球与几何体的切接问题
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展开整理得R＝ 23r，所以外接球的体积为43πR3＝43π×383
r3＝392π3r3.故圆锥SD与其外接球的体积比为 3323ππrr33＝392.故选A. 93
题型二 几何体的内切球
例3 (1)半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面 都相切)的表面积为__6_π_R_2___，体积为__2_π_R_3___．
状元笔记
柱体的外接球问题，其解题关键在于确定球心在多面体中的 位置，找到球的半径或直径与多面体相关元素之间的关系，结合 原有多面体的特征求出球的半径，然后再利用球的表面积和体积 公式进行正确计算．常见的方法是将多面体还原到正方体或长方 体中再去求解．
思考题 1 (1)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱
(2)已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面 上，若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球 O 半径为( C )
3 17 A. 2
B．2 10
C.123
D．3 10
【解析】 由球心 O 作平面 ABC 的垂线，设垂足为 BC 的中点 M.
又 AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，
【解析】 本题考查几何体的外接球的表面积．因为四个
面都是直角三角形，且AB⊥平面BCD，所以CD⊥BC或
CD⊥BD，不妨设CD⊥BC，由鳖臑ABCD的体积为
2 3
，得
1 3
S△
BCD·AB＝
1 3
×
1 2
×1×BC×2＝
2 3
，则BC＝2，BD＝
BC2＋CD2
＝ 5.
将鳖臑ABCD补成直三棱柱如图，取BD的中点
∵球心 O 到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球 的半径 R，
∴OB＝R，OE＝6－R.在 Rt△BOE 中，OB2＝BE2＋OE2，即 R2＝12＋(6－R)2，解得 R＝4.∴该正三棱锥外接球的体积 V＝43π R3＝2536π.故选 D.
(2)(2021·山东威海模拟)在《九章算术》中，将四个面都是直 角三角形的四面体称之为鳖臑，在体积为23的鳖臑 ABCD 中，AB ⊥平面 BCD，且 AB＝2，CD＝1，则该鳖臑外接球的表面积为 ____9_π___．
BD，A′O⊂平面A′BD，A′O⊥BD，
∴A′O⊥平面BCD，∴A′O⊥OE.∵OE＝12CD＝12，
∴A′E＝
A′O2＋OE2＝
3 2.
又∵BD⊥CD，即三角形BCD为直角三角形，∴BE＝CE＝
DE＝ 23＝A′E，即E为四面体A′BCD的外接球球心，
∴该球的表面积S＝4π× 232＝3π.故选A.
状元笔记
锥体的外接球问题关键是确定球心位置 (1)将锥体还原或补形为正方体或长方体，进而确定球心． (2)锥体的外接球球心一定在过底面的外心与底面垂直的直 线上． (3)球心到各顶点的距离都相等． (4)球心一定在外接球的直径上．
(5)有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，求其外接球半径时， 一般将其补成直三棱柱．设下底面三角形的外接圆圆心为O1， 上底面三角形的外接圆圆心为O2，则O1O2的中点O即为此三棱锥 的外接球球心，则外接球半径R＝ h22＋r2 (其中h为三棱锥垂 直于底面的侧棱的长，r为底面三角形外接圆半径)．
所以球 O 的半径 R＝OA＝ AM2＋OM2＝ 522＋62＝123.
微专题 2：锥体的外接球
例 2 (1)(2021·河北名校联考)已知正三棱锥 S－ABC 的侧棱
长为 4 3，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的体积是( D )
A．16π
B.634π
C．64π
D.2536π
【解析】 本题考查正三棱锥外接球的体积的计算． 如图，过点 S 作 SE⊥平面 ABC 于点 E，连接 BE.记正三棱 锥外接球的球心为 O，可知点 O 在 SE 上，连接 OB. ∵在正三棱锥 S－ABC 中，底面边长为 6，侧棱长为 4 3， ∴BE＝23× 23×6＝2 3， ∴SE＝ SB2－BE2＝6.
