陕西省长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学五校高三数学下学期第二次联合模拟考试试题 文(

陕西省长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学五校2014届高三数学下学期第二次联合模拟考试试题 文（含解析）北师
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第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项
是符合题目要求的.
1.命题:p x R ∈且满足sin 21x =.命题:q x R ∈且满足tan 1x =.则p 是q 的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.抛物线2
2x y =的准线方程为（ ） A ．4
1-=y B ．8
1-
=y C ．2
1=
x D ．4
1-
=x
3.直线b a ,异面，a ∥平面α，则对于下列论断正确的是（ ）
①一定存在平面α使α⊥b ；②一定存在平面α使b ∥α；③一定存在平面α使α⊆b ；④一定存在无数个平面α与b 交于一定点.
A. ①④
B. ②③
C. ①②③
D. ②③④
【答案】D 【解析】
试题分析：①一定存在平面α使α⊥b 是错误的，因为当直线b a ,不垂直时，就不存在平面α使α⊥b ；②一定存在平面α使b ∥α是正确的，因为与异面直线b a ,公垂线垂直的平面就满足；③一定存在平面α使α⊆b ；是正确的，因为与异面直线b a ,公垂线垂直的平面且过直线b 就满足；④一定存在无数个平面α与b 交于一定点，是正确的，过一点的平面与直线a 平行的平面有无数个． 考点：线面平行的判定．
4.过(2,0)P 的直线l 被圆2
2
(2)(3)9x y -+-=截得的线段长为2时，直线l 的斜率为（ ）
A. 24±
B. 22±
C.1±
D. 3
±
5.已知,x y 满足不等式420,
280,2,
x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩
设y
z x =，则z 的最大值与最小值的差为（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1 【答案】A 【解析】
试题分析：作出不等式组420,280,2,
x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩
所表示的区域，，由图可知，y
z x =在()2,4点取
得最小值
422=，在()1,6点取得最大值6
61
=，故z 的最大值与最小值的差为624-=．
10
8
6
42
2
4
6
8
10
5
10
15
20
4x-y+2=0
2x+y-8=0
x=2
B
考点：线性规划．
6.函数)1ln(+=x y 与x
y 1
=
的图像交点的横坐标所在区间为（ ） A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
7.e a ,4=为单位向量，当e a ,的夹角为
3
2π
时，a 在e 上的投影为（ ） A.2 B. 2- C. 32 D.32- 【答案】Ｂ 【解析】
试题分析：，在上的投影为
2cos ,41cos 23a e a e a a e a a e e
π⋅⋅〈〉===⨯⨯=-r r r r
r r r r r r r ． 考点：向量的投影，向量的运算．
8.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）
分数 5 4 3 2 1 人数
20
10
30
30
10
A.3 B ． 3 C ．
210
5
D ．
85
9.在区间[]0,10内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[]0,10内的概率是（ ） A ．110 B ．1010
C ． 40π
D ．4π
10.函数)0(1
2log )(2
>+=x x x x g ，关于方程032)()(2
=+++m x g m x g 有三个不同实数解，则实数m 的取值范围为（ ）
A. ),724()724,(+∞+⋃--∞
B. )724,724(+-
C. )3
2
,43(--
D. 34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦
【答案】D 【解析】
试题分析：函数)0(1
2log )(2
>+=x x x
x g ，根据()g x 的图象，设()g x t =，∵关于x x
的方程032)()
(2
=+++m x g m x g 有有三个不同的实数解，即为2230t mt m +++=有两个根，且一个在
()
0,1第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.某校高三第一次模考中，对总分450分（含450分）以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若650～700分数段的人数为90，则500～550分数段的人数为_________人.
700
650600**********.001
0.0020.0030.0050.009
分数
频率组距
【答案】810 【解析】
试题分析：由频率分布直方图可知，500～550分数段和650～700分数段的频率分别为0.45和0.05，
又由于130～140分数段的人数为90，则总人数为
90
0.05
人，
所以90～100分数段的人数为
90
0.458100.05
⨯=人． 考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．
12.已知直线1y kx =+与曲线3
y x ax b =++切于点(1,3)，则b 的值为__________.
14.已知ABC ∆面积S 和三边c b a ,,满足：8,)(2
2=+--=c b c b a S ，则ABC ∆面积S 的最大值为_______________ .
15.本小题有(Ⅰ)、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个选答题，请考生任选一题做答.如果多做，则按所做的前一题计分.
(Ⅰ)选修4-1：几何证明选讲
如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 为切点.PC 是⊙O 的一条割线，交⊙O 于C B ,两点，点Q 是弦BC 的中点.若圆心O 在APB ∠内部，则PAQ OPQ ∠+∠的度数为___.
O
Q
C
B
A
P
（Ⅱ）选修4-4：坐标系与参数方程
参数方程
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
-
=
+
=
-
-
)
(
2
1
)
(
2
1
t
t
t
t
e
e
y
e
e
x
中当t为参数时，化为普通方程为_______________.
（Ⅲ）选修4-5：不等式选讲
不等式2
4
8>
-
-
-x
x的解集为__________________.
【答案】{}5<x x．
【解析】
试题分析：
()
()
()
4,4
8
4212,48
4,8
x
x x x x
x
≤
⎧
⎪
---=-+<≤
⎨
⎪->
⎩
，由2
4
8>
-
-
-x
x，解得5
x<．考点：绝对值不等式的解法．
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.正四面体ABCD边长为2.F
E,分别为BD
AC,中点.
