2022年暑假初升高数学第12讲同步练习：方程组的解集(教师版)

2022年暑假初升高数学第12讲同步练
习：方程组的解集
一、选择题
1．若方程组⎩⎨⎧
ax ＋y ＝0
x ＋by ＝1的解集是{(x ，y )|(1，－1)}，则a ，b 为( )
A.⎩
⎨⎧ a ＝0，b ＝1 B.⎩
⎨⎧ a ＝1，b ＝0 C.⎩⎨⎧
a ＝1，
b ＝1
D.⎩⎨⎧
a ＝0，
b ＝0
B [将x ＝1，y ＝－1代入方程组，可解得a ＝1，b ＝0.]
2．已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧ 5x ＋y ＝3，ax ＋5y ＝4和⎩⎨⎧
x －2y ＝5，5x ＋by ＝1有相同的解集，则a ，b 的值为( )
A.⎩
⎨⎧
a ＝1，
b ＝2 B.⎩
⎨⎧ a ＝－4，b ＝－6 C.⎩⎨⎧
a ＝－6，
b ＝2
D.⎩⎨⎧
a ＝14，
b ＝2
D [解方程组⎩⎨⎧ 5x ＋y ＝3，x －2y ＝5，可得⎩⎨⎧
x ＝1，
y ＝－2，
将⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝－2代入⎩⎨⎧ ax ＋5y ＝4，5x ＋by ＝1，解得⎩⎨⎧
a ＝14，
b ＝2.
] 3.某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人．设运动员人数为x 人，组数为y 组，则列方程组为( )
A.⎩⎨⎧ 7y ＝x ＋3，8y ＋5＝x
B.⎩⎨⎧ 7y ＝x ＋3，8y －5＝x
C.⎩⎨⎧
7y ＝x －3，8y ＝x ＋5
D.⎩⎨⎧
7y ＝x ＋3，8y ＝x ＋5
C [根据组数×每组7人＝总人数－3人，得方程7y ＝x －3；根据组数×每
组8人＝总人数＋5人，得方程8y ＝x ＋5.列方程组为⎩⎨⎧
7y ＝x －3，
8y ＝x ＋5.
故选C.]
4．若二元一次方程3x －y ＝7,2x ＋3y ＝1，y ＝kx －9有公共解，则k 的取值为( )
A ．3
B ．－3
C ．－4
D ．4 D [由⎩⎨⎧ 3x －y ＝7，2x ＋3y ＝1得⎩⎨⎧
x ＝2，
y ＝－1，
代入y ＝kx －9得－1＝2k －9，解得k ＝4.故选D.]
5．若a 2＝b 3＝c
7，且a －b ＋c ＝12，则2a －3b ＋c 等于( ) A.3
7 B ．2 C ．4 D ．12 C [设a 2＝b 3＝c
7＝k ， 则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝7k ，
代入方程a －b ＋c ＝12得：2k －3k ＋7k ＝12， 解得k ＝2，即a ＝4，b ＝6，c ＝14， 则2a －3b ＋c ＝2×4－3×6＋14＝4.故选C.] 二、填空题
6．已知二元一次方程2x －3y －5＝0的一组解为⎩⎨⎧
x ＝a ，
y ＝b ，则6b －4a ＋3＝
________.
－7 [∵⎩⎨⎧
x ＝a ，
y ＝b 是二元一次方程2x －3y －5＝0的解，
∴2a －3b －5＝0，即2a －3b ＝5，
∴6b －4a ＋3＝－2(2a －3b )＋3＝－2×5＋3＝－10＋3＝－7.]
7．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，
每枚白银重y 两，根据题意可列方程组为________．
⎩⎨⎧
9x ＝11y (10y ＋x )－(8x ＋y )＝13
[设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，由题意得： ⎩⎨⎧
9x ＝11y ，(10y ＋x )－(8x ＋y )＝13，
故答案为：⎩
⎨⎧
9x ＝11y ，
(10y ＋x )－(8x ＋y )＝13.]
8．三元一次方程组⎩⎨⎧
y ＋z －x ＝－5，
x ＋y －z ＝－1，
x ＋z －y ＝15
的解集为________．
{(x ，y ，z )|(7，－3,5)}
[解⎩⎨⎧
y ＋z －x ＝－5，①x ＋y －z ＝－1，②x ＋z －y ＝15，③
①＋②得：2y ＝－5－1，解得：y ＝－3， ②＋③得：2x ＝－1＋15，解得：x ＝7，
把x ＝7，y ＝－3代入①得：－3＋z －7＝－5，解得：z ＝5， 方程组的解集为{(x ，y ，z )|(7，－3,5)}．] 三、解答题
9．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过点(1,0)，(－5,0)，顶点的纵坐标为9
2，求这个二次函数的解析式．
[解] ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过点(1,0)，(－5,0)， ∴对称轴为：x ＝－2，
∵顶点的纵坐标为92，∴顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，92， 设此二次函数解析式为：y ＝a (x ＋2)2＋9
2， ∴0＝a (1＋2)2＋92，解得：a ＝－1
2， ∴这个二次函数的解析式为y ＝－12x 2－2x ＋5
2.
