二次插值

二次插值

二次插值法是多项式逼近法的一种，是 用目标函数在若干点的函数值或导数值 等信息，构成一个与目标函数相近似的 低次插值多项式。用多项式的最优解作 为目标函数的最优解近似值。
1、二次插值函数的构成

设一维目标函数的初始区间为[a,b]，取 x1 , x2 , x3 点使 x1 a, x3 b 并设 x2 0.5( x1 x3 )
p ( x)
插值函数的极小点，令一阶导数为零
得
xp
*
x p*
b , 将a, b, c代入，得 2a 1 ( x2 2 x32 ) f1 ( x32 x12 ) f 2 ( x12 x2 2 ) f 3 2 ( x2 x3 ) f1 ( x3 x1 ) f 2 ( x1 x2 ) f 3 f 3 f1 x3 x1 c2 ( f 2 f1 ) ( x2 x1 ) c1 x2 x3

2 1 2 1 1 2 2 3
f p*
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3 终止准则
*( k 1) x （1）当相继两次插值函数极值点 p
， *( k ) x p 之 间 的 距 离 小 于 某 一 个 预 定 的 精 度 时 ,即 *( k ) *( k 1)
xp xp
k2
计算终止 （2）函数下降准则 在上一个框图中，加一判据 c2 0 ，若成立 x x )c 0 即 c ( f f )x ( 便终止 x
令c1 则x p
*
c1 1 ( x1 x3 ) 2 c2
2 区间的缩短
* * x f ( x ) p p 方法计算 点的函数值
* p
记做 比较 f 与 f 取较小者所在对应的点作为 新的 x2 ，以此点左右两邻点分别取做新 的 x1 和 x3 ，得新的区间[ x1 x3]。 在实际操作中，会出现一下4种情况：

解方程组得：
( x2 x3 ) f1 ( x3 x1 ) f 2 ( x1 x2 ) f 3 a ( x1 x2 )( x2 x3 )( x3 x1 ) ( x2 2 x32 ) f1 ( x32 x12 ) f 2 ( x12 x2 2 ) f 3 b ( x1 x2 )( x2 x3 )( x3 x1 ) ( x2 x3 ) x2 x3 f1 ( x3 x1 ) x1 x3 f 2 ( x1 x2 ) x1 x2 f 3 c ( x1 x2 )( x2 x3 )( x3 x1 )
计算 f1 f ( x1 ) f2 f ( x2 ) f3 f ( x3 ) 通过三点作一条二次曲线，其函数

p( x) ax2 bx c

x , x , x 可由三个插值 a, b, c 为待定系数， 点组成方程组
1 2 3
p( x1 ) p1 ax12 bx1 c f1 p( x2 ) p2 ax2 2 bx2 c f 2 p( x3 ) p3 ax32 bx3 c f3