北师大版九年级数学2.4 二次函数的应用(1)教案

“二次函数的应用（1）”教学设计
一、教学目标
1．经历求最大面积问题的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.
2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，增强解决问题的能力.
二、教学分析
重点：利用二次函数求图形最大面积.
难点：从现实问题中建立二次函数模型.
三、教学过程
【例1】如图2-8，在一个直角三角形内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上.
（1）如果设矩形的一边AB =x m ，那么AD 边的长度如何表示？
（2）设矩形的面积为y ，当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？
图2-8
解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB =DC ，DC ∥AN .
∵AN =40m ，AM =30m ，AB =x m ，
∴CD =x m .
∵CD ∥AN ， ∴AM
DM AN DC =. ∴30
3040AD x -=. ∴m 4330⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=x AD . （2）x x x x y 304343302+-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=，
∴()300204
32+--
=x y . ∴当x =20时，面积有最大值，y max =300m 2.
思考：设矩形AD =x m ，能否求出最大面积？自己尝试一下.
【变式】在上面的问题中，如果把矩形改为如图2-9所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？
图2-9
解：由勾股定理知，MN =50m ，
∵△ONM 中MN 边上的高是24m ，
设AD =x m ，AB=a m ，
∴AD ∥MN ，△OAD ∽△ONM . ∴242450AB x -=，x x a 2425
122+-=. ∴2251224x x a x y -=⋅=()3002525
122+--=x （0<x <50）. 因此，当x =25时，y 最大=300.
∴最大面积y 为300m 2.
【例2】某建筑物的窗户如图2-10所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m .当x 等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到 0.01m ）此时，窗户的面积是多少？（结果精确到 0.01m 2）
图2-10
解：∵1547=++x y x π，
∴4
715x x y π--=. ∵150<<x ，且1547150<--<
x x π， ∴48.10<<x .
设窗户的面积是S m 2，则
.562251415272
1527471522122
12
222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=--⋅+=+=x x x x x x x xy x S πππ ∴当07.11415≈=
x 时，02.456
225≈=最大S . 因此，当x 约为1.07m 时，窗户通过的光线最多.此时，窗户的面积约为4.02m 2
【小结】解决几何图形面积的最值问题的基本步骤
1.确定面积的变化与哪些量的变化有关；
2.利用图形的面积与这些变量之间的关系建立二次函数的模型；
3.利用二次函数的性质以及自变量的取值范围确定面积的最大值或最小值.
【习题】
1.一根铝合金型材长为6m ，用它制作一个“日”字形窗户的框架ABCD （如图），如果恰好用完整条铝合金型材，那么AB ，AD 分别为多少米时，窗户的面积最大？
第1题
2.如图，小亮父亲想用长为80m 的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD ，已知房屋外墙长50m ，设矩形ABCD 的边AB =x m ，面积为S m 2.
（1）写出S 与x 之间的关系式，并指出x 的取值范围；
（2）当AB ，BC 分别为多少时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？
第2题
四、板书设计
二次函数的应用（1）求面积的最值问题：
1.所求图形的形状，
2.设一条边为x，用x表示其他求面积所需的量，
3.写出面积关于边长的函数，
4.用公式法或配方法求出这一最大值.。