《三角形的内切圆》PPT课件 (公开课获奖)2022年浙教版 (3)

C O就是所求的圆。
想一想：根据作法,和三角形各边都
相切的圆能作出几个？ 概念；
1、和三角形各边都相切的圆叫做三角形 的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内 心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
A
2、和多边形的各边都相
切的圆叫做多边形的内
切圆，这个多边形叫做
圆的外切多边形。
O
B
C
三角形的外接圆与内切圆
2012年甲学校的初一新生招生中招了500名,乙学 校的初一新生招生中招了600名,随着计划生育的 开展，现在甲学校的初一新生招生中招了300名,乙 学校的初一新生招生中招了360名，哪种学校学生 的年平均下降率较大?
分析:甲校初一学生年平均下降额为 (500-300)÷2=100(元)
乙校学生年平均下降额为 (600-360)÷2=120(元)
c
O a
I
A
b
C
例：
已知：点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆于E。
求证：EB=EI=EC
A
12
证明： 连结BI ∵I是△ABC的内心 ∴∠3=∠4 ∵ ∠ 1= ∠ 2， ∠ 2= ∠ 5 ∴ ∠ 1= ∠ 5 ∴ ∠ 1+ ∠ 3= ∠ 4+ ∠ 5 ∴ ∠ BIE= ∠ IBE ∴ EB=EI
例3 如图，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC
的外接圆相交于点D. 求证：DE＝DB
A
12
O
3
4
B5
C
D
练习 分析作出已知的锐角三角形、直角三角形、 钝角三角形的内切圆，并说明三角形的内心是否 都在三角形内．
2、如图，菱形ABCD中，周长为40，∠ABC=120°，
则内切圆的半径为（ ）
8
68
c c
b b
d d
如图：四边形ABCD的边 AB、BC、CD、DA和⊙O
a 分别相切于点L、M、N、P。
a
根据已知条件可以得出什么结论？
圆的外切四边形的两组对边的和相等。
例：已知在△ABC中，BC=14cm,AC=9cm, AB=13cm,它的内切圆分别和BC、AC、 AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。
分析：（1）因为依题意可知△ABC是等腰直角三角形，△DFC也 是等腰直角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可求 DF的长．（2）要求教师行使的距离就是求DE的长度，DF已求， 因此，只要在Rt△DEF中，由勾股定理即可求．
海报长27dm，宽21dm，正中央是一个与整 个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的 彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、 下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四 周边衬的宽度（精确到）？
喜讯
中雁学校在 2009年的中考中 再创佳绩，有20 名学生考上乐清 中学
学生家长贺
2009年7月
分析：封面的长宽之比为 27：21＝9：7 ，中央矩形的长宽之比也应 是 9：7 ，由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也是 9：7 .
设上、下边衬的宽均为9x dm，左、右边衬的宽均为7x dm，则中央矩 形的长为 （27－18x） dm，宽为_（__2_1_－__1_4_x_）___dm．
1、如图，△ABC中，∠A=55度，I是内心 则，∠BIC＝————度。
B
2、如图，△ABC中，∠A=55 度，其内切圆切△ABC 于D、 E、F，则∠FDE＝———— 度。
B
A
I
C
A F
E
D
C
三、特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：
直角三角形外接圆、内切圆
半径的求法
B
R= —c2
r = —a—+b—-c— 2
∴AL=AP， BL=BM，
CN=CM，DN=DP
A
∴AL+BL+CN+DN=AP+BM+CM+DP
N C
M O
L
B
即 AB+CD=AD+BC
2．某梯形中位线为18cm,且梯形有内切 圆，求梯形周长。
A
B
D
C
1.解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法、配方法、公式法、 因式分解法．
3.列一元二次方程方程解应用题的步骤？
（A）32
3
（B）
2 3
5 2 （C）2
2 （D）52
3
3、如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点， ∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ）
（A）70° （B）110°
（C）120° （D）130°
例:已知：点I是△ABC的内心，AI交BC于D，
交外接圆于E。求证：EB=EI=EC A
要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的 面积是封面面积的四分之三．
于是可列出方程．
2718x2114x32721.
