湖北省荆州中学2019届高三上学期第三次双周考数学(理)试题

2019届高三第三次双周练数学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合{|(1)0}A x x x =-≤，{|1}x B x e =>，则=B A C R )(( ) （A ）[1,)+∞ （B ）(1,)+∞ （C ）(0,1) （D ）[0,1]
2．将函数()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向左平移6π个单位，所得的图象对应的函数解析式是( )
（A ）sin2y x = （B ）cos2y x = （C ） 2sin 23
y x π⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭ （D ）sin 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
3．已知函数()sin f x x x =-，则不等式(1)(22)0f x f x ++->的解集是( ) （A ）1
(,)3-∞- （B ）1(,)3
-+∞ （C ）(,3)-∞ （D ）(3,)+∞
4．如图，直线l 和圆，当l 从0l 开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间的函数.这个函数图像大致是( )
5．下列说法正确的是( )
①命题“2
,0x R x x ∀∈->”的否定是“2000,0x R x x ∃∈-≤”； ②tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
++=
-对任意的1212,,,22k k k k Z ππαπβπ≠+≠+∈恒成立；
③()f x 是其定义域上的可导函数，“()00f x '=”是“()y f x =在0x 处有极值”的充要条件； ④圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
（A ）① ② （B ）② ③ （C ）① ④ （D ）② ④ 6．已知函数2()(1.2)t
M t m -=⋅当
2t =时，其瞬时变化率为10ln1.2-，则(4)M = ( )
（A ）
25
ln1.23
（B ）
50ln1.23 （C ）503
（D ）
25
3
7．函数()cos 0)3(f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭在[]0,π内的值域为1,21⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦，则的取值范围是( ) （A ）35,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（B ）23,43⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
（C ）2
3,⎡⎫+∞⎪⎢⎣
⎭
（D ）23,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
8．已知点A （1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转
6
π
至OB ，设点C （4，0），COB=，则tan 等于( )
（A （B （C （D
9．若函数()cos f x kx x =-在区间2(,)63
ππ
单调递增，则k 的取值范围是( )
（A ）[1,)+∞ （B ）1[,)2
-
+∞ （C ）(1,)+∞ （D ）1
(,)2+∞
10．已知函数()3log ,03
4,3x x f x x x <≤⎧⎪=⎨->⎪⎩
，若函数()()2h x f x mx =-+有三个不同的零点，则实数的取值范围
是( )
（A ）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）()1,1,2⎛
⎫-∞+∞ ⎪
⎝
⎭ （C ）[)1,
1,2⎛⎫
-∞+∞ ⎪⎝⎭
（D ）1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
11．在△ABC 中，为BC 的中点，满足2
BAD C π
∠+∠=
，则△ABC 的形状一定是( )
（A ）直角三角形 （B ）等腰三角形 （C ）等边三角形 （D ）等腰三角形或直角三角形 12．已知定义在上的函数()y f x =满足：函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且当(),0x ∈-∞时()()'0f x xf x +<（()'f x 是函数()f x 的导函数）成立.若1122a sin
f sin ⎛⎫⎛
⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭,
()()ln2ln2b f =⋅，2
211log log 44c f ⎛
⎫⎛
⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则,,a b c 的大小关系是( )
（A ） a b c >> （B ） b a c >> （C ） c a b >> （D ） a c b >>
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．计算
1
||1
)x e dx -=⎰
______________.
14．已知函数()5sin 12cos f x x x =-，当0x x =时，()f x 有最大值13，则0cos x =__________． 15．()f x 是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有(2)()f x f x +=-成立.当[0,2]x ∈时
2()2f x x x =-.则(0)(1)(2)(2017)(2018)f f f f f +++
++=____________.
