河北省邯郸市2015届高三上学期摸底考试数学(理)试题含答案

邯郸市2015届高三年级摸底考试
理科数学
一．选择题
1。

已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，则
A.N M ⊆ B 。

N M = C.}3,2{=N M D.)4,1(=N M 2.复数+1i z i
=(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3。

某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n 等于 A 、660 B 、720 C 、780 D 、800
4。

设2
log 3a =,4
log 6b =，8
log 9c =，则下列关系中正确的是
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c b a >>
D ．c a b >> 5.设{}n
a 是公差为正数的等差数列，若1
2
315a a
a ++=,12380a a a =，则111213a a a ++=
A 、75
B 、90
C 、105
D 、120
6。

阅读程序框图，运行相应程序,则输出i 的值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
7。

如图所示，网格纸上小正方形的边长为1 cm ，粗实线为某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 A 。

2 cm 3 B 。

4 cm 3 C. 6 cm 3 D.8 cm 3 8.函数x x x f tan 2)(-=在)2
,2(ππ-上的图象大致为
A B C
D 9。

设y x z +=,其中y x ,满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 000
2，若z 的最大值为
6，则z 的最小值
为
A ．—5
B ．-4
C ．-3
D ．—2 10. 把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆
内任投一
点，，此点落在星形内的概率为
A ．14-π
B ．π2
C ．214-π
D ．2
1
11.已知,,A B C 点在球O 的球面上，90BAC ︒
∠=，2AB AC ==.球心O 到平面
ABC 的距离为
1,则球O 的表面积为 .12A π .16B π .36C π .20D π 12. 抛物线)0(2:2
>=p px y
C 的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若三角形
OFM
的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的
值为
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 二．填空题 13.
二项式5
21-x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭展开式中x 的系数为___________________．—10
14。

.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本，则不同的赠送方法共有10种.
15。

在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是AB 的中点，E 为线段AC 上一动点，则ED EB ⋅的取值范围为
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡3,1623 16．如果定义在R 上的函数()f x 对任意两个不等的实数1
2
,x x 都有
11221221()()()()
x f x x f x x f x x f x +>+,则称函数
()
f x 为“Z 函数”给出函数：
3-1y x =+①，3-2sin -2cos y x x x =②
ln ,00,0x x y x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩③ 224,0
,0
x x x y x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩④。

以上函数为“Z 函数”的序号为 三．解答题
17。

已知递增等比数列}{n
a 的前n 项和为n
S ,11
=a
,且3221S S =+。

（1）求数列{}n
a 的通项公式；
（2）若数列}{n
b 满足)(12*N n a n b
n n
∈+-=,且}{n b 的前n 项和n T ．
求证：2n
T
≥
18. （本小题满分12分)在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、
b 、
c ，且三角形的面积为B ac S cos 2
3
=。

(1)求角B 的大小 （2)若4c a a
c
+=,求
C
A tan 1
tan 1+的值. 19 ．（本小题满分12分）如图,在直三棱柱1
11C B A ABC -中,⊥AD 平面1
A BC ，其垂足D 落在直线1
A B 上．
（1）求证:BC ⊥B A 1
（2)
若=AD 2==BC AB ，P 为AC 的中点，求二面角
C B A P --1的平面角的余弦值
20。

某商场组织有奖竞猜活动，参与者需要先后回答两道选择题，问题A 有三个选项，问题B 有四个选项,但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A 可获奖金25元，正确回答问题B 可获奖金30元，活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答正确,则继续答题，否则该参与者猜奖活动终止，假设一个参与者在回答问题前,对这两个问题都很陌生,只能用蒙猜的办法答题。

（1)如果参与者先回答问题A ，求其获得奖金25元的概率；
（2）试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大。

B
A
C
D
P
1
B 1
A 1
C
21. 已知椭圆
C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线
构成等腰直角三角形，直线01=++y x 与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切. （1）求椭圆的方程。