4
这位教师知道消息后，经过两天后共有121人知道了 这则消息，每天传播中平均一个人告知了几个人？
分析：设每天平均一个人告诉了x个人． 开始有一人知道消息，第一轮的消息源就是这个人，他告知了x个人，
探索圆外切四边形边的关系。
DN=DP=x
DN C P OM
A
LB
AP=AL=y CN=CM=z
BL=BM=w
典型例题： 求证：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
已知：四边形ABCD是⊙O的外切四边形，D 切点分别是点P、L、M、N。
求证：AB+CD=AD+BC
P
证明：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形， 切点分别是点P、L、M、N。
A
x
AB分别相切于点D、E、F
F
E
.
I
z
By D
C
分析：设 AF=x，BD=y，
CE=z
y+z=a
x+z=b
x+y=c
若已知圆的四条切线呢？
D
想一想
圆的外切四边形 具有什么性质？
圆的外切四边形 的两组对边的和 相等。
例：等腰梯形各边都与 ⊙O相切， ⊙O的直径为 6cm，等腰梯形的腰等于 8cm，则梯形的面积为 _____。
1、什么是三角形的外接圆与内切圆？ 2、如何画出一个三角形的外接圆与内切圆？
①经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆。 ②与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。
画圆的关键： 1、确定圆心
2、确定半径
三角形的外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点；其半径 是交点到顶点的距离。
三角形的内切圆的圆心是各内角平分线的交点；其半径是 交点到一边的距离。
12cm 则其内切圆的半径为 ______。
圆的外切等腰梯形有什么特点？ 腰长和中位线长相等。
圆的外切平行四边形有什么特点？ 圆的外切平行四边形是菱形
课堂练习：练习册69 2 （1）（2） 学生归纳小结： 1、三角形内切圆的作法 2、三角形的内切圆，内心，圆外切三角形的概念。 3、利用三角形的内心的性质证解有关问题。
用代数式表示，第一天后共有___x___1_人知道了这则消息；
第二天中，这些人中的每个人又告知了x个人，用代数式示，第二
天有__x_x___1_人知道这则消息．
列方程
1＋x+x(1+x)=121
解方程，得 x1=_____1_0_____, x2=_____－__1_2______.
平均一个人传染了____1_0_____个人．
（× ）
2、直角三角形的外心是斜边的中点。
（√ ）
二、填空：
1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆
半径————，内切圆半径—2—cm——。 2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比—2—:1——。
三、选择题：
下列命题正确的是（ C ）
A、三角形外心到三边距离相等
B、三角形的内心不一定在三角形的内部
x x
y z
y
z
看比 谁一 做比 得
快
已知：在△ABC中，BC=14，AC=9， AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、 AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE 的长。
（2）如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，
F；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC=11 cm,AC= 6cm
例1、如图，在△ABC中， ∠A=55 ° ，点O是内心，求∠ BOC的度数。
提示：关键是利用
A O B
内心的性质
如果∠ A＝120 ° ，∠
ห้องสมุดไป่ตู้BOC=？
如果∠ A=n ° ， ∠ BOC=?
C
因此：在△ABC中，∠A＝n ° ，点O是 △ABC的内心，∠BOC＝90 ° ＋1 n °
2
例1、如图，在△ABC中， ∠A=55 ° ， 点O是外心，求∠ BOC的度数。
提出问题：
从一块三角形的材料上截下一块圆 形的用料，怎样才能使圆的面积尽 可能最大呢？
？
作圆: 使它和已知三角形的各边都相切
已知：△ABC
求作：和△ABC的各边都相切的圆
作法：
A
1、作∠ B, ∠ C的平分线 BM和CN，交点为O
N
2、过点O作OD BC。垂 M 足为D。
O B
D
3、以O为圆心，OD为半 径作圆O
C、等边三角形的内心、外心重合
D、三角形一定有一个外切圆
4、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为 （）
（A）1∶ 2 ∶ 3 （B）1∶2∶ 3
（C）1∶ 3∶2 （D）1∶2∶3
5、存在内切圆和外接圆的四边形一定是（ ） （A）矩形（B）菱形 （C）正方形 （D）平行四边形
巩固练习：
在毕业聚会中，每两人都握了一次手, 所有人共握手3660次,有多少人参加聚会?
