2016年安徽省亳州市蒙城县中考一模数学试卷(解析版)

2016年安徽省亳州市蒙城县中考数学一模试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）数轴上表示﹣5的点到原点的距离为（）
A．5B．﹣5C．D．﹣
2．（4分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜7B．x≤7C．x＞7D．x≥7
3．（4分）下面的计算正确的是（）
A．6a﹣5a＝1B．＝±6
C．（）﹣1＝﹣2D．2（a+b）＝2a+2b
4．（4分）如图所示，直线a∥b，∠B＝22°，∠C＝50°，则∠A的度数为（）
A．22°B．28°C．32°D．38°
5．（4分）若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（）
A．B．C．D．
6．（4分）在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，则原来盒里有白色棋子（）
A．1颗B．2颗C．3颗D．4颗
7．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）
A．B．C．D．
8．（4分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE ⊥BC于点E，则AE的长是（）
A．B．C．D．
9．（4分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F⇒H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x 之间函数关系的图象是（）
A．B．
C．D．
10．（4分）如图1，圆上均匀分布着11个点A1，A2，A3，A11．从A1起每隔k 个点顺次连接，当再次与点A1连接时，我们把所形成的图形称为“k+1阶正十一角星”，其中1≤k≤8（k为正整数）．例如，图2是“2阶正十一角星”．那么当∠A1+∠A2+…+∠A11＝540°时，k的值为（）
A．3B．3或6C．2或6D．2
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）已知空气的单位体积质量为1.24×10﹣3g/cm3，将1.24×10﹣3g/cm3用小数表示为．
12．（5分）分解因式：m3﹣4m2+4m＝．
13．（5分）若a+b＝5，ab＝6，则a﹣b＝．
14．（5分）如图，⊙O的半径为2，弦BC＝2，点A是优弧BC上一动点（不包括端点），△ABC的高BD、CE相交于点F，连结ED．下列四个结论：
①∠A始终为60°；
②当∠ABC＝45°时，AE＝EF；
③当△ABC为锐角三角形时，ED＝；
④线段ED的垂直平分线必平分弦BC．
其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）
三、解答题（共2小题，满分16分）
15．（8分）计算：（﹣3）0﹣+|1﹣|+×+（+）﹣1．
16．（8分）解不等式组
请结合题意，完成本题解答．
（1）解不等式①，得；
（2）解不等式②，得；
（3）把不等式组的解集在数轴上表示出来．
四、解答题（共2小题，满分16分）
17．（8分）在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区900米长的污水管道改造任务．工程队在改造完360米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C（1，﹣1）．（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）（1）将△ABC沿y轴方向向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转到点A2所经过的路径长．
五、解答题（共2小题，满分20分）
19．（10分）如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C 处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，求C处与灯塔A的距离．
20．（10分）如图，已知点A（1，2）是正比例函数y1＝kx（k≠0）与反比例函数y2＝（m≠0）的一个交点．
（1）求正比例函数及反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，y1＜y2？
六、解答题（共1小题，满分12分）
21．（12分）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝，b＝；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩的中位数会落在分数段；
（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？
七、解答题（共1小题，满分12分）
22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由．
八、解答题（共1小题，满分14分）
23．（14分）已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F、Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与
QF的数量关系是；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
2016年安徽省亳州市蒙城县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）数轴上表示﹣5的点到原点的距离为（）
A．5B．﹣5C．D．﹣
【解答】解：∵在数轴上，表示数a的点到原点的距离可表示为|a|，
∴数轴上表示﹣5的点到原点的距离为|﹣5|＝5．
故选：A．
2．（4分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜7B．x≤7C．x＞7D．x≥7
【解答】解：由题意得，x﹣7≥0，
解得x≥7．
故选：D．
3．（4分）下面的计算正确的是（）
A．6a﹣5a＝1B．＝±6
C．（）﹣1＝﹣2D．2（a+b）＝2a+2b
【解答】解；A、6a﹣5a＝a，故此选项错误；
B、＝6，故此选项错误；
C、（）﹣1＝2，故此选项错误；
D、2（a+b）＝2a+2b，正确．
故选：D．