(2)(2020·长春模拟)已知三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面是边长 为 6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面 积为 12π，则该三棱柱的体积为___3__3___．
【解析】 设外接球半径为 R，三棱柱上、下底面中心分别为 M，N，由题意，外接球球心为 MN 的中点，设为 O，则 OA＝R， 由 4πR2＝12π，得 R＝OA＝ 3，又易得 AN＝ 2，由勾股定理可 知 ON＝1，所以 MN＝2，即三棱柱的高 h＝2，所以该三棱柱的体 积为 43×( 6)2×2＝3 3.
(2)(2021·皖中入学摸底考试)将半径为3，圆心角为
2π 3
的扇
形围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则该圆锥的内切球的体积为
(A)
2π A. 3 【解析】
3π B. 3
4π C. 3
D．2π
设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr＝2π 3 ×3，∴r
＝1.∴h＝ 32－12＝2 2.设圆锥内切球的半径为R，则2 2R－R＝13，
A．3π C．4π
B. 23π D. 43π
【解析】 本题考查四面体外接球的表面积．
设BC的中点是E，连接DE，A′E，过点A′作A′O⊥BD于
点O，连接OE，如图．
∵A′B＝A′D＝1，BD＝ 2 ，由勾股定理得
BA′⊥A′D，
∴A′O＝
2 2.
∵平面A′BD⊥平面BCD，且平面A′BD∩平面BCD＝
(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径
r′＝
2 2 a(a
为正方体的棱长)．
3．正四面体的外接球与内切球
(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径
R＝
6 4 a(a
为正四
面体的棱长)；
(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径 r＝126a(a 为正四面 体的棱长)．
推导如下：设正四面体 S－ABC 的棱长为 a，其内切
思考题3 (1)已知以正方体所有面的中心为顶点的多
面体的各个顶点都在球O的球面上，且球O的表面积为20π，则
该正方体的棱长为( A )
A．2 5
B．5
C．2 6
D．6
【解析】 设球O的半径为R，有4πR2＝20π，可得R＝ 5 ， 由正方体的中心到多面体的各个顶点的距离都相等，得球O为该正 方体的内切球，所以正方体的棱长为2R＝2 5.故选A.
高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是( C )
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
【解析】 由 V＝S 底 h，得 S 底＝4，得正四棱柱底面边长为 2. 画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以球 的半径为 R＝12 22＋22＋42＝ 6.所以球的表面积为 S＝4πR2＝24π. 故选 C.
π，所以R＝2，所以OE＝OF＝2，OP＝4.在Rt△
OPF中，PF＝
∴R＝ 22，∴V球＝43πR3＝43π× 223＝ 23π.故选A.
(3)(2021·重庆七校联考)已知正三棱锥的高为6，内切球(与
四个面都相切)的表面积为16π，则其底面边长为( B )
A．8
B．12
C．6 3 D．4 3
【解析】 如图，由题意知，球心O在三棱锥的
高PE上，设内切球的半径为R，则S球＝4πR2＝16
侧面积与底面积的比为
πrl πr2
＝
l r
＝2，则l＝2r，圆锥的高h＝
l2－r2＝ 3r，则圆锥的体积为13πr2h＝ 33πr3. 设其外接球的球心为O，半径为R，截面图如图所
示，则OB＝OS＝R，OD＝h－R＝ 3r－R，BD＝r.
在直角三角形BOD中，由勾股定理得OB2＝OD2＋BD2，即 R2＝( 3r－R)2＋r2，
(3)(2021·衡水中学调研)圆锥SD(其中S为顶点，D为底面圆
心)的侧面积与底面积的比是2∶1，则圆锥SD与其外接球(即顶
点在球面上且底面圆周也在球面上)的体积比为( A )
A．9∶32
B．8∶27
C．9∶22
D．9∶28
【解析】 本题考查圆锥与球的体积公式的应用．
设圆锥底面圆的半径为r，圆锥母线长为l，则侧面积为πrl.