10．已知x ，y 满足方程组⎩⎨⎧
3x 2－2xy ＋12y 2＝47，
2x 2＋xy ＋8y 2＝36.
(1)甲看了看说：这是二元一次方程组；乙想了想说：这不是二元一次方程组，甲、乙两人的说法正确的是________．
(2)求x 2＋4y 2的值；
(3)若已知：1x ＋12y ＝2y ＋x 2xy 和(2y ＋x )2＝x 2＋4y 2＋4xy ；则1x ＋1
2y ＝________(直接求出答案，不用写过程)
[解] (1)乙 原方程组不是二元一次方程组， 故乙的说法正确，故答案为：乙． (2)⎩⎨⎧
3x 2－2xy ＋12y 2＝47，①2x 2＋xy ＋8y 2
＝36，② ①＋②×2得，7x 2＋28y 2＝119， 整理得，x 2＋4y 2＝17.
(3)②×3－①×2得，7xy ＝14，
解得，xy ＝2，则(2y ＋x )2＝x 2＋4y 2＋4xy ＝25，∴2y ＋x ＝±5， ∴1x ＋12y ＝2y ＋x 2xy ＝±54，故答案为±
54.
[等级过关练]
1．|3a ＋b ＋5|＋|2a －2b －2|＝0，则2a 2－3ab 的值是( ) A ．14 B ．2 C ．－2
D ．－4
D [∵|3a ＋b ＋5|＋|2a －2b －2|＝0，∴⎩⎨⎧
3a ＋b ＝－5，①
a －
b ＝1，②
解得：a ＝－1，b ＝－2，则2a 2－3ab ＝2－6＝－4.故选D.]
2．若购买甲商品3件，乙商品2件，丙商品1件，共需140元；购买甲商品1件，乙商品2件，丙商品3件，共需100元；那么购买甲商品1件，乙商品1件，丙商品1件，共需( )
A ．50元
B ．60元
C ．70元
D ．80元
B [设一件甲商品x 元，乙商品y 元，丙商品z 元．根据题意得：⎩⎨⎧
3x ＋2y ＋z ＝140，①x ＋2y ＋3z ＝100，②
①＋②得：4x ＋4y ＋4z ＝240，所以x ＋y ＋z ＝60，故选B.]
3．已知x ＝2，y ＝－1，z ＝－3是三元一次方程组⎩⎨⎧
mx －ny －z ＝7，
2nx －3y －2mz ＝5，
x ＋y ＋z ＝k
的
解，则m 2－7n ＋3k 的值为________．
113
[∵x ＝2，y ＝－1，z ＝－3是三元一次方程组⎩⎨⎧
mx －ny －z ＝7，
2nx －3y －2mz ＝5，
x ＋y ＋z ＝k
的
解，
∴⎩⎨⎧
2m ＋n ＋3＝7，4n ＋3＋6m ＝5，2－1－3＝k ，
解得：k ＝－2，m ＝7，n ＝－10， ∴m 2－7n ＋3k ＝49＋70－6＝113.]
4．某班对思想品德，历史，地理三门课程的选考情况进行调研，数据如下：
的有4人，则该班选了思想品德而没有选历史的有________人；该班至少有学生________人．
16,29 [思想品德、历史两门课程都选了的有3人，∴选了思想品德而没有选历史的有19－3＝16人，
设三门课都选的有x 人，同时选择地理和思想品德的有y 人， 则有总人数为19＋18＋13－3－4－2x －y ＝43－2x －y ，
∵选择历史没有选择思想品德的有6人，∴2x ＜6，∴x ＜3，∴x ＝1,2， ∵只选思想品德的现在有19－3－4－1－y ＝11－y ，∴y 最大是10， 该班至少有学生43－4－10＝29，故答案为16；29；]
4．水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载)
(1)元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(2)市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆)，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
[解] (1)设需甲车型x 辆，乙车型y 辆，得： ⎩
⎨⎧
5x ＋8y ＝120，400x ＋500y ＝8 200， 解得⎩⎨⎧
x ＝8，y ＝10.
答：需甲车型8辆，乙车型10辆．
(2)设需甲车型x 辆，乙车型y 辆，丙车型z 辆，得： ⎩⎨⎧
x ＋y ＋z ＝16，5x ＋8y ＋10z ＝120，
消去z 得5x ＋2y ＝40，x ＝8－2
5y ，
因x ，y 是正整数，且不大于16，得y ＝5,10，
由z 是正整数，解得⎩⎨⎧
x ＝6，
y ＝5，
z ＝5，
或⎩⎨⎧
x ＝4，y ＝10，z ＝2.
有两种运送方案：
①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆； ②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆．。