上有一圆拱桥，在正常水位时，拱圆最高点距水面为9米，拱圆内水面为18米，船只在水面以上部分高为6.5米，船顶部宽为4米，此时航行无阻．近日水位暴涨了2.7米，船只已经不能通过桥洞了，船员必须加重船载，降低船身，试问：船身必须降低多少，才能通过桥洞？
解：建立如图所示的坐标系，则A(9，－9)，B(2，y1)，设圆方程为x2＋(y－b)2＝r2，因为A(9，－9)，O(0,0)，在圆上，所以解得圆的方程为x2＋(y＋9)2＝81，B点纵坐标y1＝77－9，涨水前B离水面距离为77，涨水后B离水面距离为77－2.7＜6.5，船要通过，
高度需降低9.2－77≈0.4，所以船身必须降低0.4米，才能通过桥洞．
解析几何的重要思想是“坐标思想”和“方程与曲线的思想”，建立坐标系解决问题，使代数和几何融合为一体，实现了几何图形的数字化．
解决下列问题，体会解析几何的基本思想．如图所示，某农场在P 处有一堆肥，今要把这堆肥沿道路PA 或PB 送到大田ABCD 中去，已知PA=100 m ，PB=150 m ，∠APB=60°，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿PA 送肥较近，而另一侧的点沿PB 送肥较近？如能，请确定这条界线．
二、解析几何在立体几何中的应用 【例2】 利用欧氏几何法和坐标法两种方法解决下面的问题，体会解析几何的意义．如图，在四棱锥S -ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是AB ，SC 的中点．
(1)求证：EF ∥平面SAD ；
(2)设SD ＝2CD ，求二面角AEFD 的大小．
图1 图2
解法一：(1)证明：如图1，作FG∥DC 交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．
连接AG ，又FG 1
2
CD ，又CD AB ，
故FG AE ，所以四边形AEGF 为平行四边形． 所以EF∥AG.
又AG ⊂平面SAD ，EF ⊄平面SAD ， 所以EF∥平面SAD.
(2)不妨设DC ＝2，则SD ＝4，DG ＝2，△ADG 为等腰直角三角形． 取AG 中点H ，连接DH ，则DH⊥AG. 又AB⊥平面SAD ，所以AB⊥DH. 而AB∩AG＝A ，所以DH⊥平面AEF. 取EF 中点M ，连接MH ，则HM⊥EF. 连接DM ，则DM⊥EF.
故∠DMH 为二面角AEFD 的平面角，
tan∠DMH＝DH HM ＝2
1＝ 2.
所以二面角AEFD 的大小为arctan 2.
解法二：(1)证明：如图2，建立空间直角坐标系D xyz . 设A(a ,0,0)，S(0,0，b )，则B(a ，a ,0)，C(0，a ,0)，
E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，
F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，b 2，EF u u u r ＝⎝
⎛⎭⎪⎫－a ，0，b 2.
取SD 的中点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，b 2，则AG u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，0，b 2.
EF u u u r ＝AG u u u
r ，EF∥AG，AG ⊂平面SAD ，EF ⊄平面SAD ，
所以EF∥平面SAD.
(2)不妨设A(1,0,0)，则B(1,1,0)，C(0,1,0)，S(0,0,2)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，1，EF 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12， 所以MD u u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12
，－12，－12，EF u u u
r ＝(－1,0,1)．
所以MD EF ⋅u u u u r u u u r
＝0，
所以MD⊥EF.
又EA u u u r ＝⎝
⎛⎭⎪⎫
0，－12，0，所以EA EF ⋅u u u r u u u r ＝0.
所以EA⊥EF.
所以向量MD u u u u r 和EA u u u r
的夹角等于二面角AEFD 的平面角，即
cos 〈MD u u u u r ，EA u u u r 〉＝MD EA MD EA
⋅u u u u r u u u r
u u u u r u u u r ＝33.
所以二面角AEFD 的大小为arccos
33
.
利用坐标法解决下面的问题，体会解析几何的意义．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点．
(1)求证：AB 1⊥面A 1BD ；
(2)求二面角AA 1DB 的大小； (3)求点C 到平面A 1BD 的距离．
1．笛卡儿和费马创立了解析几何．
2．解析几何把运动带进了数学，它以两个思想为基础：“坐标思想”和“方程与曲线的思想”，对数学的进一步发展有重要意义．
答案：1．解：大田ABCD 中的点分成三类：设第一类沿PA 送肥较近，第二类沿PB 送肥较近，第三类沿PA 和PB 送肥一样远近，第三类构成第一类、第二类点的界线，即我们所要求的轨迹．以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，设M 为界线所在曲线上的一点，则满足|PA|＋|AM|＝|PB|＋|BM|，于是|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50(50＜|AB|)．由双曲线的定义可知M 点的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的一支，其方程可求得为
x 2625－y 2
3 750
＝1(0≤y ≤60，25≤x ≤35)，界线为双曲线在四边形ABCD 中的一段．
2．解：(1)证明：如图，取BC 中点O ，连接AO.
∵△ABC 为正三角形，∴AO⊥BC. ∵在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， 平面ABC⊥平面BCC 1B 1， ∴AO⊥平面BCC 1B 1.
取B 1C 1中点O 1，以O 为原点，OB uuu r ，1OO u u u u r ，OA u u u
r 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间
直角坐标系，
则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A 1(0,2，3)，A(0,0，3)，B 1(1,2,0)，
∴1AB u u u r
＝(1,2，3-)，
BD u u u r
＝(－2,1,0)，1BA u u u r ＝(－1,2，3)． ∵1AB BD ⋅u u u r u u u r
＝－2＋2＋0＝0， 11AB BA ⋅u u u r u u u r
＝－1＋4－3＝0，
∴AB 1⊥BD，AB 1⊥BA 1. ∴AB 1⊥平面A 1BD.
(2)设平面A 1AD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．
AD u u u r
＝(－1,1，3)，1AA u u u r ＝(0,2,0)．
∵n ⊥AD u u u r
，n ⊥1AA u u u r ，
∵10,0.n AD n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r ∴30,20.x y z y ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩ ∴0,3.
y x z =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 令z ＝1得n ＝(－3，0,1)为平面A 1AD 的一个法向量． 由(1)知AB 1⊥平面A 1BD ，
∴1AB u u u r
为平面A 1BD 的法向量．
cos 〈n ，1AB u u u r 〉＝11
n AB n AB ⋅u u u r
u u u r ＝
33
222--⨯＝6-. ∴二面角AA 1DB 的大小为a rccos
64
. (3)由(2)知，1AB u u u r
为平面A 1BD 的法向量， ∵BC uuu r
＝(－2,0,0)， 1AB u u u r
＝(1,2，－3)，
∴点C 到平面A 1BD 的距离
d ＝11
BC AB AB ⋅u u u r u u u r
u u u r ＝|－2|22＝22.。