球与几何体的切接问题
专题要点
1．长方体的外接球
(1)球心：体对角线的交点；
(2)半径：R＝ a2＋2b2＋c2(a，b，c 为长方体的长、宽、高)． 2．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球
(1)外接球：球心是正方体的中心；半径
R＝
3 2 a(a
为正方体的棱长)；
(2)内切球：球心是正方体的中心；半径 r＝2a(a 为正方体的棱长)；
r＝
6 12 a.
专题讲解
题型一 几何体的外接球(微专题)
微专题 1：柱体的外接球
例 1 (1)(2020·天津)若棱长为 2 3的正方体的顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为( C )
A．12π
B．24π
C．36π
D．144π
【解析】 设外接球的半径为 R，易知 2R＝ 3×2 3＝6，所 以 R＝3，于是表面积 S＝4πR2＝36π，故选 C.
∵AB＝a, ∴正四面体的高h＝ 36a.又VA－BCD＝4VO－BCD，∴h＝
4R，∴R＝14h＝
6a 12 .
(3)如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的
内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为( C )
A. 66π
π B. 3
π C. 6
D. 33π
【解析】 平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆，如 图．
【解析】 外切圆柱的底面半径为R，高为2R， ∴S表＝S侧＋2S底＝2πR·2R＋2πR2＝6πR2， V圆柱＝πR2·2R＝2πR3.
6a (2)若正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为___1_2____．
【解析】 如图，易知正四面体A－BCD的中心O即为内切球 球心，内切球半径R即为O到正四面体各面的距离．
O1，AE的中点O2，连接O1O2，与AD交于点O，O即
为
O1O2的中点，则O1O2的中点O即为鳖臑ABCD的外接球的球
心．则外接球半径R＝OD＝ OO12＋O1D2 ＝ 外接球的表面积为4πR2＝9π.
12＋
52 2
＝
3 2
，
(3)(2021·湖南衡阳八中月考)如图，平面四边形ABCD中， AB＝AD＝CD＝1，BD＝ 2 ，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成 四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD.若四面体A′BCD 的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( A )
则该球的表面积为( A )
A．20π
B．15π
C．10π
D．2π
【解析】 设球心为O，△ABC的中心为O′，因为AB＝AC
＝BC＝2 3，所以AO′＝23×3＝2，因为球心到平面ABC的距离为 1，所以OO′＝1，所以AO＝ 22＋12 ＝ 5 ，故该球的表面积S＝4 π×(OA)2＝20π.故选A.
上，所以PO⊥底面ABCD，PO＝R，底面ABCD的面积为S＝2R2.
因为VP－ABCD＝
16 3
，所以VP－ABCD＝
13×2R2×R＝23R3＝
16 3
，解得R
＝2，所以球O的体积V＝43πR3＝43π×23＝332π.故选C.
(2)(2021·山西八校联考)已知一个球的表面上有A，B，C三
个点，且AB＝AC＝BC＝2 3 ，若球心到平面ABC的距离为1，
球的半径为 r，外接球的半径为 R，如图，取 AB 的中
点 D，连接 SD，CD，SE 为正四面体的高，在截面三
角形 SDC 内作一个与边 SD 和 DC 相切，且圆心在高 SE 上的圆．由
正四面体的对称性，可知其内切球和外接球的球心同为 O.
此时，OC＝OS＝R，OE＝r，SE＝ 36a，CE＝ 33a， 则有 R＋r＝SE＝ 36a，R2－r2＝CE2＝a32，解得 R＝ 46a，
因为正方体的棱长为1， 所以AC＝CD1＝AD1＝ 2， 所以内切圆的半径r＝ 66， 所以S＝πr2＝π×366＝π6 .