(2)设P 为椭圆上一点，若过点)0,2(M 的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点S 和T ，且满足OP t OT OS =+（O 为坐标原点)，求实数t 的取值范围 22。

已知函数
()ax
e f x x
= （1）若()f x 在区间[)1+∞，单调递增，求实数a 的取值范围; (2）当2
1=a 时，求函数()f x 在区间)0](1,[>+m m m 上的最小值。

邯郸市2015届高三摸底考试理科数学答案 一、选择题
1—5CDBAC 6-10 BBDCA 11-12 AD 二、填空题
13。

—10 14。

10 15。

⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡3,1623 16.②④
三、解答题
17。

解:（1）设公比为q ，由题意：q>1， 11=a ,则2a q =,23a q =,∵1223+=s s ,
∴1)(221321
++=++a a a a a ,……………2分
则1)1(212
++=++q q q 解得： 2=q 或1-=q （舍去），
∴12n n
a
-= (4)
分
（Ⅱ）121212n n
n b
n a n -=-+=-+……………6分
()[]()
12......21112.....31-++++-+++=n n n T
8
分
又∵122-+=n n n T
在[)+∞,1 上是单调递增的
∴2
1=≥T T n
∴2≥n
T (10)
分
18. 解(1）在三角形ABC 中
B ac S sin 2
1
=
,由已知B ac S cos 2
3
=
可得
B ac B ac cos 2
3
sin 21=为三角形内角，
B 3tan =∴B 0﹤
B
﹤
π∴
3
B π
=
—-—--——----——5分
（2)4cos 2222=+=+=
+ac
B
ac b ac c a c a a c ac b
B 33
2
=∴=π 由正弦定理可得
C
A B sin sin 3sin 2=
4
1
sin sin 3
=
∴=
C A B π
C A B C A C A C A A C A C C C A A C A sin sin sin sin sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1tan 1=+=+=+=+32sin sin 23
==C
A
--——--—---12分
19。

（Ⅰ)证明：三棱柱
111C B A ABC -为直三棱柱，
∴⊥A A 1平面ABC
,又⊂BC 平面ABC ， ∴BC A A ⊥1
—AD ⊥平面
1A BC ，且⊂BC 平面1A BC ，
∴BC AD ⊥。

又
⊂1AA 平面AB A 1,⊂AD 平面AB A 1，A AD A A =⋂1,
∴BC ⊥平面1A AB ,
又⊂B A 1
平面BC A 1
，
∴ B A BC 1⊥———-—--—————--————-—----———----—---5
分 (Ⅱ）由(Ⅰ)知BC ⊥平面1
A A
B ，⊂AB 平面AB A 1
,从而AB BC ⊥ 如图,以B 为原点建立空间直角坐标系xyz B -
AD ⊥平面1A BC ，其垂足D
∴ B A AD 1⊥。

在Rt ABD ∠∆中，AD ，sin 2
AD ABD AB ∠==
060ABD ∠= 在直三棱柱1
1
1
C B A ABC - 中，
A 1在1
Rt ABA ∠∆中，
tan AA AB =⋅=0160
则B （0，0,0),)0,2,0(A ,C （2，0,0）,P (1，1，0）,1
A (0,2，23）,)0,1,1(=BP =1
BA （0,2，23）)0,0,2(=BC
设平面B PA 1的一个法向量),,(1
z y x n =
则 ⎪⎩⎪⎨⎧=•=•00111BA n BP n 即⎩
⎨⎧=+=+03220z y y x 可得)3,
3,3(1-=n
设平面B CA 1
的一个法向量),,(2
z y x n
=
则 ⎪⎩⎪⎨⎧=•=•00122BA n BC n 即⎩⎨⎧=+=0
32
20z y x
可得)3,3,0(2
-=n
77
2=
•=n n
∴二面角C B A P --1平面角的余弦值是
7
7
2 ………12分
（Ⅱ)或的法向量即为平面则平面BC A AD 1
1
A AD BC,⊥ 在Rt ABD ∠∆中，AD =
，
则BD=1 可得D()23,
21,0 )2
3,23,0(-=AD
7
7
2=
=
AD n ∴二面角C B A P --1平面角的余弦值是
772 ………12分
20。

