最优单次重合跳频序列集设计

最优单次重合跳频序列集设计
胡梦婷;牛宪华;韩璐
【摘要】单次重合跳频序列可以最大限度地提高频率的使用率,降低频率相互之间的碰撞,被广泛用于多址通信中.文章基于中国剩余定理,构造了3类关于周期汉明相关理论界最优的单次重合跳频序列集,并给出了单次重合跳频序列集汉明相关的性质.
【期刊名称】《西华大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2019(038)003
【总页数】6页(P49-54)
【关键词】单次重合;跳频序列集;最大汉明相关;中国剩余定理
【作者】胡梦婷;牛宪华;韩璐
【作者单位】西华大学计算机与软件工程学院,四川成都610039;中科(广东)炼化有限公司, 广东湛江524076;西华大学计算机与软件工程学院,四川成都610039;电子科技大学通信抗干扰技术国家级重点实验室,四川成都611731;西华大学计算机与软件工程学院,四川成都610039
【正文语种】中文
【中图分类】TN914.41
跳频(frequency hopping，FH)码分多址(code division multiple access，CDMA)扩频系统有抗干扰、抗截获、安全可靠的特性，被广泛用于雷达、蓝牙、
移动通信、军事无线电通信等领域[1-3]。

在多址扩频通信系统中，众多用户可能
工作在同一频段，如果在某一跳频时隙内多个用户的载频信号跳到相同的频隙上，造成碰撞，将引起用户间的多址干扰，可能使接收机的解调输出产生误码。

干扰的大小与跳频序列(frequency hopping sequence，FHS)的汉明相关性能有直接关系。

一般来说，汉明相关性越低，干扰次数越少。

为区别通信中用户彼此的信号，防止相互干扰，采用的FHS的汉明相关值应尽可能小。

FHS的汉明相关特性在
FH-CDMA扩频系统中将起到非常重要的作用[1-2]。

FHS汉明相关的研究已有丰硕成果。

1974年，A. Lempel 等[4]首先推导出对于
单条FHS的理论界。

2004年，Peng等[5]推导出对于FHS集的周期汉明自互相
关函数的理论下界。

基于不同数学工具，研究者构造出很多满足这些理论界的FHS或FHS集[6-9]。

另一方面，单次重合(one-coincidence，OC)FHS集自相关保持为0，互相关为1，可以最大限度地提高频率的使用率，降低频率的碰撞，因此被广泛用于多址通信中。

20世纪80年代，Shaar等[10]首先为FH-CDMA引入了OC-FHS。

2006年，Cao等[11]提出了OC-FHS集，并表明存在一些没有任何相应构造的OC-FHS集。

2008年，Peng等[12]在基于素数有限域上，利用剩余类作为特殊的数学结构，
给出素数长度的最优 FHS集的构造。

2015年，Wang 等[13]利用笛卡尔积提出了关于OC-FHS集的构造。

另外，利用中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem，CRT)可将多维向量形式的FHS集转化为经典FHS集[12-16]。

2014年，Chung等[14]利用中国剩余定理，给出了常规跳频序列集的扩展构造。

本文
将利用中国剩余定理，给出OC-FHS集的扩展构造，构造了3类新的满足Peng-Fan界最优的OC-FHS集。

1 预备知识
设频隙集F={f0, f1,…,fλ}大小为λ，集合S是在频隙集F上由M个序列长度为N
的跳频序列组成。

对于跳频序列集S中任意2条跳频序列x={x0,x1,…,xN-1}和
y={y0,y1,…,yN-1}，在相对时延τ下，跳频序列周期汉明相关函数的定义为
(τ=0,1,2,…,N-1)
(1)
其中，i+τ是mod N运算，且当x=y时，式(1)为周期汉明自相关函数，当x≠y 时，式(1)为周期汉明互相关函数。