16．已知函数()ln ()2f x x e a x b =+--，其中为自然对数的底数.若不等式()0f x ≤对(0,)x ∈+∞恒
成立，则b
a
的最小值等于____________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）
在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为,,,a b c tan C =
（1）求cos C ；
（2）若20ab =，且9a b +=，求ABC △的周长．
18．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD 为等腰梯形， 2,1AB AD DC CB ====，将ADC ∆沿AC 折起，使得平面
ADC ⊥平面ABC ，为AB 的中点，连接,DE DB （如图2）.
（1）求证： BC AD ⊥；
（2）求直线DE 与平面BCD 所成的角的
正弦值.
19. （本小题满分12分）
已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 经过)23,22(),22,1(-B A 两点,O 为坐标原点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点,且与圆3:2
2
=+y x O 相交于N M ,两点,试问直线OM 与ON 的斜率之积ON OM k k ⋅是否为定值？若是,求出该定值；若不是,说明理由．
20．（本小题满分12分）
省环保研究所对某市市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性 污染指数()f x 与时刻 (时)
的关系为2
()|
|23
f x a a =-++，[0,24]x ∈，
其中是与气象有关的参数，且1
[0,]2
a ∈，若用每天()f x 的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作()M a ．
（1
）令t =
[0,24]x ∈．求的取值范围； （2）求()M a ；
（3）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前该市市中心的综合放射性污染指数是
否超标．
21．（本小题满分12分）
（1）求
,a b 的值；
(二)选考题：共10分.请考生在第22、23
题中任选一题作答． 22. [选修4-4，坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为3cos (x y ααα
=⎧
⎪⎨=⎪⎩为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()4
π
ρθ+=
（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程。

（2）设点P 为曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．
23．[选修4-5：不等式选讲]
（1）已知函数3|||2|)(-++-=a x x x f 的定义域为，求实数a 的取值范围； （2）若正实数，满足2=+n m ，求
n
m 1
2+的取值范围．
2019届高三第三次双周练数学（理科）
BCCDCCBBBADC 13．
222
e π
+-14．1213-
15． 1 16．12e
- 17．解：（1）
62tan =C ,62cos sin =∴
C
C
又
22sin cos 1C C +=，解得5
1
cos ±=C ．
tan 0C >，C ∴是锐角．5
1cos =
∴C （2）20ab =．又9a b +=
22281a ab b ∴++=． 2241
a b ∴+=．
33cos 2222=-+=∴C ab b a c ． 33=∴c ．ABC ∴△
的周长为：9a b c ++=
18．解：（1）证明：在图中，作CH AB ⊥于H ，则13
,22
BH AH =
=，又1,BC
=,,2
C H C ∴=
∴A C B C ∴⊥，平面A D C ⊥平面ABC ，且平面A D C ⋂平面
A B C A C =，BC ∴⊥平面ADC ，又AD ⊂平面ADC ，BC AD ∴⊥
.
（2）取AC 中点，连接,DF FE ，易得,,FA FE FD 两两垂直，以,,FA FE FD 所在直线分别为轴、
轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，110,
,0,0,0,,,2222E D B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()11310,,,0,1,0,,0,222DE BC CD ⎛⎫⎛⎫
∴=-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， 设(),,m x y z =为平面BCD 的法向量，则0
{
m BC m CD ⋅=⋅=，即0
y z =+=，取(1,0,m =.设直线
DE 与平面BCD 所成的角为θ，
则6
s i n c o s
,m D E θ==
直线DE 与平面BCD 所成的角的正弦值.