一路下来，我们结识了很多新知识， 也有了很多的新想法。你能谈谈自己的收 获吗？说一说，让大家一起来分享。
小结 拓展
回味无穷
列方程解应用题的一般步骤是: 1.审:审清题意:已知什么,求什么? 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; 3.列:列代数式,找出相等关系列方程; 4.解:解所列的方程; 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活. 列方程解应用题的关键是: 找出相等关系. 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系: A(1±x)2=B(其中A表示基数,x表表示增长(或降低)率,B表示新数)
证明： 连结BI 12 ∵I是△ABC的内心
∴∠3=∠4
∵ ∠ 1= ∠ 2， ∠ 2= ∠ 5
I
3
∴ ∠ 1= ∠ 5
B
4 5
D
C
∴ ∠ 1+ ∠ 3= ∠ 4+ ∠ 5
E
∴ ∠ BIE= ∠ IBE
∴ EB=EI
又 ∵EB=EC
∴EB=EI=EC
达标检测
一、判断。 1、三角形的外心到三角形各边的距离相等。
①审题 ②找等量关系 ③列方程 ④解方程 ⑤检验 ⑥答
用一元二次方程解决实际问题的一般步骤是什么？
实际问题
抽象
数学问题
分析
已知量、未知量、 等量关系
不合理
列出
合理
验证
求出
解释
解的合理性
方程的解
方程
中考时间，小华家位于A处，他到考场的路径如图，他需沿正南 方向行20千米里，再向正东方向行20千米才到达考场，学校D位 于AC的中点，小华姑妈家（F）位于BC上且恰好处于D的正南方 向，早上7时，小华父亲带小华从A出发，经B到C匀速行使，同时 在校教师发现小华有重要物品落在学校，从D出发，沿南偏西方向 匀速直线航行，欲将该物品送给小华． (1）学校D和小华姑妈家F相距多少千米? （2）已知小华的速度是教师的2倍， 小华在由B到C的途中与教师相遇于E 处， 那么相遇时教师行走了多少千米? （结果精确到0.1千米）
A
A
B
C
O
O
B
C
如果∠ A＝120 °呢？
例2、如图：点I是△ABC的内心，AI交边 BC于点D，交△ABC外接圆于点E.
求证：BE＝IE
提示：欲证BE＝IE
A
12
需证∠ BIE＝ ∠ IBE 把∠ BIE转化为两圆周角之和
3
I
4
B5
D
C
E
若已知圆的三条切线呢？
设△ABC的BC=a，CA=b， AB=c，内切圆I和BC、AC、
又 ∵EB=EC ∴EB=EI=EC
I
3
B
4 5
D
C
E
课堂练习： 1、判断
（1）三角形的外心是三边中垂线的交点。（√ ） （2）三角形三边中线的交点是三角形内心。（×）
（3）若O为△ABC的内心，
则OA＝OB＝OC。（ ×）
因此三角形的内心是三个内角的角平分线的交，点 它到 三边的距离相等 距离相等
课后作业： 书102－102 10、11、12 B组题 3
练习2 已知：△ABC是⊙O外切三形，切 点为D，E，F。若BC＝14 cm ，AC＝9cm， AB＝13cm。求AF，BD，CE。
F y By
A xx
x+y=13 y+z=14
E x+z=9 Oz
Dz
C
圆的外切四边形的两组对边和相等。
已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD， DA和圆O分别相切于L，M，N，P。
AB= 9cm
A
2 F
E 4
7
C
B
D
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，
PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的周长为
（ ）A
A 16cm
B 14cm
C12cm
AD
C
P
D 8cm
BE
A
c b
r.
r = a+b-c
2
C
B
a
例：直角三角形的两直角边分别是5cm，