对于跳频序列集S，其最大周期汉明自相关Ha(S)，最大周期汉明互相关Hc(S)，最大周期汉明相关Hm(S)分别定义为：
Ha(S)=max{H(x,x;τ)|x∈S,
τ=0, 1,…,N-1}；
Hc(S)=max{H(x,y;τ)|x,y∈S,
x≠y, τ=0, 1,…,N-1}；
Hm(S)=max{Ha(S),Hc(S)}。

令Ha=Ha(S)，Hc=Hc(S)，Hm=Hm(S)。

2004年，Peng等[5]建立了跳频序列集最大周期汉明相关理论界。

引理1(Peng-Fan界) 在大小为λ的频隙集F上，对于序列长度为N、序列数目为M的跳频序列集S，有
(2)
如果跳频序列集S的参数能够满足不等式(2)，使得等号成立，则跳频序列集S是最优跳频序列集，并且是关于最大周期汉明相关最优。

2010年，Niu等[17]建立了跳频序列集的周期部分汉明相关函数的理论界。

引理2(Niu-Peng-Liu 界) 在大小为λ的频隙集F上，对于序列长度为N、序列个
数为M、相关窗长度为L(L≤N)、起点为j的跳频序列集，有
(3)
当L=N时，引理2表示为跳频序列周期汉明相关理论界。

如果跳频序列集S的参数能够满足不等式(3)，使得等号成立，则跳频序列集S是满足最大周期部分汉明
相关的最优跳频序列集。

本文将使用以下符号。

[x]v：表示对于整数x和正整数v，x模v的最小非负剩余。

「x⎤：表示大于或等于x的最小整数。

⎤x」：表示小于或等于x的最大整数。

Zq：表示对于正整数q的模q的整数环。

2 跳频序列集的构造
令q是一个奇素数，t是一个小于q的正整数，且gcd(q-1，t)=1。

已知t阶剩余类FHS集S(q，t)在Zq上的定义为
其中
引理3[12] FHS集S(q，t)具有以下特性。

1)对于FHS集S(q，t)中的任意1条FHS都有Ha=0。

2)对于FHS集S(q，t)中的任意2条FHS都有Hc=0。

3)对于FHS集S(q，t)，序列长度N与频隙集大小λ相同，即N=λ=q。

另外，FHS集S(q，t)的每个频隙点都出现q-1次。

4) FHS集S(q，t)中的FHS的每个元素都不相同，即S(q，t)是单次重合FHS集。

5) FHS集S(q，t)中的任意1条FHS都满足Peng-Fan界最优，且FHS集S(q，t)
是满足Peng-Fan界最优的OC-FHS集。

基于最优OC-FHS集，可以构造具有新参数的OC-FHS集。

由CRT可知，当正整数u与v满足gcd(u,v)=1时，存在任意正整数k(0≤k≤uv)都能满足k=(ku,kv)，其中ku=〈k〉u，kv=〈k〉v。

定理1 对于OC-FHS集，在任意相关窗长度L(1≤L≤N)下都满足周期部分汉明相
关最优。

证明由引理2和引理3(3)可知，
⎤=
⎤=1
又由引理3(2)可得证。

证毕。

通过CRT可以将OC-FHS集S(q，t)扩展成新的FHS集。

构造A 令OC-FHS集S={S0,S1,…, Sq-2}是频隙集F上的一个(q，q，1，q-1) FHS集，对于正整数d，令其中pi均为素数，且p1<p2<…<pd, a1,a2,…,ad是
正整数。

假设n=q1…qd满足gcd(n，q)=1。

对于任意的频隙f∈F都有q-1<p1，那么可构造新的跳频序列集G={Gi| 0≤i<q-1}为
其中k1=〈k〉n,k2=〈k〉q。

定理2 构造A中得到的FHS集G是(nq，nq，1，q-1)跳频序列集，且对于任意
跳频序列Gi(0≤i<q-1)，都有Hm(S)=Hm(G)。

证明对于0≤i, j<q-1，任意时延τ下0≤τ≤nq-1，令τ1=〈τ〉n, τ2=〈τ〉q，
那么
H(Gi,Gj;τ1,0)=H(Gi,Gj;τ1,τ2)=
分2种情况讨论。