(Ⅰ)求证：⊥
AC平面EFD；
（Ⅱ）求
BCD
A
FCD
E
V
V
-
-的值.
F
E
D
C
B
A
17.向量),
6
cos
,
2
3
(
),
2
1
,
6
(sin x
k
b
x
k
a
π
π
=
=0
>
k.函数b
a
x
f⋅
=
)
(.
(Ⅰ)若12
=
k，求函数)
(x
f的单调减区间；
（Ⅱ）将函数)
(x
f的图像向左平移
k
2
个单位得到函数)
(x
g，如果函数)
(x
g在
]2014,0(∈x 上至少存在2014个最值点，求k 的最小值.
18.设数列{}n a 的前n 项的和n S 与n a 的关系是*,2
1
1N n a S n n n ∈-+-=. (Ⅰ) 求321,,a a a 并归纳出数列{}n a 的通项（不需证明）； （Ⅱ）求数列{}n S 的前n 项和n T . 【答案】(Ⅰ) 1
2+=n n n a ；(2)1
2
4
2+++
-=n n n n T ． 【解析】
试题分析：(Ⅰ)由*
,2
11N n a S n n n ∈-+-=，分别令1,2,3n =，即可求出321,,a a a ，根据321,,a a a 的式
19.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 5 女生 10 合计
50
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为35
． （Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；
（Ⅱ）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
（Ⅲ）已知喜爱打篮球的10位女生中，321,,A A A 还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现在从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的8位女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率． 下面的临界值表供参考：
2
()p K k ≥ 0.15
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k
2.072 2.706
3.841
5.024
6.635
7.879 10.828
（参考公式：d c b a n d b c a d c b a bc ad n K +++=++++-=
,)
)()()(()(2
2
） 【答案】（1） 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生
20
5
25
女生 10 15 25 合计
30
20
50
(Ⅱ) 有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关；(Ⅲ) 1B 和1C 不全被选中的概率6
． 【解析】
试题分析：(Ⅰ)根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打羽毛球的学生的概率，做出喜爱打羽毛球的人数，进而做出男生的人数，填好表格．(Ⅱ)根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比较，看出有多大的把握说明打羽毛球和性别有关系．(Ⅲ)从6位女生中选出喜欢打篮球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各1名，列举出其一切可能的结果组成的基本事件，而用M 表示“B 1，C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件
M 表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，通过列举得到对立事件M 的事件数，求出概率，最
后利用对立事件概率求解即可．
基本事件的总数为18,用M 表示“11B C ，不全被选中”这一事件，则其对立事件M 表示“11B C ，全被选中”这一事件，由于M 由
111211311()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，, 3个基本事件组成，所以6
1
183)(==
M P ， 由对立事件的概率公式得15
()1()166
P M P M =-=-=. 考点：独立性检验的应用；等可能事件的概率．
20.椭圆1C 以双曲线1
164:2
22=-y x C 的实轴为短轴、虚轴为长轴，且与抛物线
x y C 12:23=交于B A ,两点.
(Ⅰ) 求椭圆1C 的方程及线段AB 的长；
（Ⅱ）在1C 与3C 图像的公共区域内，是否存在一点),(00y x P ，使得1C 的弦EF 与3C 的弦
MN 相互垂直平分于点P ？若存在，求点P 坐标，若不存在，说明理由.
（2）假设存在，由题意将F E ,坐标带入1C 做差得0
416y x k EF -
=，将N M ,坐标带入3C 得0
6y k MN =
，002
01224,1x x y k k MN EF >=∴-=⋅Θ，故满足条件的P 点在抛物线3C 外，所以不存在这样的点P .
考点：椭圆的方程，直线与二次曲线位置关系． 21.函数x x f sin )(=.
(Ⅰ) 令)(),()(),()(*
'1'1N n x f x f x f x f n n ∈==+，求)(2014x f 的解析式；
（Ⅱ）若x ax x f cos 1)(+≥+在[]π,0上恒成立，求实数a 的取值范围.
设1cos sin sin cos )(-+-+=x x x x x x x h ，
)sin (cos )('x x x x h -=，则)4,0(π∈x 时0)('>x h ，)(x h 增；])(,,4
(x h x ππ
∈减.
而0)(,0)4
(,0)0(<>=ππh h h ，所以)(x h 在]ππ
,4
(
上存在唯一零点，设为0x ，则
]0)(,0)(,,(;0)(,0)(),,0(00<<∈>>∈x g x h x x x g x h x x π,所以)(x g 在0x 处取得最大
值，在π=x 处取得最小值，π
π2
)(=≤∴g a .
综上：π
2
≤
∴a .
方法二：设x ax x x g cos 1sin )(--+=，a x x a x x g -+
=+-=)4
sin(2sin cos )('
π
.
[]∴∈,,0πx Θ[]
2,1)4
sin(2-∈+
π
x .
当1-≤a 时，0)('
≥x g 在[]π,0上恒成立，0)0()()(min ==≥∴g x g x g 成立，故1-≤a ；
当2≥
a 时，0)('
≤x g 在[]π,0上恒成立，02)()(min ≥-==a g x g ππ得π
2
≤
a ，无解.
当21<
<-a 时，则存在]π,0(0∈x 使得),0(0x x ∈时)(x g 增，]π,(0x x ∈时)(x g 减，
故{})(),0()(min πg g x g =，⎩⎨⎧≥≥∴0
)(0)0(πg g ，解得π2
≤a ，故π21≤<-a .
综上：π
2
≤
∴a .
考点：函数与导数,函数与不等式综合问题.。