高考数学 课时55 证明单元滚动精准测试卷 文 试题

课时55 证明
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

模拟训练〔分值：60分 建议用时：30分钟〕
1．〔2021·丽星中学高三上学期期中考试,5分〕命题“对于任意角θ，cos 4
θ－sin 4
θ＝cos2θ〞的证明：“cos 4
θ－sin 4
θ＝(cos 2
θ－sin 2
θ)(cos 2
θ＋sin 2
θ)＝cos 2
θ－sin 2θ＝cos2θ〞过程应用了( )
A ．分析法
B ．综合法
C ．综合法、分析法综合使用
D ．间接证明法
【答案】B
【解析】因为证明过程是“从左往右〞，即由条件⇒结论．
2．〔2021·吉水中学高三第二次月考,5分〕设a ，b ，c ∈(－∞，0)，那么a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a
( )
A ．都不大于－2
B ．都不小于－2
C ．至少有一个不大于－2
D ．至少有一个不小于－2
【答案】C
【解析】因为a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1
a
≤－6，所以三者不能都大于－2.
3．〔2021·梁山二中高三12月月考,5分〕要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2
≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2
≤0
B ．a 2＋b 2
－1－
a 4＋
b 4
2
≤0
C.
a ＋b
2
2
－1－a 2b 2
≤0
D ．(a 2－1)(b 2
－1)≥0
【答案】D
【解析】因为a 2
＋b 2
－1－a 2b 2
≤0⇔(a 2
－1)(b 2
－1)≥0.
4．〔2021·顺德容山中学高三上学期第一次月考试题,5分〕假设a ＞b ＞0，那么以下不等式中总成立的是( )
A ．a ＋1b ＞b ＋1a
B.b a ＞
b ＋1
a ＋1
C ．a ＋1a ＞b ＋1b
D.
2a ＋b a ＋2b ＞a
b
【答案】A
5．〔2021·树德协进中学上学期期中,5分〕①p 3
＋q 3
＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2，②a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2
＋ax ＋bx 1的绝对值大于或者等于1，即假设|x 1|≥1.以下结论正确的选项是( )
A ．①与②的假设都错误
B ．①与②的假设都正确
C ．①的假设正确；②的假设错误
D ．①的假设错误；②的假设正确
【答案】D
【解析】反证法的本质是命题的等价性，因为命题p 与命题的否认¬p 真假相对，故直接证明困难时，可用反证法．应选D.
6.〔2021·翔安第一中学高三12月月考,5分〕假设a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，M ＝
a b ＋b
a
，N ＝a ＋b ，那么M 与N 的大小关系是( )
A ．M ＞N
B ．M ＜N
C ．M ≥N
D ．M ≤N
【答案】A
7．〔2021·十二校新高考研究联盟高三第一次联考,5分〕在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足_________．
【答案】a2>b2＋c2
【解析】由余弦定理cos A＝b2＋c2－a2
2bc
<0，
所以b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.
8．〔2021·新田一中高三第五次月考试题,5分〕设x，y，z是空间的不同直线或者不同平面，且直线不在平面内，以下条件中能保证“假设x⊥z，且y⊥z，那么x∥y〞为真命题的是________(填所有正确条件的代号)．
①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；
③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；
⑤x，y，z为直线．
【答案】①③④
【解析】①中x⊥平面z，平面y⊥平面z，
∴x∥平面y或者x⊂平面y.
又∵x⊄平面y，故x∥y成立．
②中假设x，y，z均为平面，那么x可与y相交，故②不成立．
③x⊥z，y⊥z，x，y为不同直线，故x∥y成立．
④z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面可得x∥y，④成立．
⑤x，y，z均为直线可异面垂直，故⑤不成立．
9．〔2021·湄潭中学高三第五次月考,10分〕a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac＜3a.
10．〔2021·红色六校高三第一次联考,10分〕三个方程：x 2
＋4ax －4a ＋3＝0，x 2
＋(a －1)x ＋a 2
＝0，x 2
＋2ax －2a ＝0，其中至少有一个方程有实根，务实数a 的取值范围．
【解析】假设三个方程都无实根，那么⎩⎪⎨⎪⎧
Δ1＝16a 2－4－4a ＋3＜0Δ2＝a －12－4a 2
＜0
Δ3＝4a 2＋4×2a ＜0
，解得－3
2
＜a ＜－1，故
当三个方程至少有一个方程有实根时，实数a 的取值范围为{a |a ≤－3
2
或者a ≥－1}．
[新题训练] 〔分值：10分 建议用时：10分钟〕
11．〔5分〕x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n ·(x 2n ＋3)
3x 2
n ＋1
(n ＝1,2，…)，试证：“数列{x n }对任意的正整数n ，都满足x n >x n ＋1，〞当此题用反证法否认结论时应为( )
A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1
B ．存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1
C ．存在正整数n ，使x n ≥x n －1，且x n ≥x n ＋1
D．存在正整数n，使(x n－x n－1)(x n－x n＋1)≥0
【答案】B
【解析】根据全称命题的否认，是特称命题，即“数列{x n}对任意的正整数n，都满足x n>x n＋1〞的否认为“存在正整数n，使x n≤x n＋1〞，应选B.
12．〔5分〕假如a a＋b b>a b＋b a，那么a、b应满足的条件是________．
本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。