4．（4分）如图所示，直线a∥b，∠B＝22°，∠C＝50°，则∠A的度数为（）
A．22°B．28°C．32°D．38°
【解答】解：
如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠C＝50°，
又∠1＝∠A+∠B，
∴∠A＝∠1﹣∠B＝50°﹣22°＝28°，
故选：B．
5．（4分）若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为1：2：3，
∴设三个内角分别为k、2k、3k，
∴k+2k+3k＝180°，
解得k＝30°，
最小角的正切值＝tan30°＝．
故选：C．
6．（4分）在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，则原来盒里有白色棋子（）
A．1颗B．2颗C．3颗D．4颗
【解答】解：由题意得，
解得．
故选：B．
7．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，俯视图为三角形，故可排除A、B．主视图以及左视图都是矩形，可排除C，
故选：D．
8．（4分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE ⊥BC于点E，则AE的长是（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO＝AC＝3cm，BO＝BD＝4cm，AO⊥BO，
∴BC＝＝5cm，
∴S
＝＝×6×8＝24cm2，
菱形ABCD
＝BC×AE，
∵S
菱形ABCD
∴BC×AE＝24，
∴AE＝cm，
故选：D．
9．（4分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F⇒H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x 之间函数关系的图象是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：DF＝x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y
①y＝DF2＝x2（0≤x＜）；
②y＝1（≤x＜2）；
③∵BH＝3﹣x
∴y＝BH2＝x2﹣3x+9（2≤x＜3）．
综上可知，图象是
故选：B．
图：①
②
③
10．（4分）如图1，圆上均匀分布着11个点A1，A2，A3，A11．从A1起每隔k 个点顺次连接，当再次与点A1连接时，我们把所形成的图形称为“k+1阶正十一角星”，其中1≤k≤8（k为正整数）．例如，图2是“2阶正十一角星”．那么当∠A1+∠A2+…+∠A11＝540°时，k的值为（）
A．3B．3或6C．2或6D．2
【解答】解：如图2，设圆心为O，则优角A10OA3的度数为角A1的2倍．
而优角A10OA3＝∠A10OA9+∠A9OA8+∠A8OA7+…+∠A4OA3，
而每个∠A k OA k﹣1＝，
所以，优角A10OA3＝7×，
由题意，∠A1即为2∠A k+1A1A12﹣k，
当k＜6时，可计算得那个优角的度数为（9﹣2k）×，
因此，（9﹣2k）×＝2×，
解得k＝3，
当k＞6时，优角的度数为（2k﹣9）×，
因此（2k﹣9）×＝2×，
解得k＝6．
综上所述，k＝3或6．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）已知空气的单位体积质量为1.24×10﹣3g/cm3，将1.24×10﹣3g/cm3用小数表示为0.00124．
【解答】解：1.24×10﹣3g/cm3用小数表示为：0.00124．
故答案为：0.00124．
12．（5分）分解因式：m3﹣4m2+4m＝m（m﹣2）2．
【解答】解：m3﹣4m2+4m
＝m（m2﹣4m+4）
＝m（m﹣2）2．
故答案为：m（m﹣2）2．
13．（5分）若a+b＝5，ab＝6，则a﹣b＝±1．
【解答】解：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×6＝1，
则a﹣b＝±1．
故答案是：±1．
14．（5分）如图，⊙O的半径为2，弦BC＝2，点A是优弧BC上一动点（不包括端点），△ABC的高BD、CE相交于点F，连结ED．下列四个结论：
①∠A始终为60°；
②当∠ABC＝45°时，AE＝EF；
③当△ABC为锐角三角形时，ED＝；
④线段ED的垂直平分线必平分弦BC．
其中正确的结论是①②③④．（把你认为正确结论的序号都填上）
【解答】解：①延长CO交⊙O于点G，如图1．
则有∠BGC＝∠BAC．
∵CG为⊙O的直径，∴∠CBG＝90°．
∴sin∠BGC＝＝＝．
∴∠BGC＝60°．
∴∠BAC＝60°．
故①正确．
②如图2，
∵∠ABC＝45°，CE⊥AB，即∠BEC＝90°，
∴∠ECB＝45°＝∠EBC．
∴EB＝EC．
∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°．
∴∠EBF+∠EFB＝90°，∠DFC+∠DCF＝90°．
∵∠EFB＝∠DFC，∴∠EBF＝∠DCF．
在△BEF和△CEA中，
．
∴△BEF≌△CEA．
∴AE＝EF．
故②正确．
③如图2，
∵∠AEC＝∠ADB＝90°，∠A＝∠A，
∴△AEC∽△ADB．
∴＝．
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB．
∴＝．
∵cos A＝＝cos60°＝，
∴＝．
∴ED＝BC＝．
故③正确．
④取BC中点H，连接EH、DH，如图3、图4．∵∠BEC＝∠CDB＝90°，点H为BC的中点，∴EH＝DH＝BC．
∴点H在线段DE的垂直平分线上，
即线段ED的垂直平分线平分弦BC．
故④正确．
故答案为：①②③④．
三、解答题（共2小题，满分16分）
15．（8分）计算：（﹣3）0﹣+|1﹣|+×+（+）﹣1．
【解答】解：（﹣3）0﹣+|1﹣|+×+（+）﹣1
＝1﹣3+﹣1+2+﹣
＝3﹣3．
16．（8分）解不等式组
请结合题意，完成本题解答．
（1）解不等式①，得x＞2；
（2）解不等式②，得x≤4；
（3）把不等式组的解集在数轴上表示出来．
【解答】解：（1）系数化成1得x＞2，故答案是：x＞2；
（2）移项，得﹣x≥﹣3﹣1，
合并同类项，得﹣x≥﹣4，
系数化成1得x≤4．
故答案是：x≤4．
（3）在数轴上表示出来为：
．
四、解答题（共2小题，满分16分）
17．（8分）在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区900米长的污水管道改造任务．工程队在改造完360米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？