19. （1）依题意,,14321
12112
222⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+b a b a 解得,1222⎪⎩⎪⎨⎧==b a 进而可得椭圆方程：.122
2
=+y x （2）当直线l 的斜率存在时,可设直线m kx y l +=:,与椭圆方程联立可得
0224)21(222=-+++m kmx x k ,由相切可得.12,0)12(82222+==+-=∆k m m k
又⎩⎨⎧=++=32
2y x m kx y 032)1(2
22=-+++⇒m kmx x k ,
设),,(),,(2211y x N y x M 则,13120)33(4'22212
2122⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧
+-=
+-
=+>-+=∆k m x x k km
x x m k ,13)())((2
2
22
21212
2121k k m m x x km x x k m kx m kx y y +-=+++=++=
进而O N
O M k k ⋅3
32
222211--=⋅=m k m x y x y ,将122
2+=k m 带入可得0)2(4'2>+=∆k 恒成立,O N
O M k k ⋅.212
21312312332
22222222211-=--=-+-+=--=⋅=k k k k k m k m x y x y 故O N O M k k ⋅为定值且定值为.2
1
-
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2±=x .若直线l 的方程为2=x ，则N M ,的坐标为
),1,2(),1,2(-此时满足.21-=⋅ON
OM k k 若直线l 的方程为2-=x ，则N M ,的坐标为
),1,2(),1,2(---此时也满足.21-=⋅ON
OM
k k
综上，O N O M k k ⋅为定值且定值为.
2
1- 20.解：(1)当0x =时，0t =；
当024x <≤
2≥ (当x ＝1时取等号)
，∴1
1
,(0,]2t t =
∈， 综上t 的取值范围是1[0,]2
.
（2）当1[0,]2a ∈时，记2()||23g t t a a =-++，则分23,03
()21,32t a t a g t t a a t ⎧
-++≤≤⎪⎪=⎨⎪++<≤
⎪⎩
∵()g t 在[0，a]上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤a ，12上单调递增，且2(0)3,3g a =+17()26
g a =+,
11(0)()222g g a -=-. 故71,064
()211
3,342a a M a a a ⎧
+≤≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩
.
（Ⅲ）当104a ≤≤时，令726a +≤，得56a ≤.1
04
a ∴≤≤; 当
1142a <≤时，令2323a +≤，得49a ≤ (14)
49
a ∴<≤
故当409a ≤≤
时不超标，当41
92
a <≤时超标． 21.解:(1)()()()2
1b x b x ae x f x +-+=', 由题意知：()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=='214)1(e
f e f 所以1==b a (2)设()(),142+-
=x e
e x F x
则()()().2
,12e e x F x e e x F x x -=''+-=' 当()2ln 1,0-∈x 时，(),0x <''F 故()x F '在()2ln 10-，
上为减函数；当()+∞-∈,2ln 1x 时，(),0x >''F 故()x F '在()+∞-,2ln 1上为增函数.又()02ln 1,02
1)0(<-'<-
='F e
F ， 0)1(='F （如图）
，所以，当()1,0∈x 时，()(),012
<+-='x e
e x F x
故F （x ）在（0，1）上为减函数；当()+∞∈,1x 时，
()(),012
>+-
='x e
e x F x 故F （x ）在()+∞,1上为增函数. 因此，对一切(),,0+∞∈x 有()()即
,01=≥F x F ()()∞++≥+，在014
1x e
x e x 都成立. 设()()()()()()
,0182181,1)1(4ln 2
22>++-+=+-='+--=x ex e
x e ex x e x x G x e x x x G 则 故()x G 在()+∞,0上为增函数，又()所以,01=G ，
当()即时，,010<<<x G x (),0)
1(14ln <+--x e x x 所以
();ln 1
41x x x e ->+ 当()即时，,01>>x G x (),0)
1(14ln >+--
x e x x 所以
().ln 141x x x e ->+ 综上可得：()x x x e x e x ln 1141->+≥+，从而有.ln 12x
x e x
-> 注：其他构造函数证明方法酌情给分。

22.【答案】⑴
,
⑵
解:⑴因为直线的极坐标方程为，
所以
，即
曲线的参数方程为
（为参数）
所以⑵设，则到直线的距离为
，所以当时，取最大值
23．解析：（1）由题意知。

解得5-≤a 或1≥a .（2）因为2=+n m （)0,0>>n m ， 所以)322(21)32(21)12(212+≥++=+⋅+=+n m m n n m n m n m ，即n
m 12+的取值范围为),232[+∞+．。