解：随机猜对问题A 的概率1
13
P =，随机猜对问题B 的概率2
14
P =
. (1)设参与者先回答问题A,且获得奖金25元为事件M ,
则()1
2
131(1)344
P M P P =-=⨯=,即参与者先回答问题A,且获得奖金25元概率
为14
-—--—-—--————5分
(2）参与者回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：
①先回答问题A 再回答问题B ，参与者获奖金额ξ可取0,25,55， 则1
2(0)13
P P ξ==-=，12
1(25)(1)4
P P P ξ==-=,12
1(55)12
P PP
ξ===
-——--—-----—-8分
130
()12
E ξ=
②先回答问题B 再回答问题A ，参与者获奖金额η可取0,30，55 则2
3(0)14P P
η==-=
，211(30)(1)6P P P η==-=，121(55)12
P PP η=== 115
()12
E η=
因为
()()
E E ξη>，所以应该先答问题A,再答问题B 。

—-——-———-————12分
21。

解：（1）由题意：以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为222
)
(a y c x =+-，
∴圆心到直线01=++y x 的距离=
d a c =+2
1…………＊
∵椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等
腰直角三角形， b=c, c b a 22==代入*式得
b=c=1 ∴22==
b a
故所求椭圆方程为.12
22
=+y x
………4分
（Ⅱ）由题意知直线L 的斜率存在，设直线L 方程为)2(-=x k y ，设()0
,y x p 将直线方程代入椭圆方程得：()028821222
2
=-+-+k x k x
k …………6分
∴()()
081628214642224
>+-=-+-=∆k k k k
∴2
1
2
<
k
设()11,y x S ，()22,y x T 则2
22122
21212
8,218k
k x x k k x x +-=+=+………………8分
当k=0时，直线l 的方程为y=0,此时t=0，OP t OT OS =+成立,故，t=0符合题意。

当0≠t 时
得⎪⎩
⎪
⎨⎧+=
+=+-=-+=+=2
2
2102
21210218214)4(k k x x tx k k x x k y y ty
∴
,21812
2
0k
k
t x +•=202141k k t y +-•=……………10分
将上式代入椭圆方程得:1)
21(16)21(322
222
2224=+++k t k k t k 整理得：2
2
2
2116k
k t += 由2
1
2
<
k
知402<<t 所以t ∈（—2，2）……………12分
22. 解:（1)由题知：函数
()f x 在上为增函数，故2
(1)
()0ax ax e e ax x x -'=≥在[)1+∞，上
恒成立 又由20,0ax
e x >>，则10ax -≥，即1
a x
≥
在[)1+∞，上恒成立 又max
1()
1x
=,故1a ≥—--——-—------5
分
(2）当2
1=a 时，
2
()(0)x e f x x x =≠,2
2
(1)2()x x e f x x
-'= 当102
x ->时,即2x >时，()0f x '>
当102
x -<时，即0x <或02x <<时,()0f x '<
则()f x 的增区间是(2,)+∞，减区间是(,0)-∞，(0,2) 由于0m >，则11m +>-——----——————8分 当12m +≤时，即01m <≤时，()f x 在[],1m m +上单调递减 则1
2
min
()
(1)1
m e f x f m m +=+=
+ 当21m m <<+时，即12m <<时，()f x 在[],2m 上单调递减，在(]2,1m +单调递增。

则min
()
(2)2
e f x f ==
当2m ≥时，()f x 在[],1m m +上单调递增。

则2
min
()()m e f x f m m
==
综上可知：当01m <≤时，1
2
min
()(1)1
m e f x f m m +=+=
+ 当12m <<时，min
()(2)2
e f x f ==
当2m ≥时，2
min
()
()m
e f x f m m
==
-——-—-—-—-——-12分。