状元笔记
(1)正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球的球 心．
(2)求多面体内切球半径，往往可用“等体积法”． V多＝S表·R内切·13. (3)正四面体内切球半径是高的14，外接球半径是高的34. (4)并非所有多面体都有内切球(或外接球)．
思考题2 (1)(2021·浙江丽水月考)如图，正四棱锥P－
ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P
在球面上．若VP－ABCD＝136，则球O的体积是( C )
A．32π
B．16π
C.332π
D．8π
【解析】 设球O的半径为R.因为正四棱锥P－ABCD底面
的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且点P在球面
r3＝392π3r3.故圆锥SD与其外接球的体积比为 3323ππrr33＝392.故选A. 93
题型二 几何体的内切球
例3 (1)半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面 都相切)的表面积为__6_π_R_2___，体积为__2_π_R_3___．
状元笔记
柱体的外接球问题，其解题关键在于确定球心在多面体中的 位置，找到球的半径或直径与多面体相关元素之间的关系，结合 原有多面体的特征求出球的半径，然后再利用球的表面积和体积 公式进行正确计算．常见的方法是将多面体还原到正方体或长方 体中再去求解．
思考题 1 (1)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱
(2)已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面 上，若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球 O 半径为( C )
3 17 A. 2
B．2 10
C.123
D．3 10
【解析】 由球心 O 作平面 ABC 的垂线，设垂足为 BC 的中点 M.
又 AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，
【解析】 本题考查几何体的外接球的表面积．因为四个
面都是直角三角形，且AB⊥平面BCD，所以CD⊥BC或
CD⊥BD，不妨设CD⊥BC，由鳖臑ABCD的体积为
2 3
，得
1 3
S△
BCD·AB＝
1 3
×
1 2
×1×BC×2＝
2 3
，则BC＝2，BD＝
BC2＋CD2
＝ 5.
将鳖臑ABCD补成直三棱柱如图，取BD的中点
∵球心 O 到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球 的半径 R，
∴OB＝R，OE＝6－R.在 Rt△BOE 中，OB2＝BE2＋OE2，即 R2＝12＋(6－R)2，解得 R＝4.∴该正三棱锥外接球的体积 V＝43π R3＝2536π.故选 D.
(2)(2021·山东威海模拟)在《九章算术》中，将四个面都是直 角三角形的四面体称之为鳖臑，在体积为23的鳖臑 ABCD 中，AB ⊥平面 BCD，且 AB＝2，CD＝1，则该鳖臑外接球的表面积为 ____9_π___．
BD，A′O⊂平面A′BD，A′O⊥BD，
∴A′O⊥平面BCD，∴A′O⊥OE.∵OE＝12CD＝12，
∴A′E＝
A′O2＋OE2＝
3 2.
又∵BD⊥CD，即三角形BCD为直角三角形，∴BE＝CE＝
DE＝ 23＝A′E，即E为四面体A′BCD的外接球球心，
∴该球的表面积S＝4π× 232＝3π.故选A.
状元笔记
锥体的外接球问题关键是确定球心位置 (1)将锥体还原或补形为正方体或长方体，进而确定球心． (2)锥体的外接球球心一定在过底面的外心与底面垂直的直 线上． (3)球心到各顶点的距离都相等． (4)球心一定在外接球的直径上．
(5)有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，求其外接球半径时， 一般将其补成直三棱柱．设下底面三角形的外接圆圆心为O1， 上底面三角形的外接圆圆心为O2，则O1O2的中点O即为此三棱锥 的外接球球心，则外接球半径R＝ h22＋r2 (其中h为三棱锥垂 直于底面的侧棱的长，r为底面三角形外接圆半径)．
所以球 O 的半径 R＝OA＝ AM2＋OM2＝ 522＋62＝123.
微专题 2：锥体的外接球
例 2 (1)(2021·河北名校联考)已知正三棱锥 S－ABC 的侧棱
长为 4 3，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的体积是( D )
A．16π
B.634π
C．64π
D.2536π
【解析】 本题考查正三棱锥外接球的体积的计算． 如图，过点 S 作 SE⊥平面 ABC 于点 E，连接 BE.记正三棱 锥外接球的球心为 O，可知点 O 在 SE 上，连接 OB. ∵在正三棱锥 S－ABC 中，底面边长为 6，侧棱长为 4 3， ∴BE＝23× 23×6＝2 3， ∴SE＝ SB2－BE2＝6.
