关于含有WalIiS公式的双边不等式及其应用隆建军

关于含有WalIiS公式的双边不等式及其应用隆建军
隆建军
【摘要】得到了合有Wallis公式的一个简洁而更为精细的双边不等式，作为应用有效地解决了一些幂级数的收敛性问题．%Aconciseand sharpertwo-sided inequality involvingwallis＇s formula is obtained, as a applicating, solvedtheproblemofconvergence about some serieseffectively.
【期刊名称】《四川职业技术学院学报》
【年(卷),期】2012(022)001
【总页数】3页(P157-159)
【关键词】不等式;WaUis公式;积分不等式;级数;收敛性
【作者】隆建军
【作者单位】攀枝花市大河中学,四川攀枝花617061
【正文语种】中文
【中图分类】O173.1
关于Wal l is乘积公式：的研究，一直以来倍受数学家们的关注，1965年D. K.Kazarnof f[2]给出了如下形式的Wal l is公式的不等式链：
定理1.1
2004年，赵德钧[3]得到：定理1.2
2006年，赵岳清，吴庆标[4]得到：定理1.3
2008年，应玮婷利[5]用数列的单调收敛性得到一个含Wal l is公式的更精细的双
边不等式：
定理1.4
本文得到了一个较现有文献更为精细的双边不等式，作为应用有效地解决了一些幂级数的收敛性问题.
引理2.1当t＞1时，有
证明：利用分部积分并结合放缩法得
(由2.2的证明易得)
由（2.2）和（2.3）知式（2.1）成立.
定理3.1当时n≥1时，有
证明：作辅助函数
在（3.2）式两边取自然对数，有
又由Wal l is乘积公式有
现在我们来求无穷级数
的收敛性.由于
所以由Cauchy判别法知无穷级数绝对收敛，在(3.3)式中含参数α的函数f(n,α)，当n→∞时，很显然有f(∞,α)=0 （3.4）对函数f(x,α)求关于x的导数，有
化简得
令，很显然g(y)绝对
收敛.且g(0)=0，从而有
把（3.6）式代入（3.5）式有
当α=时，利用(2.1)的左半部分有
又由8x2-(2x2+x/4-3/128)＞0
所以fx(x,)＜0，结合（3.4）式知当x≥1时，恒有f(x,)＞0，从而有
即
即定理的左边得证.
当α=时，利用(2.1)的右半部分有
又由于＞0（x≥1），所以
fx(x,)＞0
结合（3.4）式知当x≥1时，恒有fx(x,)＞0，从而有
即
即定理的右边成立.
由（3.7）式和（3.8）式知定理1成立. 证毕
定理4.1 级数，当p＞2时收敛，当p≤2时发散.
证明：由广义调和级数，当p＞1时收敛，
当p≤1时发散.
令
所以有级数
，当＞1即P＞2时收敛，当≤1即P≤2时发散.
同样有级数Cn，当＞1即P＞2时收敛，当≤1即P≤2时发散.
故由定理1和级数的迫敛性知级数，当P＞2时收敛，当P≤2时发散.
下面我们再来讨论两道幂级数展式的收敛性，例如：
【相关文献】
易知，它们的收敛半径为1，则由定理4.1知在端点x=1处（1）和（2）均收敛，在x=-1处（1）收敛，（2）发散.
[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].第三版.北京：高等教育出版社，2001:227.
[2]Mit rinovic DS.V asic PM.分析不等式[M].赵汉宾,译.南宁：广西人民出版社，1986.
[3]赵德钧．关于含有WaUis公式的双边不等式[J]．数学的实践与认识，2004，34(7)：166—188．
[4]赵岳清，吴庆标．Wal lis不等式的一个推广[J]．浙江大学学报(理学版)，2006，33(4)：372—
375．
[5]应玮婷.含Wal l is公式的双边不等式的一个新证明[J].台州学院学报，2008,30(3):1-3.。