情况1 i=j,τ2=0，因此有
1)当τ1=0时有
2)当1≤τ1≤n-1时有
情况2 i≠j或者τ2≠0，在这情况下，如果对于频点f∈F有那么当时
当i≠j或者τ2≠0
综合情况1和情况2，有
证毕。

推论1 对于构造A中的FHS集G有如下性质：
1)构造A中的FHS集G是OC-FHS集；
2)G是满足Peng-Fan界的最优跳频序列集；
3)G是满足Niu-Peng-Liu界的最优部分汉明相关跳频序列集。

证明由构造A可知跳频序列集G的序列长度N=nq，频隙大小λ=nq，序列个数M=q-1，依定理有Hm=1。

1)对于整数i，0≤i<q-1，足以证明跳频序列Gi∈G的所有元素都不同。

也就是说，需要验证以下情况。

对于有
相当于
(4)
其中
因此根据引理3可知，由数论[18]有所以等式(4)成立，FHS集G是OC-FHS集。

2)根据Peng-Fan理论界，有
⎤⎤=1
因此OC-FHS集G是满足Peng-Fan界的最优跳频序列集。

3)将参数代入不等式(3)中，对于任意相关窗长度L，1≤L≤N，都有
⎤=
⎤=1
因此OC-FHS集G是满足最优周期部分汉明相关的跳频序列集。

证毕。

例1 根据构造A以及OC-FHS的定义，令q=5，t=3，则跳频序列集S={S0,
S1,S2, S3}，其中
S0={0,1,3,2,4}, S1={0,2,1,4,3}
S2={0,3,4,1,2}, S3={0,4,2,3,1}
显然跳频序列S满足OC-FHS集参数要求，且最大周期汉明自相关Ha=0，最大
周期汉明互相关Hc=1。

令p1=7，p2=11，a1=a2=1，由构造A可知
n=q1q2=77。

利用构造A的方法，可以得到跳频序列集G，其中G0为
类似地可以得到跳频序列集G中的其他跳频序列：
对于0≤i， j<4,跳频序列集G的汉明相关为
由结果及推论1可知，根据构造A得到的跳频序列集G是满足Peng-Fan界的最优跳频序列集(385,385,1,4)，对于跳频序列集G中的任意1条序列都满足Lempel-Greenberger界。

结论与定理2以及推论1一致。

注文献[19]中的构造是本文构造A的特例，即
构造B 令Fpa表示含pa个元素(p是素数，a是正整数)且本原元为α的有限域。

令OC-FHS集S={S0,S1,…,Sq-2}是频隙集F上的1个(q，q，1，q-1)跳频序列集，其中那么对于0≤i<q-1，可构造新的跳频序列集定义为
其中，k1=〈k〉pa-1，k2=〈k〉q。

由此构造了1个新的跳频序列集G={G0,G1,…,Gq-2}。

定理3 构造B中的跳频序列集G是((pa-1)q,paq,1,q-1)跳频序列集，且对于任意
跳频序列Gi(0≤i<q-1)，都有Hm(S)=Hm(G)。

证明对于0≤i, j<q-1，任意时延τ下0≤τ≤(pa-1)q-1,令τ1=〈τ〉pa-1，τ2=〈τ〉q，同定理1的证明方式类似，
分2种情况讨论。

情况1 τ1=0，在这种情况下，有
因此
情况2 τ1≠0，因为α是有限域Fpa的本原元，有
综合情况1和情况2，有
证毕。

推论2 对于构造B中的跳频序列集G有如下性质：
1)构造B中的FHS集G是OC-FHS集；
2)G是满足Peng-Fan界的最优跳频序列集；
3)G是满足Niu-Peng-Liu界的最优部分汉明相关跳频序列集。