【解答】解：设原来每天改造管道x米，由题意得：
+＝27，
解得：x＝30，
经检验：x＝30是原分式方程的解，
答：引进新设备前工程队每天改造管道30米．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C（1，﹣1）．（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）（1）将△ABC沿y轴方向向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转到点A2所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
由勾股定理得，OA＝＝，
点A旋转到点A2所经过的路径长为：＝．
五、解答题（共2小题，满分20分）
19．（10分）如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C 处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，求C处与灯塔A的距离．
【解答】解：如图，作AM⊥BC于M．
由题意得，∠DBC＝20°，∠DBA＝50°，BC＝60×＝40（海里），∠NCA ＝10°，
则∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝50°﹣20°＝30°．
∵BD∥CN，
∴∠BCN＝∠DBC＝20°，
∴∠ACB＝∠ACN+∠BCN＝10°+20°＝30°，
∴∠ACB＝∠ABC＝30°，
∴AB＝AC，
∵AM⊥BC于M，
∴CM＝BC＝20（海里）．
在直角△ACM中，∵∠AMC＝90°，∠ACM＝30°，
∴AC＝＝＝（海里）．
答：C处与灯塔A的距离是海里．
20．（10分）如图，已知点A（1，2）是正比例函数y1＝kx（k≠0）与反比例函
数y2＝（m≠0）的一个交点．
（1）求正比例函数及反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，y1＜y2？
【解答】解：（1）将点A（1，2）代入正比例函数y1＝kx（k≠0）与反比例函数y2＝（m≠0）得，
2＝k，m＝1×2＝2，
故y1＝2x（k≠0），反比例函数y2＝；
（2）如图所示：当0＜x＜1时，y1＜y2．
六、解答题（共1小题，满分12分）
21．（12分）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝60，b＝0.15；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；
（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？
【解答】解：（1）样本容量是：10÷0.05＝200，
a＝200×0.30＝60，b＝30÷200＝0.15；
（2）补全频数分布直方图，如下：
（3）一共有200个数据，按照从小到大的顺序排列后，第100个与第101个数据都落在第四个分数段，
所以这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；
（4）3000×0.40＝1200（人）．
即该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的大约有1200人．
故答案为60，0.15；80≤x＜90；1200．
七、解答题（共1小题，满分12分）
22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．
∴根据勾股定理，得＝5cm．
（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：
①当△AMP∽△ABC时，＝，即＝，
解得t＝；
②当△APM∽△ABC时，＝，即＝，
解得t＝0（不合题意，舍去）；
综上所述，当t＝时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．
如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC，
∴＝，即＝，
∴PH＝t，
∴S＝S
△ABC ﹣S
△BPN
，
＝×3×4﹣×（3﹣t）•t，
＝（t﹣）2+（0＜t＜2.5）．
∵＞0，
∴S有最小值．
当t＝时，S
最小值
＝．
答：当t＝时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是．
八、解答题（共1小题，满分14分）
23．（14分）已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F、Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE 与QF的数量关系是QE＝QF；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
【解答】解：（1）如图1，
当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE＝BF，
理由是：∵Q为AB的中点，
∴AQ＝BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ＝∠BFQ＝90°，
在△AEQ和△BFQ中
∴△AEQ≌△BFQ，
∴QE＝QF，
故答案为：AE∥BF，QE＝QF；
（2）
QE＝QF，
证明：延长EQ交BF于D，
∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ＝∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中
∴△AEQ≌△BDQ，
∴EQ＝DQ，
∵∠BFE＝90°，
∴QE＝QF；，
（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论成立，
证明：延长EQ交FB于D，如图3，
∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ＝∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中
∴△AEQ≌△BDQ，
∴EQ＝DQ，
∵∠BFE＝90°，
∴QE＝QF．。