(2)(2020·长春模拟)已知三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面是边长 为 6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面 积为 12π，则该三棱柱的体积为___3__3___．
【解析】 设外接球半径为 R，三棱柱上、下底面中心分别为 M，N，由题意，外接球球心为 MN 的中点，设为 O，则 OA＝R， 由 4πR2＝12π，得 R＝OA＝ 3，又易得 AN＝ 2，由勾股定理可 知 ON＝1，所以 MN＝2，即三棱柱的高 h＝2，所以该三棱柱的体 积为 43×( 6)2×2＝3 3.
(2)(2021·皖中入学摸底考试)将半径为3，圆心角为
2π 3
的扇
形围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则该圆锥的内切球的体积为
(A)
2π A. 3 【解析】
3π B. 3
4π C. 3
D．2π
设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr＝2π 3 ×3，∴r
＝1.∴h＝ 32－12＝2 2.设圆锥内切球的半径为R，则2 2R－R＝13，
A．3π C．4π
B. 23π D. 43π
【解析】 本题考查四面体外接球的表面积．
设BC的中点是E，连接DE，A′E，过点A′作A′O⊥BD于
点O，连接OE，如图．
∵A′B＝A′D＝1，BD＝ 2 ，由勾股定理得
BA′⊥A′D，
∴A′O＝
2 2.
∵平面A′BD⊥平面BCD，且平面A′BD∩平面BCD＝
(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径
r′＝
2 2 a(a
为正方体的棱长)．
3．正四面体的外接球与内切球
(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径
R＝
6 4 a(a
为正四
面体的棱长)；
(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径 r＝126a(a 为正四面 体的棱长)．
推导如下：设正四面体 S－ABC 的棱长为 a，其内切
思考题3 (1)已知以正方体所有面的中心为顶点的多
面体的各个顶点都在球O的球面上，且球O的表面积为20π，则
该正方体的棱长为( A )
A．2 5
B．5
C．2 6
D．6
【解析】 设球O的半径为R，有4πR2＝20π，可得R＝ 5 ， 由正方体的中心到多面体的各个顶点的距离都相等，得球O为该正 方体的内切球，所以正方体的棱长为2R＝2 5.故选A.
高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是( C )
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
【解析】 由 V＝S 底 h，得 S 底＝4，得正四棱柱底面边长为 2. 画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以球 的半径为 R＝12 22＋22＋42＝ 6.所以球的表面积为 S＝4πR2＝24π. 故选 C.
π，所以R＝2，所以OE＝OF＝2，OP＝4.在Rt△
OPF中，PF＝
∴R＝ 22，∴V球＝43πR3＝43π× 223＝ 23π.故选A.
(3)(2021·重庆七校联考)已知正三棱锥的高为6，内切球(与
四个面都相切)的表面积为16π，则其底面边长为( B )
A．8
B．12
C．6 3 D．4 3
【解析】 如图，由题意知，球心O在三棱锥的
高PE上，设内切球的半径为R，则S球＝4πR2＝16
侧面积与底面积的比为
πrl πr2
＝
l r
＝2，则l＝2r，圆锥的高h＝
l2－r2＝ 3r，则圆锥的体积为13πr2h＝ 33πr3. 设其外接球的球心为O，半径为R，截面图如图所
示，则OB＝OS＝R，OD＝h－R＝ 3r－R，BD＝r.
在直角三角形BOD中，由勾股定理得OB2＝OD2＋BD2，即 R2＝( 3r－R)2＋r2，
(3)(2021·衡水中学调研)圆锥SD(其中S为顶点，D为底面圆
心)的侧面积与底面积的比是2∶1，则圆锥SD与其外接球(即顶
点在球面上且底面圆周也在球面上)的体积比为( A )
A．9∶32
B．8∶27
C．9∶22
D．9∶28
【解析】 本题考查圆锥与球的体积公式的应用．
设圆锥底面圆的半径为r，圆锥母线长为l，则侧面积为πrl.