证明令N=(pa-1)q，λ=paq，M=q-1，依定理有Hm=1。

1)对于整数i，0≤i<q-1，足以证明跳频序列Gi∈G的所有元素都不同。

也就是说，需要验证以下情况。

对于有
相当于
(5)
其中
根据引理3可知，由数论[18]有因为gcd(i+1,pa-1)=1，所以等式(5)成立，跳频
序列集G是OC-FHS集。

2)根据Peng-Fan理论界，有
⎤=
⎤=1
因此OC-FHS集G是满足Peng-Fan界的最优跳频序列集。

3)将参数代入不等式(3)，对于任意相关窗长度L，1≤L≤N，都有
⎤=
⎤=1
因此OC-FHS集G是满足最优周期部分汉明相关的跳频序列集。

证毕。

例2 根据构造B令q=7，t=5，则跳频序列集S={S0, S1,S2, S3, S4, S5}，其中S0={0,1,4,5,2,3,6}, S1={0,2,1,3,4,6,5}, S2={0,3,5,1,6,2,4}, S3={0,4,2,6,1,5,3}, S4={0,5,6,4,3,1,2}, S5={0,6,3,2,5,4,1}。

显然跳频序列S满足OC-FHS集的参数要求，且最大周期汉明自相关Ha=0，最大周期汉明互相关Hc=1。

令p=11，a=1，α=1，利用构造B的方法，可以得到跳频序列集G，其中
类似的可以得到跳频序列集S′中的其他跳频序列：
对于0≤i, j<6，跳频序列集G汉明相关为
由结果及推论2 可知，根据构造B得到的跳频序列集G是满足Peng-Fan界的最优跳频序列集(70,77,1,6)，对于跳频序列集G中的任意1条序列都满足Lempel-Greenberger界。

结论与定理3及推论2一致。

构造C 令OC-FHS集S={S0,S1,…, Sq-2}是频隙集F上的1个(q，q，1，q-1)跳频序列集，对于正整数d，令其中pi均为素数，且p1<p2<…<pd，a1,a2,…，ad是正整数。

假设n=q1…qd满足gcd(n，q)=1。

如果对于任意的频隙f∈F都有q-1<p1，且gcd(pa-1,q)=1与gcd(pa-1,n)=1，其中对于任意的f∈F都有q-2<pa，那么利用构造A和构造B的方法可构造新的跳频序列集(n(pa-
1)q,npaq,1,q-1)。

表1示出一些跳频序列的序列集构造的参数对比。

可以看出，当时，构造A为文献[19]中的构造。

本文的构造与文献[12]的构造相比,序列长度更长，频隙点更多，汉明相关更小。

本文的构造将OC-FHS集进行扩展，得到了具有新参数的OC-FHS集。

与文献[14]相比，本文构造的基础序列的选择不同，扩展后的序列频率使用率高，汉明相关值较小。

表1 参数对比序列集构造序列参数约束条件构造A(nq,nq,1,q-
1)qi=paii,n=q1…qd,pi均为素数,gcd(n,q)=1,1≤q-2≤p1-1构造B((pa-
1)q,paq,1,q-1)p为素数,gcd(pa,q)=1,1≤q-2≤pa构造C(n(pa-1)q,npaq,1,q-1)qi=paii,n=q1…qd,pi均为素数,gc d(n,q)=1,1≤q-2≤p1-1gcd(pa-
1,q)=gcd(pa-1,n)=1,1≤q-2≤paRen[19](paq,paq,1,q-1)p为素
数,gcd(p,q)=1,1≤q-2≤p-1Peng[12](q,q,gcd(q-1,t),q-1)1≤t≤q-2Wang[13]((p-1)q,pq,1,p)gcd(p-1,q)=1,min(p,q-1)=p
本文构造的序列长度更长，汉明相关更小，且参数设置灵活。

序列长度等于频隙集的大小，可以提高信道带宽的使用率，减小相互之间的干扰；因此，本文构造可以被广泛应用于多址通信。

3 结论
本文利用中国剩余定理，构造了3类新的最优 OC-FHS集。

通过这3个构造以及OC-FHS，可以构造更多新的满足理论界最优的OC- FHS集。

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