球与几何体的切接问题
专题要点
1．长方体的外接球
(1)球心：体对角线的交点；
(2)半径：R＝ a2＋2b2＋c2(a，b，c 为长方体的长、宽、高)． 2．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球
(1)外接球：球心是正方体的中心；半径
R＝
3 2 a(a
为正方体的棱长)；
(2)内切球：球心是正方体的中心；半径 r＝2a(a 为正方体的棱长)；
r＝
6 12 a.
专题讲解
题型一 几何体的外接球(微专题)
微专题 1：柱体的外接球
例 1 (1)(2020·天津)若棱长为 2 3的正方体的顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为( C )
A．12π
B．24π
C．36π
D．144π
【解析】 设外接球的半径为 R，易知 2R＝ 3×2 3＝6，所 以 R＝3，于是表面积 S＝4πR2＝36π，故选 C.
∵AB＝a, ∴正四面体的高h＝ 36a.又VA－BCD＝4VO－BCD，∴h＝
4R，∴R＝14h＝
6a 12 .
(3)如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的
内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为( C )
A. 66π
π B. 3
π C. 6
D. 33π
【解析】 平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆，如 图．
【解析】 外切圆柱的底面半径为R，高为2R， ∴S表＝S侧＋2S底＝2πR·2R＋2πR2＝6πR2， V圆柱＝πR2·2R＝2πR3.
6a (2)若正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为___1_2____．
【解析】 如图，易知正四面体A－BCD的中心O即为内切球 球心，内切球半径R即为O到正四面体各面的距离．
O1，AE的中点O2，连接O1O2，与AD交于点O，O即
为
O1O2的中点，则O1O2的中点O即为鳖臑ABCD的外接球的球
心．则外接球半径R＝OD＝ OO12＋O1D2 ＝ 外接球的表面积为4πR2＝9π.
12＋
52 2
＝
3 2
，
(3)(2021·湖南衡阳八中月考)如图，平面四边形ABCD中， AB＝AD＝CD＝1，BD＝ 2 ，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成 四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD.若四面体A′BCD 的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( A )
则该球的表面积为( A )
A．20π
B．15π
C．10π
D．2π
【解析】 设球心为O，△ABC的中心为O′，因为AB＝AC
＝BC＝2 3，所以AO′＝23×3＝2，因为球心到平面ABC的距离为 1，所以OO′＝1，所以AO＝ 22＋12 ＝ 5 ，故该球的表面积S＝4 π×(OA)2＝20π.故选A.
上，所以PO⊥底面ABCD，PO＝R，底面ABCD的面积为S＝2R2.
因为VP－ABCD＝
16 3
，所以VP－ABCD＝
13×2R2×R＝23R3＝
16 3
，解得R
＝2，所以球O的体积V＝43πR3＝43π×23＝332π.故选C.
(2)(2021·山西八校联考)已知一个球的表面上有A，B，C三
个点，且AB＝AC＝BC＝2 3 ，若球心到平面ABC的距离为1，
球的半径为 r，外接球的半径为 R，如图，取 AB 的中
点 D，连接 SD，CD，SE 为正四面体的高，在截面三
角形 SDC 内作一个与边 SD 和 DC 相切，且圆心在高 SE 上的圆．由
正四面体的对称性，可知其内切球和外接球的球心同为 O.
此时，OC＝OS＝R，OE＝r，SE＝ 36a，CE＝ 33a， 则有 R＋r＝SE＝ 36a，R2－r2＝CE2＝a32，解得 R＝ 46a，
因为正方体的棱长为1， 所以AC＝CD1＝AD1＝ 2， 所以内切圆的半径r＝ 66， 所以S＝πr2＝π×366＝π6 .
状元笔记
(1)正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球的球 心．
(2)求多面体内切球半径，往往可用“等体积法”． V多＝S表·R内切·13. (3)正四面体内切球半径是高的14，外接球半径是高的34. (4)并非所有多面体都有内切球(或外接球)．
思考题2 (1)(2021·浙江丽水月考)如图，正四棱锥P－
ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P
在球面上．若VP－ABCD＝136，则球O的体积是( C )
A．32π
B．16π
C.332π
D．8π
【解析】 设球O的半径为R.因为正四棱锥P－ABCD底面
的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且点P在球面